text:
# Ціле число
Ці́лі чи́сла — в математиці елементи множини
{\displaystyle \mathbb {Z} =\lbrace \ldots -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\,\ldots \rbrace }, яка утворюється замиканням натуральних чисел відносно віднімання. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно додавання, віднімання та множення.
Необхідність розгляду цілих чисел викликана неможливістю в загальному випадку відняти від одного натурального числа інше — можна віднімати тільки менше число від більшого. Введення нуля і від’ємних чисел робить віднімання такою ж повноцінною операцією, як додавання.
Множина цілих чисел складається з
- множини натуральних чисел {\displaystyle \mathbb {N} },
- нуля — розв'язку {\displaystyle x=0\,} рівняння {\displaystyle a+x=a,\ a\in \mathbb {N} },
- множини від'ємних чисел — множини розв'язків {\displaystyle x=-a\,} усіх рівнянь виду {\displaystyle a+x=0,\ a\in \mathbb {N} }.

Для позначення множини цілих чисел використовується символ ℤ, який може в різних авторів використовуватися для позначення групи множин: ℤ+, ℤ+ або ℤ> для позначення додатних цілих чисел, ℤ≥ для не від'ємних цілих чисел, ℤ≠ для всіх цілих чисел крім нуля. Деякі автори використовують позначення ℤ* для всіх цілих чисел крім нуля, інші для позначення не від'ємних цілих чисел, або для {–1, 1}.
Дійсне число є цілим, якщо його десяткове подання не містить дробової частини (але може містити знак). Приклади дійсних чисел:
Числа 142857; 0; –273 є цілими.
Числа 5½; 9,75 не є цілими.

## Історія
Розвиток математики почався з навичок практичної лічби (один, два, три, чотири…), тому натуральні числа виникли ще в доісторичний період як ідеалізація скінченної множини однорідних, стійких і неподільних об'єктів (людей, овець, днів тощо). Додавання з'явилося як математична модель таких важливих подій, як об'єднання кількох множин (стад, мішків тощо) в одне, а віднімання відображало, навпаки, відокремлення частини множини. Множення для натуральних чисел з'явилося в якості, так би мовити, пакетного додавання: 3 × 4 означало суму «3 рази по 4», тобто 4 + 4 + 4. Властивості і взаємозв'язок операцій відкривалися поступово.
Початковим кроком на шляху розширення натуральних чисел стала поява нуля; першими цей символ стали застосовувати, напевно, індійські математики. Спочатку нуль застосовувався не як число, а як цифра при позиційному запису чисел, потім поступово став визнаватися і як повноцінне число, що означає відсутність чого-небудь (наприклад, повне розорення торговця).
Від'ємні числа вперше стали використовувати в Стародавньому Китаї та Індії, де їх розглядали як математичний образ «боргу». Стародавній Єгипет, Вавилон та Стародавня Греція не використовували від'ємних чисел, а якщо виходили від'ємні корені рівнянь (при відніманні), вони відкидалися як неможливі. Виняток становив Діофант Александрійський, який у III столітті вже знав «правило знаків» і вмів множити від'ємні числа. Однак він розглядав їх лише як проміжний етап, корисний для обчислення остаточного додатного результату. Корисність і законність від'ємних чисел утверджувалися поступово. Індійський математик Брамагупта (VII століття) вже розглядав їх нарівні з додатними.
В Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й то довгий час від'ємні числа називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». Перший опис їх у європейській літературі з'явився у «Книзі абака» Леонарда Пізанського (1202), який також трактував від'ємні числа як борг. Рафаель Бомбеллі і Альбер Жирар у своїх працях вважали від'ємні числа цілком допустимими і корисними, зокрема, для позначення нестачі чого-небудь. Вільно використовували від'ємні числа Нікола Шюке (1484 рік) і Міхаель Штифель (1544).
У XVII столітті, з появою аналітичної геометрії, від'ємні числа отримали наочне геометричне подання на числовій осі. З цього моменту настає повна рівноправність. Легалізація від'ємних чисел призвела до численних зручностей, наприклад, перенесення доданків рівняння в іншу його частину стало можливим незалежно від знаку цього доданка (раніше, наприклад, рівняння {\displaystyle x^{3}+ax=b} і {\displaystyle x^{3}=ax+b} вважалися принципово різними).
Проте теорія від'ємних чисел довго перебувала в стадії становлення. Блез Паскаль, наприклад, вважав, що {\displaystyle 0-4=0}, оскільки «ніщо не може бути менше, ніж ніщо». Жваво обговорювалася дивна пропорція {\displaystyle 1:\left(-1\right)=\left(-1\right):1} — у неї перший член зліва більше другого, а праворуч — навпаки, і виходить, що більше дорівнює меншому («парадокс Арно»). Джон Валліс вважав, що від'ємні числа менші від нуля, але разом з тим більші, ніж нескінченність. Невідомо також, який сенс має множення від'ємних чисел, і чому добуток від'ємних — додатний; на цю тему проходили запеклі дискусії. Відгомоном тих часів є та обставина, що в сучасній арифметиці операція віднімання і знак від'ємних чисел позначаються одним символом (мінус), хоча алгебраїчно це абсолютно різні поняття. Карл Фрідріх Гаусс у 1831 році вважав за потрібне роз'яснити, що від'ємні числа принципово мають ті ж права, що й додатні, а те, що вони застосовуються не до всіх речей, нічого не означає, тому що дроби теж застосовуються не до всіх речей (наприклад, незастосовні при підрахунку людей).
Повна і цілком строга теорія від'ємних чисел була створена лише в XIX столітті (Вільям Гамільтон і Герман Гюнтер Грассман).

## Теоретико-множинні властивості
- {\displaystyle \mathbb {Z} } — зліченна множина.
- {\displaystyle \mathbb {Z} } — лінійно впорядкована множина без верхньої та нижньої межі.

## Додатні та від'ємні числа
Відповідно до своєї побудови, множина цілих чисел складається з трьох частин:
1. Натуральні числа (або, що те ж саме, цілі додатні). Вони виникають природним чином при лічбі (1, 2, 3, 4, 5…)[11].
2. Нуль — число, що позначається {\displaystyle 0}. Його визначальна властивість: {\displaystyle 0+n=n+0=n} для будь-якого числа {\displaystyle n}.
3. Цілі від'ємні числа.

Від'ємні числа при запису позначаються спереду знаком мінус: {\displaystyle -1,-2,-3\dots } Для кожного цілого числа {\displaystyle a} існує і єдине протилежне йому число, що позначається {\displaystyle -a} і яке володіє тією властивістю, що {\displaystyle a+(-a)=0.} Якщо {\displaystyle a} додатне, то протилежне йому число — від'ємне, і навпаки. Нуль протилежний самому собі.
Абсолютною величиною цілого числа {\displaystyle a} називається це число з відкинутим знаком. Позначення: {\displaystyle \left|a\right|.}
Приклади: {\displaystyle \left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0}

## Алгебричні властивості
- {\displaystyle \mathbb {Z} } не є замкнутою відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).
- {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} є абелевою групою.
- {\displaystyle (\mathbb {Z} ,*)} є комутативним моноїдом.
- {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} — єдина нескінченна циклічна група.
- {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,*)} є комутативним кільцем (це слідує з двох перелічених вище властивостей).
- {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,*)} не є полем. Найменше поле, що включає цілі числа є множина раціональних чисел {\displaystyle \mathbb {Q} .}

У множині цілих чисел визначено три основні арифметичні операції: додавання, обернене до додавання віднімання та множення. Є також важлива операція, специфічна для натуральних і цілих чисел: ділення з остачею. Нарешті, для цілих чисел визначено порядок, що дозволяє порівнювати числа одне з одним.

### Додавання і віднімання
Наведена таблиця ілюструє основні властивості додавання для будь-яких цілих {\displaystyle a,b,c}:
| Властивість                       | Алгебраїчна запис                                     |
| --------------------------------- | ----------------------------------------------------- |
| Комутативність                    | {\displaystyle a+b=b+a}                               |
| Асоціативність                    | {\displaystyle a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c} |
| Властивість нуля                  | {\displaystyle a+0=a}                                 |
| Властивість протилежного елемента | {\displaystyle a+\left(-a\right)=0}                   |

При додаванні і відніманні цілих чисел виконуються такі правила знаків, які слід враховувати при розкритті дужок:
{\displaystyle -\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-a-b;\ -\left(a-b\right)=-a+b.}
Правила додавання цілих чисел.
1. При додаванні цілих чисел з однаковими знаками треба додати їхні абсолютні величини і приписати результату знак доданків. Приклад; {\displaystyle -14+\left(-28\right)=-42}.
2. При додаванні цілих чисел з різними знаками, треба порівняти їхні абсолютні величини, від більшої відняти меншу і приписати результату знак того доданка, у якого абсолютна величина більша. Приклади: {\displaystyle -4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5}.
3. Віднімання {\displaystyle a-b} для цілих чисел завжди можна виконати, і результат можна знайти як {\displaystyle a+\left(-b\right).} Приклад: {\displaystyle 26-51=26+\left(-51\right)=-25}.
4. Геометрично додавання можна наочно уявити як зсув числа вздовж числової осі (див. малюнок на початку статті), причому додавання додатного числа викликає зсув праворуч, а від'ємного — ліворуч. Наприклад, для числа {\displaystyle -3} додавання до нього {\displaystyle 4} означає зсув вправо на 4 одиниці; наочно видно, що виходить {\displaystyle +1}. Аналогічно {\displaystyle -3+\left(-4\right)}, зміщуючи {\displaystyle -3} вліво на 4 одиниці, отримаємо в результаті {\displaystyle -7}.
5. Віднімання можна наочно уявити аналогічно, але в цьому випадку, навпаки, віднімання додатного числа викликає зсув вліво, а від'ємного — вправо. Наприклад, {\displaystyle 5-7} зміщує {\displaystyle 5} на 7 одиниць — до числа {\displaystyle -2}, а {\displaystyle 5-\left(-7\right)} зміщує його вправо — до числа {\displaystyle 12}.

### Множення і піднесення до степеня
Множення чисел {\displaystyle a,b} далі позначається {\displaystyle a\times b} або (тільки у разі буквених позначень) просто {\displaystyle ab}. У таблиці описано основні властивості множення для будь-яких цілих {\displaystyle a,b,c}:
| Властивість                                  | Алгебраїчна запис                                                             |
| -------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------- |
| Комутативність                               | {\displaystyle a\times b=b\times a}                                           |
| Асоціативність                               | {\displaystyle a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c} |
| Властивість одиниці                          | {\displaystyle a\times 1=a}                                                   |
| Властивість нуля                             | {\displaystyle a\times 0=0}                                                   |
| Дистрибутивність множення відносно додавання | {\displaystyle a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c}                  |

При множенні цілих чисел виконуються правила знаків, які слід враховувати, розкриваючи дужки:
{\displaystyle \left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab}
Наслідок: добуток чисел з однаковими знаками додатний, з різними — від'ємний.
Піднесення до натурального степеня цілих чисел визначається так само, як і для натуральних чисел:
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}
Властивості піднесення до степеня цілих чисел також такі самі, як у натуральних:
{\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}
На доповнення до цього визначення, прийнято угоду про нульовий степінь: {\displaystyle a^{0}=1} для будь-якого цілого {\displaystyle a.} Підставою для такої угоди служить бажання зберегти наведені вище властивості і для нульового показника степеня: {\displaystyle a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},} звідки ясно, що {\displaystyle a^{0}=1.}

### Упорядкованість
{\displaystyle \mathbb {Z} } — лінійно впорядкована множина. Порядок у ній задається співвідношеннями:
{\displaystyle \dots -2<-1<0<1<2<\dots }
Ціле число додатне, якщо воно більше від нуля, від'ємне, якщо менше від нуля. Додатними цілими числами є натуральні числа і тільки вони. Від'ємні числа — це числа, протилежні додатним. Нуль не є ані додатним, ані від'ємним. Будь-яке від'ємне число менше від будь-якого додатного.
Для будь-яких цілих чисел {\displaystyle a,b,c,d} справедливі такі співвідношення.
1. Якщо {\displaystyle a<b}, то для будь-якого {\displaystyle c} буде {\displaystyle a+c<b+c}.
2. Якщо {\displaystyle a<b} і {\displaystyle c<d}, то {\displaystyle a+c<b+d}.
3. Якщо {\displaystyle a<b} і {\displaystyle c>0}, то {\displaystyle ac<bc}.
4. Якщо {\displaystyle a<b} і {\displaystyle c<0}, то {\displaystyle ac>bc}.

Для порівняння двох від'ємних чисел існує правило: більше те число, в якого абсолютна величина менша. Наприклад, {\displaystyle -6<-5}.

### Подільність

#### Ділення з остачею
Операція ділення, взагалі кажучи, не визначена на множині цілих чисел. Наприклад, не можна поділити {\displaystyle 3} на {\displaystyle 2} — немає такого цілого числа, яке, помножене на {\displaystyle 2}, дасть {\displaystyle 3}. Але можна визначити так зване ділення з остачею:
Для будь-яких цілих {\displaystyle a,b} (де {\displaystyle b\neq 0}) існує єдиний набір цілих чисел {\displaystyle q,r} такий, що {\displaystyle a=bq+r}, де {\displaystyle 0\leqslant r<\left|b\right|.}
Тут a — ділене, b — дільник, q — (неповна) частка, r — остача від ділення (завжди невід'ємна). Якщо остача дорівнює нулю, кажуть, що ділення виконується націло.
Приклади

- При діленні з остачею додатного числа {\displaystyle a=78} на {\displaystyle b=33} отримуємо неповну частку {\displaystyle q=2} і остачу {\displaystyle r=12}. Перевірка: {\displaystyle 78=33\times 2+12.}
- При діленні з остачею від'ємного числа {\displaystyle a=-78} на {\displaystyle b=33} отримуємо неповну частку {\displaystyle q=-3} і остачу {\displaystyle r=21}. Перевірка: {\displaystyle -78=33\times (-3)+21.}
- При діленні з остачею числа {\displaystyle a=78} на {\displaystyle b=26} отримуємо частку {\displaystyle q=3} і остачу {\displaystyle r=0}, тобто ділення виконується націло. Для швидкого з'ясування, чи ділиться задане число {\displaystyle a} на (невелика) число {\displaystyle b} існують ознаки подільності.

На операції ділення з остачею ґрунтуються теорія порівнянь і алгоритм Евкліда.

#### Ділення націло. Дільники
Як визначено вище, число {\displaystyle a} ділиться (націло) на число {\displaystyle b}якщо існує ціле число {\displaystyle q} таке, що {\displaystyle a=bq}. Символічний запис: {\displaystyle b|a}. Існують кілька рівносильних словесних формулювань зазначеної подільності:
- {\displaystyle a} ділиться (націло) на {\displaystyle b}.
- {\displaystyle b} є дільником {\displaystyle a} (або: {\displaystyle b} ділить {\displaystyle a}).
- {\displaystyle a} кратне {\displaystyle b}.

Кожне ціле число {\displaystyle n}, не рівне нулю або {\displaystyle \pm 1}має 4 тривіальні дільники: {\displaystyle 1,-1,n,-n}. Якщо інших дільників немає, число називається простим.
Поняття найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, розкладання цілого числа на прості множники і основна теорема арифметики цілих чисел практично збігаються (з можливим урахуванням знака) з аналогами цих понять для натуральних чисел.

## Цілі і дійсні числа
Існують практичні задачі, в яких необхідно округлити дійсне значення до цілого, тобто замінити його на найближче (у той або інший бік) ціле. Оскільки виконувати округлення можна різними способами, для уточнення можна використовувати символи Айверсона":
{\displaystyle \lfloor x\rfloor } — найближчим до {\displaystyle x} ціле в бік зменшення (функція «підлога», англ. floor, або «ціла частина»). Традиційно використовуються також позначення Гауса {\displaystyle [x]} або позначення Лежандра {\displaystyle E\left(x\right)}.
{\displaystyle \lceil x\rceil } — найближче до {\displaystyle x} ціле в бік збільшення (функція «стеля», англ. ceiling).
Залежно від особливостей постановки задачі, можуть зустрітися й інші методи: округлити до найближчого цілого або відсікти дробову частину (останній варіант для від'ємних {\displaystyle x} відрізняється від функції «ціла частина»).
Інший клас задач, що зв'язують цілі і дійсні числа — наближення дійсного числа відношенням цілих, тобто раціональним числом. Доведено, що будь-яке дійсне число можна з будь-якою бажаною точністю наблизити раціональним, найкращим інструментом для такого наближення служать безперервні (ланцюгові) дроби.

## Застосування

### У прикладних науках
Цілі числа широко застосовуються при дослідженні об'єктів, які за своєю природою або за особливостями постановки задачі неподільні (наприклад, люди, кораблі, будівлі, іноді дні і т. ін.). Від'ємні числа також можуть знайти застосування в таких моделях — скажімо, при плануванні торговельних угод можна продажі позначати додатними числами, а купівлі — від'ємними. Приклад з фізики — квантові числа, що грають фундаментальну роль у мікросвіті; всі вони — цілі (або напівцілі) числа зі знаком.
Для розв'язання задач, що виникають при цьому, розроблені спеціальні математичні методи, що враховують специфіку проблем. Зокрема, розв'язування в цілих числах алгебраїчних рівнянь (різних степенів) розглядає теорія «діофантових рівнянь». Питання цілочисельної оптимізації досліджує цілочисельне програмування.

### В інформатиці
Тип ціле число — найчастіше один з основних типів даних у мовах програмування. Цілі типи даних зазвичай реалізуються як фіксований набір бітів, один з яких кодує знак числа, а інші — двійкові цифри. Сучасні комп'ютери мають багатий набір команд для арифметичних операцій з цілими числами.

## Місце в загальній алгебрі
З точки зору загальної алгебри, {\displaystyle \mathbb {Z} } щодо додавання і множення є нескінченним коммутативним кільцем з одиницею, без дільників нуля (область цілісності). Кільце цілих чисел є евклідовим (і, отже, факторіальним) і кільцем Нетер, але не є артіновим. Якщо розширити це кільце, додавши до нього всілякі дроби (див. поле часток), вийде поле раціональних чисел ({\displaystyle \mathbb {Q} }); у ньому вже виконується будь-яке ділення, крім ділення на нуль.
Відносно операції додавання {\displaystyle \mathbb {Z} } є абелевою групою, і, отже, також циклічною групою, оскільки кожен ненульовий елемент {\displaystyle \mathbb {Z} } може бути записаний у вигляді скінченної суми 1 + 1 + … + 1 або (−1) + (−1) + … + (−1). Фактично, {\displaystyle \mathbb {Z} } є єдиною нескінченною циклічною групою відносно додавання через те, що будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна групі {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}. Відносно множення {\displaystyle \mathbb {Z} } не утворює групу, оскільки у множині цілих чисел ділення, взагалі кажучи, неможливе.
Множина цілих чисел зі звичайним порядком є впорядкованим кільцем, але не є цілком впорядкованою, оскільки, наприклад, серед від'ємних чисел немає найменшого. Проте її можна зробити цілком упорядкованою, якщо визначити нестандартне відношення «менше або дорівнює», яке позначимо {\displaystyle \preccurlyeq } і визначимо таким чином:
{\displaystyle a\preccurlyeq b,} якщо або {\displaystyle a=b,} або {\displaystyle |a|<|b|,} або {\displaystyle |a|=|b|} і {\displaystyle a<0<b.}
Тоді порядок цілих чисел буде таким: {\displaystyle 0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots } Зокрема, {\displaystyle -1} буде найменшим від'ємним числом. {\displaystyle \mathbb {Z} } з новим порядком буде цілком упорядкованою множиною, але вже не буде впорядкованим кільцем, оскільки цей порядок не узгоджений з операціями кільця: наприклад, з {\displaystyle 1\preccurlyeq -2}, додавши зліва і справа 1, отримуємо неправильну нерівність {\displaystyle 2\preccurlyeq -1.}
Будь-яке впорядковане кільце з одиницею і без дільників нуля містить одне і тільки одне підкільце, ізоморфне {\displaystyle \mathbb {Z} }.

## Логічні основи
Розширення натуральних чисел до цілих, як і будь-яке інше розширення алгебричної структури, ставить багато питань, основні з яких — як визначити операції над новим типом чисел (наприклад, як визначити множення від'ємних чисел), які властивості вони тоді будуть мати і (головне питання) чи припустиме таке розширення, чи не призведе воно до нездоланних суперечностей. Для аналізу подібних питань треба сформувати набір аксіом для цілих чисел.

### Аксіоматика цілих чисел
Найпростіше визначити аксіоматику множини цілих чисел {\displaystyle \mathbb {Z} }якщо спиратися на вже побудовану множину натуральних чисел {\displaystyle \mathbb {N} } (яка вважається несуперечливою, а властивості її — відомими). А саме, визначимо {\displaystyle \mathbb {Z} } як мінімальне кільце, що містить множину натуральних чисел. Більш строго, аксіоми цілих чисел такі.
Z1: Для будь-яких цілих чисел {\displaystyle a,b} визначена їх сума {\displaystyle a+b}.
Z2: Додавання комутативне: {\displaystyle a+b=b+a}. Для скорочення, фразу «для будь-яких {\displaystyle a,b\dots }» далі, як правило, опускаємо.
Z3: Додавання асоціативне: {\displaystyle \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).}
Z4: Існує елемент 0 (нуль) такий, що {\displaystyle a+0=a}.
Z5: Для будь-якого цілого числа {\displaystyle a} існує протилежний йому елемент {\displaystyle -a} такий, що {\displaystyle a+\left(-a\right)=0.}
Z6: Для будь-яких цілих чисел {\displaystyle a,b} визначено їх добуток {\displaystyle ab}.
Z7: Множення асоціативне: {\displaystyle \left(ab\right)c=a\left(bc\right).}
Z8: Множення пов'язане з додаванням розподільними (дистрибутивними) законами: {\displaystyle \left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.}
Z9: Множина цілих чисел {\displaystyle \mathbb {Z} } містить підмножину, ізоморфну множині натуральних чисел {\displaystyle \mathbb {N} }. Для спрощення далі цю підмножину позначено тією ж буквою {\displaystyle \mathbb {N} }.
Z10 (аксіома мінімальності): нехай {\displaystyle M} — підмножина {\displaystyle \mathbb {Z} }, що включає {\displaystyle \mathbb {N} } і така, що операція віднімання не виводить за межі {\displaystyle M}. Тоді {\displaystyle M} збігається зі всією {\displaystyle \mathbb {Z} }.
З цих аксіом випливають як наслідки всі інші властивості цілих чисел, зокрема комутативність множення, упорядкованість, правила ділення націло і ділення з остачею. Покажемо, наприклад, як уводиться порядок цілих чисел. Будемо говорити, що {\displaystyle a<b}, якщо {\displaystyle b-a} є натуральне число. Аксіоми порядку легко перевіряються. З визначення відразу випливає, що всі натуральні числа більші від нуля (додатні), а всі протилежні їм — менші від нуля (від'ємні). Для натуральних чисел новий порядок збігається зі старим.
Наведена аксіоматика цілих чисел категорична, тобто будь-які її моделі ізоморфні як кільця.

### Несуперечливість
Стандартний спосіб довести несуперечність нової структури — змоделювати (інтерпретувати) її аксіоми за допомогою об'єктів іншої структури, чия несуперечність сумнівів не викликає. У нашому випадку ми повинні реалізувати ці аксіоми на базі пар натуральних чисел.
Розглянемо всі можливі впорядковані пари натуральних чисел {\displaystyle \left(a,b\right)}. Щоб сенс подальших визначень став зрозумілим, відразу пояснимо, що ми маємо намір надалі кожну таку пару розглядати як ціле число {\displaystyle a-b,} наприклад, пари {\displaystyle \left(3,2\right)} або {\displaystyle \left(6,5\right)} будуть зображати одиницю, а пари {\displaystyle \left(1,4\right)} або {\displaystyle \left(8,11\right)} зображатимуть {\displaystyle -3.}
Далі визначимо:
1. Пари {\displaystyle \left(a,b\right)} і {\displaystyle \left(c,d\right)} вважаються рівними, якщо {\displaystyle a+d=b+c}. Це пов'язано з тим, що, як показано в прикладах, будь-яке ціле число можна подати нескінченним числом пар.
2. Додавання: сума пар {\displaystyle \left(a,b\right)} і {\displaystyle \left(c,d\right)} визначається як пара {\displaystyle \left(a+c,b+d\right)}.
3. Множення: добуток пар {\displaystyle \left(a,b\right)} і {\displaystyle \left(c,d\right)} визначається як пара {\displaystyle \left(ac+bd,ad+bc\right)}.

Неважко перевірити, що результати додавання і множення не змінюються, якщо будь-яку пару ми замінимо на рівну їй, тобто нова пара-результат буде рівною попередній (у зазначеному визначенням 1 сенсі рівності). Неважко також переконатися, що описана структура пар задовольняє всьому наведеному переліку аксіом цілих чисел. Додатні числа моделюються парами {\displaystyle \left(a,b\right)}, яких {\displaystyle a>b}, нуль зображують пари виду {\displaystyle \left(a,a\right)}, а пари {\displaystyle \left(a,b\right)} з {\displaystyle a<b} відповідають від'ємним числам.
Ця модель дозволяє прояснити, як з аксіом цілих чисел однозначно випливають їх властивості; покажемо це для «правила знаків». Наприклад, помноживши два «від'ємні числа» {\displaystyle \left(a,b\right)} і {\displaystyle \left(c,d\right)}, у яких {\displaystyle a<b,\ c<d}ми за визначенням отримаємо пару {\displaystyle \left(ac+bd,ad+bc\right)}. Різниця {\displaystyle ac+bd-\left(ad+bc\right)} дорівнює {\displaystyle \left(b-a\right)\left(d-c\right)}, це число додатне, тому пара-добуток зображує додатне ціле число, отже, добуток від'ємних чисел додатний. Будь-яке інше правило (скажімо, «добуток від'ємних чисел від'ємний») зробило б теорію цілих чисел суперечливою.
Описана модель доводить, що наведена аксіоматика цілих чисел несуперечлива. Тому що якби у ній була суперечність, то це означало б суперечність і в базовій для даної моделі арифметиці натуральних чисел, яку ми заздалегідь припустили несуперечливою.

## Потужність множини
Множина цілих чисел нескінченна. Хоча натуральні числа становлять лише частину множини цілих чисел, цілих чисел стільки ж, скільки натуральних, в тому сенсі, що потужність множини цілих чисел така ж, як і множини натуральних — обидві вони зліченні.

## Варіації та узагальнення
Деякі алгебраїчні структури за своїми властивостями схожі на кільце цілих чисел {\displaystyle \mathbb {Z} }. Серед них:
- Гауссові цілі числа. Це комплексні числа {\displaystyle a+bi}, де {\displaystyle a,b} — цілі числа. Для гаусових чисел, як і для звичайних цілих, можна визначити поняття дільників, простого числа і порівняння за модулем. Справедливий аналог основної теореми арифметики[39].
- Цілі числа Ейзенштейна[40].

title: Ціле число

wikitext:
{{Side_box |style=width:20.0em |text={{center|[[File:Latex integers.svg|100px|Символ ''Zahlen'' часто застосовують для позначення множини всіх цілих чисел]]}} |below=Символ ''[[wikt:Zahlen|Zahlen]]'' часто застосовують для позначення множини всіх цілих чисел (див. [[Таблиця математичних символів]])}}
[[Файл:Venn_Diagram_of_Numbers.svg|lang=uk|міні|300px|Відображення [[натуральні числа|натуральних]], '''цілих''', [[раціональні числа|раціональних]], [[дійсне число|дійсних]] і [[комплексне число|комплексних чисел]]
[[Кола Ейлера|колами Ейлера]]]]
'''Ці́лі чи́сла''' — в [[математика|математиці]] елементи [[множина|множини]]
<math>\Z = \lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3 \, \ldots \rbrace</math>, яка утворюється [[замикання (математика)|замиканням]] [[натуральне число|натуральних чисел]] відносно [[віднімання]]. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно [[додавання]], віднімання та [[множення]].

Необхідність розгляду цілих чисел викликана неможливістю в загальному випадку відняти від одного натурального числа інше — можна віднімати тільки менше число від більшого. Введення нуля і від’ємних чисел робить віднімання такою ж повноцінною операцією, як додавання{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=37}}.

Множина цілих чисел складається з
* множини натуральних чисел <math>\N</math>,
* [[0 (число)|нуля]] — розв'язку <math>x=0\,</math> рівняння <math>a+x=a,\ a\in \N</math>,
* множини [[від'ємне число|від'ємних чисел]] — множини розв'язків <math>x=-a\,</math> усіх рівнянь виду <math>a+x=0,\ a\in \N</math>.

Для позначення множини цілих чисел використовується символ {{math|ℤ}}, який може в різних авторів використовуватися для позначення групи множин: {{math|ℤ+}}, {{math|ℤ+}} або {{math|ℤ>}} для позначення [[Додатне число|додатних]] цілих чисел, {{math|ℤ≥}} для не від'ємних цілих чисел, {{math|ℤ≠}} для всіх цілих чисел крім нуля. Деякі автори використовують позначення {{math|ℤ*}} для всіх цілих чисел крім нуля, інші для позначення не від'ємних цілих чисел, або для {{math|{–1, 1}{{void}}}}.

[[Дійсне число]] є цілим, якщо його [[Десятковий дріб|десяткове подання]] не містить [[Дробова частина числа|дробової частини]] (але може містити знак). Приклади дійсних чисел:

: Числа 142857; 0; –273 є цілими.
: Числа 5½; 9,75 не є цілими.

== Історія ==
Розвиток математики почався з навичок практичної лічби (один, два, три, чотири…), тому натуральні числа виникли ще в доісторичний період як [[ідеалізація]] [[Скінченна множина|скінченної множини]] однорідних, стійких і неподільних об'єктів (людей, овець, днів тощо). Додавання з'явилося як [[математична модель]] таких важливих подій, як об'єднання кількох множин (стад, мішків тощо) в одне, а [[віднімання]] відображало, навпаки, відокремлення частини множини. Множення для натуральних чисел з'явилося в якості, так би мовити, пакетного додавання: 3{{nbsp}}×{{nbsp}}4 означало суму «{{num|3|рази}} по{{nbsp}}4», тобто {{nobr|4 + 4 + 4}}. Властивості і взаємозв'язок операцій відкривалися поступово<ref>{{книга-ру|автор=Мах Э.|часть=Познание и заблуждение|заглавие=Альберт Эйнштейн и теория гравитации|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=74 (подстрочное примечание)|страниц=592}}: «перш ніж виникне поняття про число, має існувати досвід, що в зрозумілому сенсі ''рівноцінні'' об'єкти існують ''множинно і незмінно''».</ref><ref>{{книга-ру |автор={{нп|Моріс Клайн|Клайн М.|ru|Клайн, Морис}} |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |страницы=109—112}}</ref>.

Початковим кроком на шляху розширення натуральних чисел стала поява нуля; першими цей символ стали застосовувати, напевно, [[Індійська математика|індійські математики]]. Спочатку нуль застосовувався не як число, а як цифра при позиційному запису чисел, потім поступово став визнаватися і як повноцінне число, що означає відсутність чого-небудь (наприклад, повне розорення торговця)<ref>{{Книга-ру|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.

Від'ємні числа вперше стали використовувати в [[Історія Китаю#Стародавній Китай|Стародавньому Китаї]] та Індії, де їх розглядали як математичний образ «боргу». [[Математика в Стародавньому Єгипті|Стародавній Єгипет]], [[Вавилонська математика|Вавилон]] та [[Давньогрецька математика|Стародавня Греція]] не використовували від'ємних чисел, а якщо виходили від'ємні корені рівнянь (при відніманні), вони відкидалися як неможливі. Виняток становив [[Діофант Александрійський]], який у III столітті вже знав «правило знаків» і вмів множити від'ємні числа. Однак він розглядав їх лише як проміжний етап, корисний для обчислення остаточного додатного результату. Корисність і законність від'ємних чисел утверджувалися поступово. Індійський математик [[Брамагупта]] (VII століття) вже розглядав їх нарівні з додатними<ref name="GLE1964">{{книга-ру|автор=[[Глейзер Герш Ісаакович|Глейзер Г. І.]]|заглавие=История математики в школе|издательство=Просвещение|место=М.|год=1964|страницы=132—135|страниц=376}}</ref>.

В Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й то довгий час від'ємні числа називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». Перший опис їх у європейській літературі з'явився у «[[Книга абака|Книзі абака]]» [[Фібоначчі|Леонарда Пізанського]] (1202), який також трактував від'ємні числа як борг. [[Рафаель Бомбеллі]] і [[Альбер Жирар]] у своїх працях вважали від'ємні числа цілком допустимими і корисними, зокрема, для позначення нестачі чого-небудь. Вільно використовували від'ємні числа {{нп|Нікола Шюке|||Nicolas Chuquet}} (1484 рік) і [[Міхаель Штифель]] (1544)<ref name="GLE1964" />.

У XVII столітті, з появою [[Аналітична геометрія|аналітичної геометрії]], від'ємні числа отримали наочне геометричне подання на [[Числова вісь|числовій осі]]. З цього моменту настає повна рівноправність. Легалізація від'ємних чисел призвела до численних зручностей, наприклад, перенесення доданків рівняння в іншу його частину стало можливим незалежно від знаку цього доданка (раніше, наприклад, рівняння <math>x^3+ax=b</math> і <math>x^3=ax+b</math> вважалися принципово різними){{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=113—114}}.

Проте теорія від'ємних чисел довго перебувала в стадії становлення. [[Блез Паскаль]], наприклад, вважав, що <math>0-4=0</math>, оскільки «ніщо не може бути менше, ніж ніщо»<ref>''Сухотин А. К.'' Мінливості наукових ідей. М.: Мовляв. гвардія. 1991, стор 34.</ref>. Жваво обговорювалася дивна пропорція <math>1:\left(-1\right) = \left(-1\right):1</math> — у неї перший член зліва більше другого, а праворуч — навпаки, і виходить, що більше дорівнює меншому («парадокс [[Антуан Арно (син)|Арно]]»). [[Джон Валліс]] вважав, що від'ємні числа менші від нуля, але разом з тим більші, ніж нескінченність<ref>{{книга-ру|часть=Отрицательные числа|автор=Панов В. Ф.|заглавие=Математика древняя и юная|издание=Изд. 2-е, исправленное|место=М.|издательство=[[Московський державний технічний університет імені Баумана|МГТУ им. Баумана]]|год=2006|страниц=648|страницы=399|isbn=5-7038-2890-2}}</ref>. Невідомо також, який сенс має множення від'ємних чисел, і чому добуток від'ємних — додатний; на цю тему проходили запеклі дискусії. Відгомоном тих часів є та обставина, що в сучасній арифметиці операція віднімання і знак від'ємних чисел позначаються одним символом ([[мінус]]), хоча алгебраїчно це абсолютно різні поняття. [[Карл Фрідріх Гаусс]] у 1831 році вважав за потрібне роз'яснити, що від'ємні числа принципово мають ті ж права, що й додатні, а те, що вони застосовуються не до всіх речей, нічого не означає, тому що дроби теж застосовуються не до всіх речей (наприклад, незастосовні при підрахунку людей)<ref>''Александрова Н. Ст.'' Математичні терміни.(довідник). М.: Вища школа, 1978, стор 164.</ref>.

Повна і цілком строга теорія від'ємних чисел була створена лише в XIX столітті ([[Вільям Ровен Гамільтон|Вільям Гамільтон]] і [[Герман Грассман|Герман Гюнтер Грассман]])<ref>{{книга-ру |часть=Математика XVIII столетия |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=[[Наука (видавництво)|Наука]] |год=1972 |том=III |страницы=48—49}}</ref>.

== Теоретико-множинні властивості ==
* <math>\Z</math> — [[зліченна множина]].
* <math>\Z</math> — [[лінійно впорядкована множина]] без [[верхня та нижня межа|верхньої та нижньої межі]].

== Додатні та від'ємні числа ==
Відповідно до своєї побудови, множина цілих чисел складається з трьох частин:

# Натуральні числа (або, що те ж саме, цілі додатні). Вони виникають природним чином при лічбі (1, 2, 3, 4, 5…){{sfn|Элементарная математика|1976|с=18}}.
# Нуль — число, що позначається <math>0</math>. Його визначальна властивість: <math>0+n=n+0=n</math> для будь-якого числа <math>n</math>.
# Цілі від'ємні числа.

[[Файл:Диаграмма4.svg|міні|240x240пкс|Протилежні числа (4 та -4)]]
Від'ємні числа при запису позначаються спереду знаком [[мінус]]: <math>-1, -2, -3\dots</math> Для кожного цілого числа <math>a</math> існує і єдине '''протилежне''' йому число, що позначається <math>-a</math> і яке володіє тією властивістю, що <math>a+(-a)=0.</math> Якщо <math>a</math> додатне, то протилежне йому число — від'ємне, і навпаки. Нуль протилежний самому собі.

[[Модуль (математика)|Абсолютною величиною]] цілого числа <math>a</math> називається це число з відкинутим знаком{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114}}. Позначення: <math>\left| a \right|.</math>

: Приклади: <math>\left| 4 \right| = 4;\ \left| -5 \right| = 5;\ \left| 0 \right| = 0</math>

== Алгебричні властивості ==
[[Файл:Number-line.svg|right|thumb|300px|Цілі числа можна розглядати як дискретні, рівномірно розподілені точки на нескінченно довгій [[Числова вісь|числовій осі]]. На зображенні, не-[[Знак (математика)|від'ємні]] цілі показано фіолетовим, а від'ємні числа показано червоним.]]

* <math>\Z</math> не є замкнутою відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).
* <math>(\Z,+)</math> є [[абелева група|абелевою групою]].
* <math>(\Z, *)</math> є [[комутативність|комутативним]] [[моноїд]]ом.
* <math>(\Z,+)</math> — єдина нескінченна [[циклічна група]].
* <math>(\Z,+,*)</math> є [[комутативне кільце|комутативним кільцем]] (це слідує з двох перелічених вище властивостей).
* <math>(\Z,+,*)</math> не є [[поле (алгебра)|полем]]. Найменше поле, що включає цілі числа є [[множина раціональних чисел]] <math>\Q.</math>

У множині цілих чисел визначено три основні арифметичні операції: додавання, обернене до додавання віднімання та множення. Є також важлива операція, специфічна для натуральних і цілих чисел: [[ділення з остачею]]. Нарешті, для цілих чисел визначено [[Відношення порядку|порядок]], що дозволяє порівнювати числа одне з одним.

=== Додавання і віднімання ===
Наведена таблиця ілюструє основні властивості додавання{{sfn|Элементарная математика|1976|с=24—28|name=ELEM}} для будь-яких цілих <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
!Властивість
!Алгебраїчна запис
|-
|[[Комутативність]]
|<math>a+b = b+a</math>
|-
|[[Асоціативність]]
|<math>a + \left( b+c \right) = \left( a+b \right) + c</math>
|-
|Властивість нуля
|<math>a+0 = a</math>
|-
|Властивість [[Обернений елемент|протилежного елемента]]
|<math>a + \left( -a \right) = 0</math>
|}
При додаванні і відніманні цілих чисел виконуються такі ''правила знаків''{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, які слід враховувати при розкритті дужок:

: <math>- \left( -a \right) = a;\ - \left( a+b \right) = -a-b; \ - \left( a-b \right) = -a+b.</math>

'''Правила додавання цілих чисел'''{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114—115}}.

# При додаванні цілих чисел з однаковими знаками треба додати їхні абсолютні величини і приписати результату знак доданків. Приклад; <math>-14 + \left( -28 \right) = -42</math>.
# При додаванні цілих чисел з різними знаками, треба порівняти їхні абсолютні величини, від більшої відняти меншу і приписати результату знак того доданка, у якого абсолютна величина більша. Приклади: <math>-4+9 = 9-4 = 5;\ -9+4 = - \left( 9-4 \right) = -5</math>.
# Віднімання <math>a-b</math> для цілих чисел завжди можна виконати, і результат можна знайти як <math>a + \left( -b \right).</math> Приклад: <math>26 - 51 = 26 + \left( -51 \right) = -25</math>.
# Геометрично додавання можна наочно уявити як зсув числа вздовж числової осі (див. малюнок на початку статті), причому додавання додатного числа викликає зсув праворуч, а від'ємного — ліворуч. Наприклад, для числа <math>-3</math> додавання до нього <math>4</math> означає зсув вправо на 4 одиниці; наочно видно, що виходить <math>+1</math>. Аналогічно <math>-3 + \left( -4 \right)</math>, зміщуючи <math>-3</math> вліво на 4 одиниці, отримаємо в результаті <math>-7</math>.
# Віднімання можна наочно уявити аналогічно, але в цьому випадку, навпаки, віднімання додатного числа викликає зсув вліво, а від'ємного — вправо. Наприклад, <math>5-7</math> зміщує <math>5</math> на 7 одиниць — до числа <math>-2</math>, а <math>5 - \left( -7 \right)</math> зміщує його вправо — до числа <math>12</math>.

=== Множення і піднесення до степеня ===
Множення чисел <math>a,b</math> далі позначається <math>a \times b</math> або (тільки у разі буквених позначень) просто <math>ab</math>. У таблиці описано основні властивості множення для будь-яких цілих <math>a,b,c</math>:
{| class="wikitable"
!Властивість
!Алгебраїчна запис
|-
|[[Комутативність]]
|<math>a \times b = b \times a</math>
|-
|[[Асоціативність]]
|<math>a \times \left( b \times c \right) = \left( a \times b \right) \times c</math>
|-
|Властивість одиниці
|<math>a \times 1 = a</math>
|-
|Властивість нуля
|<math>a \times 0 = 0</math>
|-
|[[Дистрибутивність]] множення відносно додавання
|<math>a \times \left( b+c \right) = a \times b + a \times c</math>
|}
При множенні цілих чисел виконуються ''правила знаків''{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, які слід враховувати, розкриваючи дужки:

: <math>\left( -a \right) b = a \left( -b \right) = -ab; \ \left( -a \right) \left( -b \right) = ab</math>

'''Наслідок''': добуток чисел з однаковими знаками додатний, з різними — від'ємний.

[[Піднесення до степеня|Піднесення до натурального степеня]] цілих чисел визначається так само, як і для натуральних чисел:

: <math>a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{n}</math>

Властивості піднесення до степеня цілих чисел також такі самі, як у натуральних:

: <math>\left( ab \right)^n = a^nb^n;\quad a^ma^n = a^{m+n};\quad \left( a^m \right)^n = a^{mn}</math>

На доповнення до цього визначення, прийнято угоду про нульовий степінь: <math>a^0 = 1</math> для будь-якого цілого <math>a.</math> Підставою для такої угоди служить бажання зберегти наведені вище властивості і для нульового показника степеня: <math>a^0a^n=a^{0+n}=a^n,</math> звідки ясно, що <math>a^0 =1.</math>

=== Упорядкованість ===
<math>\mathbb{Z}</math> — [[лінійно впорядкована множина]]. Порядок у ній задається співвідношеннями:

: <math>\dots  -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \dots</math>

Ціле число '''додатне''', якщо воно більше від нуля, '''від'ємне''', якщо менше від нуля. Додатними цілими числами є натуральні числа і тільки вони. Від'ємні числа — це числа, протилежні додатним. Нуль не є ані додатним, ані від'ємним. Будь-яке від'ємне число менше від будь-якого додатного.

Для будь-яких цілих чисел <math>a,b,c,d</math> справедливі такі співвідношення{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=172—173|name=VYG172}}.

# Якщо <math>a<b</math>, то для будь-якого <math>c</math> буде <math>a+c<b+c</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c<d</math>, то <math>a+c<b+d</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c>0</math>, то <math>ac<bc</math>.
# Якщо <math>a<b</math> і <math>c<0</math>, то <math>ac>bc</math>.

Для порівняння двох від'ємних чисел існує правило: більше те число, в якого [[Модуль (математика)|абсолютна величина]] ''менша''. Наприклад, <math>-6 < -5</math>.

=== Подільність ===

==== Ділення з остачею ====
Операція ділення, взагалі кажучи, не визначена на множині цілих чисел. Наприклад, не можна поділити <math>3</math> на <math>2</math> — немає такого цілого числа, яке, помножене на <math>2</math>, дасть <math>3</math>. Але можна визначити так зване ділення з остачею<ref name="BSE">{{книга-ру |часть=Деление |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5{{nbsp}}томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=2 |год=1979 |издательство=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская энциклопедия]]}}</ref>:

: Для будь-яких цілих <math>a, b</math> (де <math>b \ne 0</math>) існує єдиний набір цілих чисел <math>q,r</math> такий, що <math>a = bq + r</math>, де <math>0 \leqslant r < \left| b \right|.</math>

Тут ''a'' — [[Ділення|ділене]], ''b'' — [[Подільність|дільник]], ''q'' — (неповна) частка, ''r'' — остача від ділення (завжди невід'ємна). Якщо остача дорівнює нулю, кажуть, що ділення виконується ''націло''<ref name="BSE" />.

; Приклади
:

* При діленні з остачею додатного числа <math>a = 78</math> на <math>b = 33</math> отримуємо неповну частку <math>q = 2</math> і остачу <math>r = 12</math>. Перевірка: <math>78 = 33 \times 2 + 12.</math>
* При діленні з остачею від'ємного числа <math>a = -78</math> на <math>b = 33</math> отримуємо неповну частку <math>q = -3</math> і остачу <math>r = 21</math>. Перевірка: <math>-78 = 33 \times (-3) + 21.</math>
* При діленні з остачею числа <math>a = 78</math> на <math>b = 26</math> отримуємо [[Ділення|частку]] <math>q = 3</math> і остачу <math>r = 0</math>, тобто ділення виконується націло. Для швидкого з'ясування, чи ділиться задане число <math>a</math> на (невелика) число <math>b</math> існують [[Ознака подільності чисел|ознаки подільності]].

На операції ділення з остачею ґрунтуються [[Модульна арифметика|теорія порівнянь]] і [[алгоритм Евкліда]].

==== Ділення націло. Дільники ====
Як визначено вище, число <math>a</math> ділиться (націло) на число <math>b</math>якщо існує ціле число <math>q</math> таке, що <math>a=bq</math>. Символічний запис: <math>b|a</math>. Існують кілька рівносильних словесних формулювань зазначеної подільності<ref>{{книга-ру|автор=Сушкевич А. К.|заглавие=Теория чисел. Элементарный курс|место=Х.|издательство=Изд-во Харьковского университета|год=1954|страницы=5}}</ref>:

* <math>a</math> ділиться (націло) на <math>b</math>.
* <math>b</math> є [[Подільність|дільником]] <math>a</math> (або: <math>b</math> ділить <math>a</math>).
* <math>a</math> кратне <math>b</math>.

Кожне ціле число <math>n</math>, не рівне нулю або <math>\pm 1</math>має 4 ''тривіальні'' дільники: <math>1, -1, n, -n</math>. Якщо інших дільників немає, число називається [[Просте число|простим]]{{sfn|Элементарная математика|1976|с=20}}.

Поняття [[Найбільший спільний дільник|найбільшого спільного дільника]] двох цілих чисел, розкладання цілого числа на [[Просте число|прості множники]] і [[основна теорема арифметики]] цілих чисел практично збігаються (з можливим урахуванням знака) з аналогами цих понять для натуральних чисел<ref>{{книга-ру |ответственный=сост. С. В. Поморцева, О. В. Иванова |часть=Понятие делимости |заглавие=Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства |ссылка часть=http://test.ya-znau.ru/znaniya/zn/121 |место=Омск |издательство=Омский гос. пед. университет |год=2008 |страниц=37 |isbn=}}</ref>.

== Цілі і дійсні числа ==
Існують практичні задачі, в яких необхідно [[Округлення|округлити]] [[Дійсне число|дійсне значення]] до цілого, тобто замінити його на найближче (у той або інший бік) ціле. Оскільки виконувати округлення можна різними способами, для уточнення можна використовувати [[Округлення|символи Айверсона]]"<ref>{{книга-ру |автор=[[Дональд Кнут|Кнут Д.]] |заглавие=Искусство программирования для ЭВМ. Т.{{nbsp}}1. Основные алгоритмы |место=М. |издательство=[[Мир (видавництво)|Мир]] |год=1976 |страниц=735 |страницы=68}}</ref>:

: <math>\lfloor x \rfloor</math> — найближчим до <math>x</math> ціле в бік зменшення (функція «підлога», {{lang-en|floor}}, або «[[Ціла частина числа|ціла частина]]»). Традиційно використовуються також позначення [[Карл Фрідріх Гаусс|Гауса]] <math>[x]</math> або позначення [[Адрієн-Марі Лежандр|Лежандра]] <math>E\left(x\right)</math>.
: <math>\lceil x \rceil</math> — найближче до <math>x</math> ціле в бік збільшення (функція «стеля», {{lang-en|ceiling}}).

Залежно від особливостей постановки задачі, можуть зустрітися й інші методи: округлити до найближчого цілого або відсікти дробову частину (останній варіант для від'ємних <math>x</math> відрізняється від функції «ціла частина»).

Інший клас задач, що зв'язують цілі і дійсні числа — наближення дійсного числа відношенням цілих, тобто [[Раціональні числа|раціональним числом]]. Доведено, що будь-яке дійсне число можна з будь-якою бажаною точністю наблизити раціональним, найкращим інструментом для такого наближення служать [[Ланцюговий дріб|безперервні (ланцюгові) дроби]]<ref>{{книга-ру|автор=Хинчин А. Я.|заглавие=Цепные дроби|место=М.|издательство=ГИФМЛ|год=1960|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}</ref>.

== Застосування ==

=== У прикладних науках ===
[[Файл:US_Navy_070317-N-3642E-379_During_the_warmest_part_of_the_day,_a_thermometer_outside_of_the_Applied_Physics_Laboratory_Ice_Station's_(APLIS)_mess_tent_still_does_not_break_out_of_the_sub-freezing_temperatures.jpg|міні|240x240пкс|Позначки цілих значень температури на шкалі [[термометр]]а]]
Цілі числа широко застосовуються при дослідженні об'єктів, які за своєю природою або за особливостями постановки задачі неподільні (наприклад, люди, кораблі, будівлі, іноді дні і т. ін.). Від'ємні числа також можуть знайти застосування в таких моделях — скажімо, при плануванні торговельних угод можна продажі позначати додатними числами, а купівлі — від'ємними. Приклад з фізики — [[Квантове число|квантові числа]], що грають фундаментальну роль у мікросвіті; всі вони — цілі (або [[Напівціле число|напівцілі]]) числа зі знаком<ref>{{книга-ру|автор=Сивухин Д. В.|заглавие=Общий курс физики|часть=§{{nbsp}}38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов|страницы=226|место=М.|год=2005|том=5 Атомная и ядерная физика| издательство=}}.
</ref>.

Для розв'язання задач, що виникають при цьому, розроблені спеціальні математичні методи, що враховують специфіку проблем. Зокрема, розв'язування в цілих числах алгебраїчних рівнянь (різних степенів) розглядає теорія «[[Діофантові рівняння|діофантових рівнянь]]»<ref>{{книга-ру|автор=[[Гельфонд Олександр Йосипович|Гельфонд А. О.]]|заглавие=Решение уравнений в целых числах|серия=Популярные лекции по математике|место=М.|издательство=Наука|год=1978|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm}}</ref>. Питання цілочисельної оптимізації досліджує [[цілочисельне програмування]]<ref>{{книга-ру|автор=Карманов В. Г.|заглавие=Математическое программирование|место=М.|издательство=Наука|год=1986|страниц=288}}</ref>.

=== В інформатиці ===
[[Ціле число (тип даних)|Тип ціле число]] — найчастіше один з основних [[Тип даних|типів даних]] у [[Мова програмування|мовах програмування]]. Цілі типи даних зазвичай реалізуються як фіксований набір [[біт]]ів, один з яких кодує знак числа, а інші — двійкові цифри. Сучасні [[комп'ютер]]и мають багатий набір команд для арифметичних операцій з цілими числами<ref>{{книга-ру|автор=М. Бен-Ари.|часть=Глава{{nbsp}}4. Элементарные типы данных|заглавие=Языки программирования. Практический сравнительный анализ|оригинал=Understanding Programming Language|место=М.|издательство=Мир|год=2000|страницы=53—74|страниц=366|isbn=5-03-003314-9|ref=Бен-Ари}}</ref>.

== Місце в загальній алгебрі ==
[[Файл:Set_of_real_numbers_(diagram).svg|міні|320x320пкс|Ієрархія числових множин:

<math>\mathbb{N}</math> — [[натуральні числа]]

<math>\mathbb{Z}</math> — цілі числа

<math>\mathbb{Q}</math> — [[раціональні числа]]

<math>\mathbb{R}</math> — [[Дійсне число|дійсні числа]]

<math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> — [[ірраціональні числа]]]]
З точки зору [[Абстрактна алгебра|загальної алгебри]], <math>\mathbb{Z}</math> щодо додавання і множення є нескінченним [[Комутативність|коммутативним]] [[Кільце (алгебра)|кільцем]] з одиницею, без [[Дільник нуля|дільників нуля]] ([[область цілісності]]). Кільце цілих чисел є [[Евклідове кільце|евклідовим]] (і, отже, [[Факторіальне кільце|факторіальним]]) і [[Кільце Нетер|кільцем Нетер]], але не є [[Кільце Артіна|артіновим]]. Якщо розширити це кільце, додавши до нього всілякі [[Дріб|дроби]] (див. [[поле часток]]), вийде [[Поле (алгебра)|поле]] [[Раціональні числа|раціональних чисел]] (<math>\mathbb{Q}</math>); у ньому вже виконується будь-яке ділення, крім ділення на нуль<ref name="VIN">{{книга-ру|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во [[Московський центр неперервної математичної освіти|МЦНМО]]|год=2013|страницы=15—16, 113—114 |страниц=590 |isbn=978-5-4439-0209-8}}</ref><ref>{{книга-ру |автор=Атья М., Макдональд И. |заглавие=Введение в коммутативную алгебру |место=М. |издательство=Мир |год=1972 |страницы=94 |страниц=160}}</ref>.

Відносно операції додавання <math>\mathbb{Z}</math> є [[Абелева група|абелевою групою]], і, отже, також [[Циклічна група|циклічною групою]], оскільки кожен ненульовий елемент <math>\mathbb{Z}</math> може бути записаний у вигляді скінченної суми {{Nobr|1 + 1 + … + 1}} або {{Nobr|(−1) + (−1) + … + (−1)}}. Фактично, <math>\mathbb{Z}</math> є ''єдиною'' нескінченною циклічною групою відносно додавання через те, що будь-яка нескінченна циклічна [[Група (математика)|група]] [[Ізоморфізм|ізоморфна]] групі <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Відносно множення <math>\mathbb{Z}</math> не утворює групу, оскільки у множині цілих чисел ділення, взагалі кажучи, неможливе<ref name="VIN" />.

Множина цілих чисел зі звичайним [[Відношення порядку|порядком]] є [[Впорядковане кільце|впорядкованим кільцем]], але не є [[Цілком впорядкована множина|цілком впорядкованою]], оскільки, наприклад, серед від'ємних чисел немає найменшого. Проте її можна зробити цілком упорядкованою, якщо визначити нестандартне відношення «менше або дорівнює»<ref>{{книга-ру |автор=Дональд Кнут |место=М. |издательство=Мир |год=1976 |страницы=571 (15b) |заглавие=Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы |страниц=736 }}</ref>, яке позначимо <math>\preccurlyeq</math> і визначимо таким чином:

: <math>a \preccurlyeq b,</math> якщо або <math>a=b,</math> або <math>|a|<|b|,</math> або <math>|a|=|b|</math> і <math>a<0<b.</math>

Тоді порядок цілих чисел буде таким: <math>0  \preccurlyeq -1 \preccurlyeq 1 \preccurlyeq -2 \preccurlyeq 2 \dots</math> Зокрема, <math>-1</math> буде найменшим від'ємним числом. <math>\mathbb{Z}</math> з новим порядком буде цілком упорядкованою множиною, але вже не буде впорядкованим кільцем, оскільки цей порядок не узгоджений з операціями кільця: наприклад, з <math>1 \preccurlyeq -2</math>, додавши зліва і справа 1, отримуємо неправильну нерівність <math>2 \preccurlyeq -1.</math>

Будь-яке впорядковане кільце з одиницею і без [[Дільник нуля|дільників нуля]] містить одне і тільки одне [[підкільце]], ізоморфне <math>\mathbb{Z}</math>{{sfn|Числовые системы|1975|с=100}}.

== Логічні основи ==
Розширення натуральних чисел до цілих, як і будь-яке інше розширення [[Алгебрична структура|алгебричної структури]], ставить багато питань, основні з яких — як визначити операції над новим типом чисел (наприклад, як визначити множення від'ємних чисел), які властивості вони тоді будуть мати і (головне питання) чи припустиме таке розширення, чи не призведе воно до нездоланних суперечностей. Для аналізу подібних питань треба сформувати набір аксіом для цілих чисел.

=== Аксіоматика цілих чисел ===
Найпростіше визначити аксіоматику множини цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math>якщо спиратися на вже побудовану множину натуральних чисел <math>\mathbb{N}</math> (яка вважається несуперечливою, а властивості її — відомими). А саме, визначимо <math>\mathbb{Z}</math> як мінімальне [[Кільце (алгебра)|кільце]], що містить множину натуральних чисел. Більш строго, аксіоми цілих чисел такі{{sfn|Числовые системы|1975|с=95—96}}{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=160—162}}.

: '''Z1''': Для будь-яких цілих чисел <math>a,b</math> визначена їх сума <math>a+b</math>.
: '''Z2''': Додавання [[Комутативність|комутативне]]: <math>a+b = b+a</math>. Для скорочення, фразу «для будь-яких <math>a,b\dots</math>» далі, як правило, опускаємо.
: '''Z3''': Додавання [[Асоціативність|асоціативне]]: <math>\left( a+b \right) + c = a + \left( b+c \right).</math>
: '''Z4''': Існує елемент 0 (нуль) такий, що <math>a+0 = a</math>.
: '''Z5''': Для будь-якого цілого числа <math>a</math> існує ''протилежний йому'' елемент <math>-a</math> такий, що <math>a + \left( -a \right) = 0.</math>
: '''Z6''': Для будь-яких цілих чисел <math>a,b</math> визначено їх добуток <math>ab</math>.
: '''Z7''': Множення [[Асоціативність|асоціативне]]: <math>\left( ab \right) c = a \left( bc \right).</math>
: '''Z8''': Множення пов'язане з додаванням [[Дистрибутивність|розподільними]] (дистрибутивними) законами: <math>\left( a+b \right) c = ac + bc;\ c \left( a+b \right) = ca+cb.</math>
: '''Z9''': Множина цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math> містить підмножину, [[Ізоморфізм|ізоморфну]] множині натуральних чисел <math>\mathbb{N}</math>. Для спрощення далі цю підмножину позначено тією ж буквою <math>\mathbb{N}</math>.
: '''Z10''' (''аксіома мінімальності''): нехай <math>M</math> — підмножина <math>\mathbb{Z}</math>, що включає <math>\mathbb{N}</math> і така, що операція віднімання не виводить за межі <math>M</math>. Тоді <math>M</math> збігається зі всією <math>\mathbb{Z}</math>.

З цих аксіом випливають як наслідки всі інші властивості цілих чисел, зокрема комутативність множення, упорядкованість, правила [[Подільність|ділення націло]] і [[ділення з остачею]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=96—98}}. Покажемо, наприклад, як уводиться [[Відношення порядку|порядок]] цілих чисел. Будемо говорити, що <math>a<b</math>, якщо <math>b-a</math> є натуральне число. Аксіоми порядку легко перевіряються. З визначення відразу випливає, що всі натуральні числа більші від нуля (''додатні''), а всі протилежні їм — менші від нуля (''від'ємні''). Для натуральних чисел новий порядок збігається зі старим{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=170—171}}.

Наведена аксіоматика цілих чисел ''категорична'', тобто будь-які її [[Числення висловлень|моделі]] [[Кільце (алгебра)|ізоморфні як кільця]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=98}}.

=== Несуперечливість ===
Стандартний спосіб довести несуперечність нової структури — [[Числення висловлень|змоделювати]] (''інтерпретувати'') її аксіоми за допомогою об'єктів іншої структури, чия несуперечність сумнівів не викликає. У нашому випадку ми повинні реалізувати ці аксіоми на базі пар натуральних чисел{{sfn|Числовые системы|1975|с=100—102|name=NECH100}}.

Розглянемо всі можливі [[Впорядкована пара|впорядковані пари]] натуральних чисел <math>\left(a,b\right)</math>. Щоб сенс подальших визначень став зрозумілим, відразу пояснимо, що ми маємо намір надалі кожну таку пару розглядати як ціле число <math>a-b,</math> наприклад, пари <math>\left(3,2\right)</math> або <math>\left(6,5\right)</math> будуть зображати одиницю, а пари <math>\left(1,4\right)</math> або <math>\left(8,11\right)</math> зображатимуть <math>-3.</math>

Далі визначимо{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=162—168|name=EEM162}}:

# Пари <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> вважаються рівними, якщо <math>a+d=b+c</math>. Це пов'язано з тим, що, як показано в прикладах, будь-яке ціле число можна подати нескінченним числом пар.
# '''Додавання''': сума пар <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> визначається як пара <math>\left(a+c,b+d\right)</math>.
# '''Множення''': добуток пар <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> визначається як пара <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>.

Неважко перевірити, що результати додавання і множення не змінюються, якщо будь-яку пару ми замінимо на рівну їй, тобто нова пара-результат буде рівною попередній (у зазначеному визначенням 1 сенсі рівності). Неважко також переконатися, що описана структура пар задовольняє всьому наведеному переліку аксіом цілих чисел. Додатні числа моделюються парами <math>\left(a,b\right)</math>, яких <math>a>b</math>, нуль зображують пари виду <math>\left(a,a\right)</math>, а пари <math>\left(a,b\right)</math> з <math>a<b</math> відповідають від'ємним числам.

Ця модель дозволяє прояснити, як з аксіом цілих чисел однозначно випливають їх властивості; покажемо це для «правила знаків». Наприклад, помноживши два «від'ємні числа» <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math>, у яких <math>a<b,\ c<d</math>ми за визначенням отримаємо пару <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>. Різниця <math>ac+bd - \left(ad+bc\right)</math> дорівнює <math>\left(b-a\right)\left(d-c\right)</math>, це число додатне, тому пара-добуток зображує додатне ціле число, отже, добуток від'ємних чисел додатний. Будь-яке інше правило (скажімо, «добуток від'ємних чисел від'ємний») зробило б теорію цілих чисел суперечливою.

Описана модель доводить, що наведена аксіоматика цілих чисел несуперечлива. Тому що якби у ній була суперечність, то це означало б суперечність і в базовій для даної моделі арифметиці натуральних чисел, яку ми заздалегідь припустили несуперечливою.

== Потужність множини ==
Множина цілих чисел нескінченна. Хоча натуральні числа становлять лише частину множини цілих чисел, цілих чисел стільки ж, скільки натуральних, в тому сенсі, що [[потужність множини]] цілих чисел така ж, як і множини натуральних — обидві вони [[Зліченна множина|зліченні]]<ref>{{книга-ру|автор=[[Вілєнкін Наум Якович|Н. Я. Виленкин]]|заглавие=Рассказы о множествах|ссылка=http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2005|isbn=5-94057-036-4|издание=3-е изд.|страницы=65—66|страниц=150}}</ref>.

== Варіації та узагальнення ==
Деякі алгебраїчні структури за своїми властивостями схожі на кільце цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Серед них:

* [[Гауссові числа|Гауссові цілі числа]]. Це [[Комплексне число|комплексні числа]] <math>a+bi</math>, де <math>a,b</math> — цілі числа. Для гаусових чисел, як і для звичайних цілих, можна визначити поняття [[Подільність|дільників]], [[Просте число|простого числа]] і [[Модульна арифметика|порівняння за модулем]]. Справедливий аналог [[Основна теорема арифметики|основної теореми арифметики]]<ref>{{книга-ру|автор=Окунев Л. Я.|заглавие=Целые комплексные числа|место=М.|год=1941|издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР|страниц=56}}</ref>.
* [[Ціле число Ейзенштейна|Цілі числа Ейзенштейна]]<ref>{{Cite web|title=Eisenstein Integer|url=http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|last=Eric W. Weisstein|accessdate=2017-08-19|archive-date=15 грудня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201215163827/https://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html}}</ref>.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Див. також ==
{{Вікіцитати1}}
{{Вікіпідручник|Основні числові системи}}
* [[0,(9)]]
* [[Основна теорема арифметики]]
* [[Послідовність цілих чисел]]
* [[Таблиця математичних символів]]

{{Quantity}}

[[Категорія:Цілі числа]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Теорія абелевих груп]]


text:
# Мейржан Шермакханбет
Мейржан Шермакханбет (каз. Мейіржан Шермаханбет; нар. 26 червня 1996) — казахський борець греко-римського стилю, бронзовий призер чемпіонату світу, срібний призер чемпіонату Азії.

## Спортивні результати на міжнародних змаганнях

### Виступи на Чемпіонатах світу
| Змагання                        | Збірна    | Вагова категорія                 | Місце  |
| ------------------------------- | --------- | -------------------------------- | ------ |
| Чемпіонат світу з боротьби 2018 | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | Бронза |
| Чемпіонат світу з боротьби 2019 | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | 28     |

### Виступи на Чемпіонатах Азії
| Змагання                       | Збірна    | Вагова категорія                 | Місце  |
| ------------------------------ | --------- | -------------------------------- | ------ |
| Чемпіонат Азії з боротьби 2019 | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | Срібло |

### Виступи на інших змаганнях
| Змагання                                                     | Збірна    | Вагова категорія                 | Місце  |
| ------------------------------------------------------------ | --------- | -------------------------------- | ------ |
| Гран-прі Угорщини з боротьби 2018                            | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | Золото |
| Турнір Вехбі Емре і Гаміта Каплана 2018                      | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | 16     |
| Турнір Дана Колова — Николи Петрова 2019                     | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | Бронза |
| Меморіал Олега Караваєва 2019                                | Казахстан | греко-римська боротьба, до 72 кг | Бронза |
| Меморіал Маттео Пелліконе 2021                               | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | Золото |
| Олімпійський кваліфікаційний турнір з боротьби 2021 (Алмати) | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | 11     |

### Виступи на змаганнях молодших вікових груп
| Змагання                                     | Збірна    | Вагова категорія                 | Місце |
| -------------------------------------------- | --------- | -------------------------------- | ----- |
| Чемпіонат світу з боротьби серед молоді 2018 | Казахстан | греко-римська боротьба, до 67 кг | 8     |

wikiname: ukwiki

title: Мейржан Шермакханбет

in_language: uk

wikitext:
{{Спортсмен
| ім'я = [[Файл:Wrestling pictogram.svg|25 px]] Мейржан Шермакханбет
| повне_ім'я =
| зображення =
| розмір_зображення   = 300пкс
| підпис =
| прізвисько =
| національність =
| місце_проживання =
| дата_народження = 26.06.1996
| місце_народження =
| дата_смерті =
| місце_смерті =
| зріст =
| вага =
| вебсторінка  =
| країна = {{KAZ}}
| вид_спорту = [[Боротьба (спорт)|боротьба]]
| дисципліна = [[греко-римська боротьба]]
| студентська_команда =
| клуб  =
| команда =
| нац._збірна = {{KAZ}}
| статус_професіонала =
| тренери =
| завершення_виступів =
| тренує =
| світові =
| регіональні =
| національні =
| олімпійські =
| найвищий_рейтинг =
| особисті_рекорди =
| спортивне_звання =
| нагороди =
| медалі =
{{MedalTopBox}}
{{MedalCountry | 	{{KAZ}} }}
{{MedalCompetition|[[Чемпіонат світу з боротьби|Чемпіонати світу з боротьби]]}}
{{MedalBronze|[[Чемпіонат світу з боротьби 2018|Будапешт 2018]]|греко-римська боротьба, до 67 кг}}
{{MedalCompetition|[[Чемпіонат Азії з боротьби|Чемпіонати Азії з боротьби]]}}
{{MedalSilver|[[Чемпіонат Азії з боротьби 2019|Сіань 2019]]|греко-римська боротьба, до 67 кг}}
| show-medals = yes
}}
'''Мейржан Шермакханбет''' ({{lang-kz|Мейіржан Шермаханбет}}; {{н}} {{ДН|26|6|1996}}) — [[Казахстан|казахський]] [[Боротьба (спорт)|борець]] [[греко-римська боротьба|греко-римського стилю]], бронзовий призер [[Чемпіонат світу з боротьби|чемпіонату світу]], срібний призер [[Чемпіонат Азії з боротьби|чемпіонату Азії]].

== Життєпис ==

{{доробити розділ}}

== Спортивні результати на міжнародних змаганнях ==

=== Виступи на Чемпіонатах світу ===

{|class = "wikitable"
!Змагання!!Збірна!! Вагова категорія!! Місце
|-
|[[Чемпіонат світу з боротьби 2018]] ||{{KAZ}}|| [[Чемпіонат світу з боротьби 2018 — греко-римська боротьба, до 67 кг|греко-римська боротьба, до 67 кг]] || {{Бронзова медаль}}
|-
|[[Чемпіонат світу з боротьби 2019]] ||{{KAZ}}|| [[Чемпіонат світу з боротьби 2019 — греко-римська боротьба, до 67 кг|греко-римська боротьба, до 67 кг]] || 28
|-
|}

=== Виступи на Чемпіонатах Азії ===

{|class = "wikitable"
!Змагання!!Збірна!! Вагова категорія!! Місце
|-
|[[Чемпіонат Азії з боротьби 2019]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || {{Срібна медаль}}
|-
|}

=== Виступи на інших змаганнях ===

{|class = "wikitable"
!Змагання!!Збірна!! Вагова категорія!! Місце
|-
|[[Гран-прі Угорщини з боротьби 2018]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || {{Золота медаль}}
|-
|[[Турнір Вехбі Емре і Гаміта Каплана 2018]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || 16
|-
|[[Турнір Дана Колова — Николи Петрова 2019]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || {{Бронзова медаль}}
|-
|[[Меморіал Олега Караваєва 2019]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 72 кг || {{Бронзова медаль}}
|-
|[[Меморіал Маттео Пелліконе 2021]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || {{Золота медаль}}
|-
|[[Боротьба на літніх Олімпійських іграх 2021 — кваліфікація|Олімпійський кваліфікаційний турнір з боротьби 2021 (Алмати)]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || 11
|-
|}

=== Виступи на змаганнях молодших вікових груп ===

{|class = "wikitable"
!Змагання!!Збірна!! Вагова категорія!! Місце
|-
|[[Чемпіонат світу з боротьби серед молоді 2018]] ||{{KAZ}}|| греко-римська боротьба, до 67 кг || 8
|-
|}

== Джерела ==

* {{ІПНН-Борець|8C93388001EA47659581CFA02B93337D|}}

== Посилання ==

* {{UWW/HR}}

{{Борець-доробити}}
{{Kazakhstan-sport-bio-stub}}
{{DEFAULTSORT:Шермакханбет Мейржан}}

[[Категорія:Казахські борці греко-римського стилю]]
[[Категорія:Казахські срібні призери Азійських ігор]]

title: Загальна інформація

Громадянство: Казахстан

Народження: 26 червня 1996 (28 років) · Казахстан

Вага: 67 кг

title: Спорт

Країна: Казахстан

Вид спорту: боротьба

Дисципліна: греко-римська боротьба

Нац. збірна: Казахстан

title: Чемпіонати світу з боротьби

Бронза: Будапешт 2018 · греко-римська боротьба, до 67 кг

title: Чемпіонати Азії з боротьби

Срібло: Сіань 2019 · греко-римська боротьба, до 67 кг


text:
# Пшерванки
Пшерва́нки (пол. Przerwanki, нім. Wiesental) — село в Польщі, у гміні Позездже Венґожевського повіту Вармінсько-Мазурського воєводства.
Населення — 113 осіб (2011).
У 1975-1998 роках село належало до Сувальського воєводства.

## Демографія
Демографічна структура станом на 31 березня 2011 року:
|          | Загалом | Допрацездатний вік | Працездатний вік | Постпрацездатний вік |
| -------- | ------- | ------------------ | ---------------- | -------------------- |
| Чоловіки | 55      | 12                 | 41               | 2                    |
| Жінки    | 58      | 12                 | 36               | 10                   |
| Разом    | 113     | 24                 | 77               | 12                   |

title: Пшерванки

wikitext:
{{НП
|країна             = [[Польща]]
|статус             = село
|українська назва   = Пшерванки
|оригінальна назва  = {{lang-pl|Przerwanki}}
|підпорядкування    =
|герб           =
|прапор         =
|ширина герба   =
|ширина прапора =
|зображення     = Przerwanki1.jpg
|опис зображення    =
|вид регіону = Воєводство
|регіон      = Вармінсько-Мазурське воєводство
|вид району  = Повіт
|район       = [[Венґожевський повіт]]
|вид общини  = Гміна
|община      = Позездже (гміна){{!}}Позездже
|внутрішній поділ   =
|перша згадка       =
|попередні назви    =
|площа              =
|висота центру НП     = 123
|клімат               =
|офіційна мова      =
|офіційна мова-ref  =
|населення          = 113
|рік перепису       = 2011{{R|nsp}}
|густота населення  =
|агломерація        =
|національний склад =
|конфесійний склад  =
|катойконім         =
|часовий пояс           = +1
|DST                    = +1 <!--Якщо є [[літній час]] -->
|телефонний код         = (+48) 87
|поштовий індекс        =
|автомобільний код      = NWE
|вид ідентифікатора     = [[SIMC]]
|цифровий ідентифікатор = 0765263
|сайт  =
|add1n =
|add1  =
}}

'''Пшерва́нки''' ({{lang-pl|Przerwanki}}, {{lang-de|Wiesental}}) — село в Польщі, у [[Позездже (гміна)|гміні Позездже]] [[Венґожевський повіт|Венґожевського повіту]] [[Вармінсько-Мазурське воєводство|Вармінсько-Мазурського воєводства]].
Населення — {{formatnum:113}} {{МНОЖИНА:113|особа|особи|осіб}} (2011{{R|nsp}}).

[[Адміністративний поділ Польщі (1975–1998)|У 1975-1998 роках]] село належало до [[Сувальське воєводство|Сувальського воєводства]].

== Демографія ==
Демографічна структура станом на 31 березня 2011 року{{R|nsp|age}}:
{{ПолДемСтруктура
|Чол=55 |ЧолПре=12 |ЧолПрац=41 |ЧолПост=2
|Жін=58 |ЖінПре=12 |ЖінПрац=36 |ЖінПост=10
|Разом=113 |РазомПре=24 |РазомПрац=77 |РазомПост=12
}}

== Примітки ==
{{commonscat-inline|Przerwanki}}
{{reflist|refs=<ref name=nsp>{{cite web |url={{Pl-census2011-econ-groups-url}}
 |title=Ludność w miejscowościach statystycznych według ekonomicznych grup wieku. Stan w dniu 31.03.2011 r.
 |trans-title=Населення статистичних місцевостей за економічними групами віку. Стан на 31.03.2011
 |author=[[Центральний статистичний офіс Польщі|GUS]] |date= |accessdate=12 серпня 2018}}</ref>
<ref name=age>Згідно з методологією GUS працездатний вік для чоловіків становить 18-64 років, для жінок — 18-59 років {{cite web
 |url=http://stat.gov.pl/metainformacje/slownik-pojec/pojecia-stosowane-w-statystyce-publicznej/861,pojecie.html
 |title=Pojęcia stosowane w statystyce publicznej
 |trans-title=Терміни, які використовуються в публічній статистиці
 |author=[[Центральний статистичний офіс Польщі|GUS]]
 |date=
 |accessdate=14 серпня 2018
 |archive-date=20 вересня 2018
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180920122727/http://stat.gov.pl/metainformacje/slownik-pojec/pojecia-stosowane-w-statystyce-publicznej/861,pojecie.html
 }}</ref>}}.
{{Портал|Польща}}

{{Гміна Позездже}}

[[Категорія:Села Венґожевського повіту]]

title: Країна

Країна: Польща

Воєводство: Вармінсько-Мазурське воєводство

Повіт: Венґожевський повіт

Гміна: Позездже

Часовий пояс: UTC+1, влітку UTC+2

Автомобільний код: NWE

OSM: ↑2970219 ·R (Ґміна Позездже)


text:
# Андреа Саккі
Андреа Сакко (італ. Andrea Sacchi, 30 листопада 1599, Неттуно, поблизу Риму — 21 червня 1661, там само) — італійський художник.

## Біографія і творчість
Народився в родині художника, вчився у Франческо Альбані. В 1621 приїхав до Риму, де і працював усе життя. Йому допомагав кардинал Антоніо Барберіні. В молодості працював на П'єтро да Кортона (1627–1629), згодом змагався з ним. В публічних дебатах про надмірностях в живописі, які велися в гільдії Святого Луки і в яких Саккі дорікав П'єтро да Кортона, на сторону Саккі встали його друзі та однодумці Алессандро Альґарді і Ніколя Пуссен. Там самим Саккі став одним з майстрів, що позначили класичну лінію у розвитку європейського живопису.

## Твори
- Чудо Святого Григорія Великого (1625–1657)
- Святий Ромуальд, що розповідає про своє бачення (1631)
- Божественна премудрість (1629–1633)

title: Андреа Саккі

wikitext:
{{othernames|Саккі}}
{{художник}}
'''Андреа Сакко''' ({{lang-it | Andrea Sacchi}}, [[30 листопада]] [[1599]], Неттуно, поблизу [[Рим]]у — [[21 червня]] [[1661]], там само) — італійський художник.

== Біографія і творчість ==
Народився в родині художника, вчився у Франческо [[Франческо Альбані|Альбані]]. В [[1621]] приїхав до Риму, де і працював усе життя. Йому допомагав кардинал Антоніо Барберіні. В молодості працював на [[П'єтро да Кортона]] ([[1627]]–[[1629]]), згодом змагався з ним. В публічних дебатах про надмірностях в живописі, які велися в [[Гільдія Святого Луки|гільдії Святого Луки]] і в яких Саккі дорікав П'єтро да Кортона, на сторону Саккі встали його друзі та однодумці [[Алессандро Альґарді]] і [[Ніколя Пуссен]]. Там самим Саккі став одним з майстрів, що позначили класичну лінію у розвитку європейського живопису.
[[Файл: Andrea Sacchi.jpg | left | thumb | 250px | Андреа Саккі'' Про три Магдалини'', [[1634]], палаццо Барберіні, [[Рим]]]]

== Твори ==
* '' Чудо Святого Григорія Великого'' ([[1625]]–[[1657]])
* '' Святий Ромуальд, що розповідає про своє бачення'' ([[1631]])
* '' Божественна премудрість'' ([[1629]]–[[1633]])

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* Posse H. Der römische Maler Andrea Sacchi; ein Beitrag zur Geschichte der klassizistischen Bewegung im Baroc. Leipzig: E.A. Seemann, 1925
* Andrea Sacchi: complete edition of the paintings with a critical catalogue / Ann Sutherland Harris, ed. Princeton: Princeton UP, 1977
* D'Avossa A. Andrea Sacchi. Roma: Edizioni Kappa, 1985

== Посилання ==

{{Портал|Мистецтво|Бароко|Біографії|Італія|Живопис}}
{{Commonscat | Andrea Sacchi}}
* 1 [http://www.artrenewal.org/asp/database/art.asp?aid=3576 www.artrenewal.org/asp/database/art.asp?aid=3576]
* Роботи в музеях світу [http://www.artcyclopedia.com/artists/sacchi_andrea.html%20Роботи%20в%20музеях%20світу www.artcyclopedia.com/artists/sacchi_andrea.html]
* Біографія [http://www.bibliotekar.ru/slovar-impr3/280.htm%20Біографія www.bibliotekar.ru/slovar-impr3/280.htm]{{Недоступне посилання|date=червень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
{{Painter-stub}}

{{Бібліоінформація}}
{{DEFAULTSORT:Саккі, Андреа}}
[[Категорія:Народились 1599]]
[[Категорія:Італійські барокові живописці]]

title: Андреа Саккі

Народження: 30 листопада 1599 ( 1599-11-30 ) [ 1 ] [ 2 ] […] Неттуно , Провінція Рим , Лаціо , Королівство Італія [ 3 ] [ 1 ] [ 4 ]

Країна: Папська держава

Жанр: портретний живопис d [ 5 ] , історичний живопис [ 5 ] [ 6 ] , алегорія [d ] [ 6 ] , релігійний живопис d [ 6 ] , жанрове малярство [ 6 ] , міфологічний живопис [ 6 ] і портрет [ 6 ]

Вчитель: Франческо Альбані [ 5 ] , Andrea Camassei d [ 5 ] , Tommaso Donini d [ 5 ] , Cesare Fantetti d [ 5 ] , Luigi Garzi d [ 5 ] , Francesco Giovani d [ 5 ] , Francesco Lauri d [ 5 ] і Agostino Scilla d [ 5 ]

Діяльність: художник , архітектор , рисувальник , художник фресок

Напрямок: бароко [ 5 ] [ 7 ]

Відомі учні: Jean-Gilles Delcour d і Pietro Paolo Baldini d

Твори: Daedalus and Icarus d

Діти: Giuseppe Sacchi d

Роботи в колекції: Штедель , Міннеаполіський інститут мистецтва , Музей Прадо , Оклендська галерея мистецтв d , Національна галерея мистецтв , Національний музей Швеції , Національна галерея Канади , Музей мистецтв Філадельфії , Музей мистецтва Метрополітен [ 8 ] , Національні галереї Шотландії d , Musei di Strada Nuova d , Державний музей мистецтв , Ермітаж , Національна галерея , Музей історії мистецтв , Художня галерея Єльського університету , Державні художні зібрання Дрездена , Музей Фіцвільяма , Детройтський інститут мистецтв , Королівські музеї витончених мистецтв [ 9 ] , Берлінська картинна галерея , Музеї Ватикану , Національний музей Кардіффа , Музей Боуз , Національна галерея Шотландії , Музей Ґетті , Реннський музей образотворчого мистецтва , Ватиканська пінакотека , Галерея Борґезе , Національна галерея старовинного мистецтва , Палаццо Россо , Musée des Beaux-Arts de Caen d , Музей Вальрафа-Ріхарца і Museum Tarnowski Castle d


text:
# Тиран смугастий
Тиран смугастий (Myiodynastes maculatus) — вид горобцеподібних птахів родини тиранових (Tyrannidae). Мешкає в Мексиці, Центральній і Південній Америці.

## Опис
Довжина птаха становить 22 см, вага 43 г. Голова коричнева, на тімені малопомітна жовта пляма, над очима білі "брови", через очі ідуть темні смуги. Верхня частина тіла коричнева, спина поцяткована темно-коричневими смугами. Надхвістя і хвіст з боків рудувато-коричневі. Нижня частина тіла жовтувато-біла, поцятковані численними чорними смужками. Дзьоб великий, міцний. Виду не притаманний статевий диморфізм. Молоді птахи мають переважно коричневе забарвлення, на верхній частині тіла у них чорні смуги. У представників підвиду M. m. solitarius нижня частина тіла поцяткована чорними, а не коричневими смужками.

## Підвиди
Виділяють сім підвидів:
- M. m. insolens Ridgway, 1887 — східна і південно-східна Мексика (від південного заходу Тамауліпасу на південь до Пуебли, північної Оахаки і північного Чіапасу, на схід до південного Юкатану і Кінтана-Роо), північна Гватемала, Беліз і північно-західний Гондурас, можливо також на заході Нікарагуа. Взимку мігрують на північ Південної Америки;
- M. m. difficilis Zimmer, JT, 1937 — від західної Коста-Рики до Панами (зокрема на островах Коїба, Себако[en] і на Перлових островах[en]), Колумбії і західної Венесуели;
- M. m. nobilis Sclater, PL, 1859 — північно-східна Колумбія (від Кордови до гір Сьєрра-де-Періха);
- M. m. chapmani Zimmer, JT, 1937 — південно-західна Колумбія, захід Еквадору і північний захід Перу (на південь до П'юри);
- M. m. maculatus (Müller, PLS, 1776) — Суринам, Французька Гвіана, північна і західна Бразильська Амазонія (від верхів'їв Ріу-Негру на південь до Амазонки, на схід до північно-західного Мараньяну), схід Еквадору і північний схід Перу (басейни річок Укаялі і Напо);
- M. m. tobagensis Zimmer, JT, 1937 — північна Венесуела (зокрема на острові Маргарита), Гаяна, острови Тринідад і Тобаго;
- M. m. solitarius (Vieillot, 1819) — схід і південний схід Перу, центральна і східна Бразилія, східна Болівія, Парагвай, Уругвай і Аргентина (на південь до Ла-Ріохи, Сан-Луїса, Ла-Пампи і північного Буенос-Айреса.

Деякі дослідники виділяють підвид M. m. solitarius у окремий вид Myiodynastes solitarius.

## Поширення і екологія
Смугасті тирани гніздяться від Мексики до центральної Аргентини. Представники підвиду M. m. insolens взимку мігрують на південь, популяції Аргентини, південної Бразилії, південної Болівії, Парагваю і Уругваю взимку мігрують на північ. Смугасті тирани живуть у вологих рівнинних і заболочених тропічних лісах, у вологих гірських тропічних лісах і мангрових лісах, на узліссях і плантаціях. Зустрічаються на висоті до 3000 м над рівнем моря, переважно на висоті до 1700 м над рівнем моря. Живляться комахами, а також ягодами і дрібними хребетними. Гніздо чашоподібне. робиться з гілочок і сухої трави, розміщується в дуплі або серед заростей бромелій. В кладці 2-3 кремово-білих яєць, поцяткованих рудувато-коричневими плямками. Інкубаційний період триває 16-17 днів, насиджує лише самиця. І самиці і самці доглядають за пташенятами. Вони покидають гніздо через 18-21 днів після вилуплення.

title: Тиран смугастий

wikitext:
{{Картка:Таксономія
| name = Тиран смугастий
| status = LC
| status_system = IUCN3.1
| status_ref = <ref>{{cite web|url=https://www.iucnredlist.org/species/103682222/93785126|title=''Myiodynastes maculatus'' |author=BirdLife International |author-link=BirdLife International |year=2016 }}</ref>
| image =BEM-TE-VI-RAJADO ( Myiodynastes maculatus).jpg
| image_caption =
| domain = [[Еукаріоти]] (Eukaryota)
| regnum = [[Тварини]] (Animalia)
| phylum = [[Хордові]] (Chordata)
| classis = [[Птахи]] (Aves)
| ordo = [[Горобцеподібні]] (Passeriformes)
| familia = [[Тиранові]] (Tyrannidae)
| genus = [[Строкатий тиран]] (''Myiodynastes'')
| species = '''Тиран смугастий'''
| binomial = ''Myiodynastes maculatus''
| binomial_authority = ([[Філіпп Людвіг Статіус Мюллер|Statius Muller]], 1776)
| subdivision_ranks = Підвиди
| subdivision =
(Див. текст)
| range_map =
| range_map_caption = Ареал поширення виду
| synonyms = ''Muscicapa maculata''
| wikispecies = Myiodynastes maculatus
| commonscat = Myiodynastes maculatus
| commons = Myiodynastes maculatus
}}
'''Тиран смугастий'''<ref>{{ВНПС}}</ref> (''Myiodynastes maculatus'') — вид [[Горобцеподібні|горобцеподібних]] птахів родини [[Тиранові|тиранових]] (Tyrannidae). Мешкає в [[Мексика|Мексиці]], [[Центральна Америка|Центральній]] і [[Південна Америка|Південній Америці]].
[[Файл:Streaked Flycatcher - Intervales - Brazil S4E9539 (16732072759).jpg|міні|ліворуч|200пкс|Смугастий тиран]]
== Опис ==
Довжина птаха становить 22 см, вага 43 г. Голова коричнева, на тімені малопомітна жовта пляма, над очима білі "брови", через очі ідуть темні смуги. Верхня частина тіла коричнева, спина поцяткована темно-коричневими смугами. Надхвістя і хвіст з боків рудувато-коричневі. Нижня частина тіла жовтувато-біла, поцятковані численними чорними смужками. Дзьоб великий, міцний. Виду не притаманний статевий диморфізм. Молоді птахи мають переважно коричневе забарвлення, на верхній частині тіла у них чорні смуги. У представників підвиду ''M. m. solitarius'' нижня частина тіла поцяткована чорними, а не коричневими смужками.

== Підвиди ==
Виділяють сім підвидів:<ref name=ioc>{{cite web|editor1-last=Gill|editor1-first=Frank|editor1-link=Frank Gill (ornithologist)|editor2-last=Donsker|editor2-first=David|year=2022|title=Tyrant flycatchers| work=World Bird List Version 12.1|url=https://www.worldbirdnames.org/bow/flycatchers/| publisher=International Ornithologists' Union|accessdate=27 травня 2022}}</ref>
* ''M. m. insolens'' Ridgway, 1887 — східна і південно-східна Мексика (від південного заходу [[Тамауліпас]]у на південь до [[Пуебла (штат)|Пуебли]], північної [[Оахака (штат)|Оахаки]] і північного [[Чіапас]]у, на схід до південного [[Юкатан (штат)|Юкатану]] і [[Кінтана-Роо]]), північна [[Гватемала]], [[Беліз]] і північно-західний [[Гондурас]], можливо також на заході [[Нікарагуа]]. Взимку мігрують на північ Південної Америки;
* ''M. m. difficilis'' Zimmer, JT, 1937 — від західної [[Коста-Рика|Коста-Рики]] до [[Панама|Панами]] (зокрема на островах [[Національний парк Коїба|Коїба]], {{нп|Себако||en|Cébaco}} і на {{нп|Перлові острови|Перлових островах|en|Pearl Islands}}), [[Колумбія|Колумбії]] і західної [[Венесуела|Венесуели]];
* ''M. m. nobilis'' Sclater, PL, 1859 — північно-східна Колумбія (від [[Кордова (департамент)|Кордови]] до гір [[Сьєрра-де-Періха]]);
* ''M. m. chapmani'' Zimmer, JT, 1937 — південно-західна Колумбія, захід [[Еквадор]]у і північний захід [[Перу]] (на південь до [[П'юра (регіон)|П'юри]]);
* ''M. m. maculatus'' (Müller, PLS, 1776) — [[Суринам]], [[Французька Гвіана]], північна і західна Бразильська [[Амазонська низовина|Амазонія]] (від верхів'їв [[Ріу-Негру]] на південь до [[Амазонка|Амазонки]], на схід до північно-західного [[Мараньян]]у), схід Еквадору і північний схід Перу (басейни річок [[Укаялі]] і [[Напо (річка)|Напо]]);
* ''M. m. tobagensis'' Zimmer, JT, 1937 — північна Венесуела (зокрема на острові [[Маргарита (острів)|Маргарита]]), [[Гаяна]], острови [[Тринідад (острів)|Тринідад]] і [[Тобаго]];
* ''M. m. solitarius'' (Vieillot, 1819) — схід і південний схід Перу, центральна і східна Бразилія, східна Болівія, Парагвай, Уругвай і Аргентина (на південь до [[Ла-Ріоха (провінція Аргентини)|Ла-Ріохи]], [[Сан-Луїс (Аргентина)|Сан-Луїса]], [[Ла-Пампа|Ла-Пампи]] і північного [[Буенос-Айрес (провінція)|Буенос-Айреса]].

Деякі дослідники виділяють підвид ''M. m. solitarius'' у окремий вид ''Myiodynastes solitarius''<ref>{{cite web|url=https://www.iucnredlist.org/species/22731714/104079393|title=''Myiodynastes solitarius'' |author=BirdLife International |author-link=BirdLife International |year=2016 }}</ref>.

== Поширення і екологія ==
Смугасті тирани гніздяться від [[Мексика|Мексики]] до центральної [[Аргентина|Аргентини]]. Представники підвиду ''M. m. insolens'' взимку мігрують на південь, популяції Аргентини, південної [[Бразилія|Бразилії]], південної [[Болівія|Болівії]], [[Парагвай|Парагваю]] і [[Уругвай|Уругваю]] взимку мігрують на північ. Смугасті тирани живуть у вологих рівнинних і заболочених тропічних лісах, у вологих гірських тропічних лісах і мангрових лісах, на узліссях і плантаціях. Зустрічаються на висоті до 3000 м над рівнем моря, переважно на висоті до 1700 м над рівнем моря. Живляться комахами, а також ягодами і дрібними хребетними<ref name=daAGabriel2005>{{cite journal |last1=de A. Gabriel |first1=Vagner |last2=Pizo |first2=Marco A. |year=2005 |title=Foraging behavior of tyrant flycatchers (Aves, Tyrannidae) in Brazil |journal=Revista Brasileira de Zoologia |volume=22 |issue=4 |pages=1072–1077 |language=en, pt|doi=10.1590/S0101-81752005000400036 |url=http://www.scielo.br/pdf/rbzool/v22n4/a36v22n4.pdf}}</ref>. Гніздо чашоподібне. робиться з гілочок і сухої трави, розміщується в дуплі або серед заростей [[Бромелієві|бромелій]]. В кладці 2-3 кремово-білих яєць, поцяткованих рудувато-коричневими плямками. Інкубаційний період триває 16-17 днів, насиджує лише самиця. І самиці і самці доглядають за пташенятами. Вони покидають гніздо через 18-21 днів після вилуплення<ref name=Pascotto2006>{{cite journal |last1=Pascotto |first1=Márcia Cristina |year=2006 |title=Avifauna dispersora de sementes de ''Alchornea glandulosa'' (Euphorbiaceae) em uma área de mata ciliar no estado de São Paulo |trans-title=Seed dispersal of ''Alchornea glandulosa'' (Euphorbiaceae) by birds in a gallery forest in São Paulo, southeastern Brazil |journal=Revista Brasileira de Ornitologia |volume=14 |issue=3 |pages=291–296 |language=pt, en |url=http://www.ararajuba.org.br/sbo/ararajuba/artigos/Volume143/ara143not5.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101102015357/http://www.ararajuba.org.br/sbo/ararajuba/artigos/Volume143/ara143not5.pdf |archive-date=2010-11-02 }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101102015357/http://www.ararajuba.org.br/sbo/ararajuba/artigos/Volume143/ara143not5.pdf |date=2010-11-02 }}</ref><ref name=Machado1999>{{cite journal |last1=Machado |first1=C.G. |year=1999 |title=A composição dos bandos mistos de aves na Mata Atlântica da Serra de Paranapiacaba, no sudeste brasileiro |trans-title=Mixed flocks of birds in Atlantic Rain Forest in Serra de Paranapiacaba, southeastern Brazil |journal=Revista Brasileira de Biologia |volume=59 |issue=1 |pages=75–85 |language=pt, en|doi=10.1590/S0034-71081999000100010 |url=http://www.scielo.br/pdf/rbbio/v59n1/v59n1a10.pdf }}</ref>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
*{{ cite book | last=Skutch | first=Alexander F. | author-link=Alexander Skutch | date=1960 | chapter=Streaked flycatcher | title=Life Histories of Central American Birds II | series=Pacific Coast Avifauna, Number 34 | location=Berkeley, California | publisher=Cooper Ornithological Society | chapter-url=https://sora.unm.edu/sites/default/files/journals/pca/pca_034.pdf#page=375 | pages=374–384 | ref=none }}

{{Taxonbar|from=Q875860}}
{{птахи-доробити}}

[[Категорія:Тиранові]]
[[Категорія:Птахи, описані 1776]]
[[Категорія:Птахи Мексики]]
[[Категорія:Птахи Центральної Америки]]
[[Категорія:Птахи Південної Америки]]

title: ?Тиран смугастий

Домен: Еукаріоти (Eukaryota)

Царство: Тварини (Animalia)

Тип: Хордові (Chordata)

Клас: Птахи (Aves)

Ряд: Горобцеподібні (Passeriformes)

Родина: Тиранові (Tyrannidae)

Рід: Строкатий тиран (Myiodynastes)

Вид: Тиран смугастий

Вікісховище: Myiodynastes maculatus

Віківиди: Myiodynastes maculatus


text:
# Густав Свенссон
Густав Свенссон (швед. Gustav Svensson, нар. 9 лютого 1987, Гетеборг) — шведський футболіст, півзахисник «Гетеборга» та національної збірної Швеції.

## Клубна кар'єра
У дорослому футболі дебютував 2006 року виступами за команду клубу «Гетеборг», в якій провів чотири сезони, взявши участь у 83 матчах чемпіонату.
Своєю грою за цю команду привернув увагу представників тренерського штабу турецького клубу «Бурсаспор», до складу якого приєднався 2010 року. Відіграв за команду з Бурси наступні два сезони своєї ігрової кар'єри.
До складу клубу «Таврія» приєднався 2012 року. 31 серпня 2012 року дебютував в чемпіонаті України у виїзному матчі 8-о туру проти ужгородської «Говерли» (2:1), Свенссон відіграв весь матч. «Таврія» у цій грі поступилася, а «Говерла» здобула першу перемогу в чемпіонаті. Дебютувавши в чемпіонаті України Густав Свенссон став першим шведом в першості країни. До кінця 2013 року встиг відіграти за сімферопольську команду 21 матч в національному чемпіонаті.
На початку 2014 року повернувся в рідний «Гетеборг», де відразу став основним гравцем. Згодом протягом 2016 року грав у Китаї, де захищав кольори «Гуанчжоу Фулі».
2017 року перебрався до США, уклавши контракт з «Сіетл Саундерз».

## Виступи за збірні
Протягом 2007–2009 років залучався до складу молодіжної збірної Швеції. На молодіжному рівні зіграв у 10 офіційних матчах, забив 1 гол.
У 2009 році дебютував в офіційних матчах у складі національної збірної Швеції. Провів того року у формі головної команди країни 2 матчі, після чого деякий час до її лав не залучався. 2016 року знову почав викликатися до національної збірної, а за два роки був включений до її заявки для участі у фінальній частині чемпіонату світу 2018 року.

## Досягнення

### «Гетеборг»
- Чемпіон Швеції (1) : 2007
- Срібний призер чемпіонату Швеції (1) : 2009
- Бронзовий призер чемпіонату Швеції (1) : 2008
- Володар Кубка Швеції (2) : 2008, 2014-15
- Фіналіст Кубка Швеції (2) : 2007, 2009
- Володар Суперкубка Швеції (1) : 2008

### «Бурсаспор»
- Бронзовий призер чемпіонату Туреччини (1) : 2010/11
- Фіналіст Кубка Туреччини (1) : 2011/12

title: Густав Свенссон

wikitext:
{{othernames|Свенссон}}
{{Футболіст
| ім'я = Густав Свенссон
| зображення = Gustav Svensson (2015).jpg
| підпис =
| повне-ім'я = Карл Йоган Густав<br/> Свенссон
| місце-народження = [[Гетеборг]]
| країна-народження = [[Швеція]]
| дата-народження = 9.2.1987
| дата-смерті =
| місце-смерті =
| зріст = 187 см
| вага = 78 кг
| поточний-клуб  = {{Прапорець|SWE}} [[Гетеборг (футбольний клуб)|«Гетеборг»]]
| позиція = [[Півзахисник (футбол)|півзахисник]]
| номер  = 13
| клубний гравець = {{Футболіст початок}}
{{Футболіст заголовок|Клуб}}
{{Футболіст рядок 0|2006–2010 | {{Прапорець|SWE}} | [[Гетеборг (футбольний клуб)|«Гетеборг»]] | 83 |7}}
{{Футболіст рядок 1|2010–2012 | {{Прапорець|TUR}} | «[[Бурсаспор]]» | 29 |0}}
{{Футболіст рядок 0|2012–2013 | {{Прапорець|UKR}} | [[Таврія (Сімферополь)|«Таврія»]] | 21 |0}}
{{Футболіст рядок 1|2014–2015 | {{Прапорець|SWE}} | [[Гетеборг (футбольний клуб)|«Гетеборг»]] | 52 |1}}
{{Футболіст рядок 0|2016 | {{Прапорець|CHN}} | «[[Гуанчжоу Сіті|Гуанчжоу Фулі]]» | 28 |0}}
{{Футболіст рядок 1|2017–2020 | {{Прапорець|USA}} | «[[Сіетл Саундерз]]» | 90 |4}}
{{Футболіст рядок 0|2021 | {{Прапорець|CHN}} | «[[Гуанчжоу Сіті]]» | 5 |0}}
{{Футболіст рядок 1|2021– | {{Прапорець|SWE}} | [[Гетеборг (футбольний клуб)|«Гетеборг»]] | 25 |0}}
{{Футболіст кінець}}
| гравець збірної = {{Футболіст початок}}
{{Футболіст заголовок|Збірна}}
{{Футболіст рядок 0|2007–2009 | {{Прапорець|SWE}} | [[Молодіжна збірна Швеції з футболу|Швеція U-21]] | 24 |1}}
{{Футболіст рядок 1|2009– | {{Прапорець|SWE}} | [[збірна Швеції з футболу|Швеція]] | 32 |0}}
{{Футболіст кінець}}
| пк-поновлення = 2 травня 2022
| збірна-поновлення = 18 червня 2021
}}
'''Густав Свенссон''' ({{lang-sv|Gustav Svensson}}, {{н}} [[9 лютого]] [[1987]], [[Гетеборг]]) — [[Швеція|шведський]] [[футбол]]іст, [[Півзахисник (футбол)|півзахисник]] [[Гетеборг (футбольний клуб)|«Гетеборга»]] та [[збірна Швеції з футболу|національної збірної Швеції]].

== Клубна кар'єра ==
У дорослому футболі дебютував [[2006]] року виступами за команду клубу «[[Гетеборг (футбольний клуб)|Гетеборг]]», в якій провів чотири сезони, взявши участь у 83 матчах чемпіонату.

Своєю грою за цю команду привернув увагу представників тренерського штабу турецького клубу «[[Бурсаспор]]», до складу якого приєднався [[2010]] року. Відіграв за команду з [[Бурса (місто)|Бурси]] наступні два сезони своєї ігрової кар'єри.

До складу клубу [[Таврія (Сімферополь)|«Таврія»]] приєднався [[2012]] року. [[31 серпня]] [[2012]] року дебютував в [[Чемпіонат України з футболу: Прем'єр-ліга|чемпіонаті України]] у виїзному матчі 8-о туру проти [[ужгород]]ської «[[Говерла (футбольний клуб)|Говерли]]» (2:1)<ref>{{cite web|publication-date= 31.08.2012|url= http://football.ua/ukraine/news/175030.html|title= «Говерла»: есть первая победа|publisher= Football.ua|accessdate= 16.09.2012|language= ru|archiveurl= https://web.archive.org/web/20120920092906/http://football.ua/ukraine/news/175030.html|archivedate= 20.09.2012|deadurl= yes}}</ref>, Свенссон відіграв весь матч. «Таврія» у цій грі поступилася, а «Говерла» здобула першу перемогу в чемпіонаті. Дебютувавши в чемпіонаті України Густав Свенссон став першим шведом в першості країни<ref>{{cite web|publication-date= 03.09.2012|url= http://football.ua/ukraine/news/175398.html|title= В зеркале цифр. 8-й тур|publisher= Football.ua|accessdate= 16.09.2012|language= ru|archiveurl= https://web.archive.org/web/20120906091505/http://football.ua/ukraine/news/175398.html|archivedate= 06.09.2012|deadurl= yes}}</ref>. До кінця [[2013]] року встиг відіграти за сімферопольську команду 21 матч в національному чемпіонаті.

На початку [[2014]] року повернувся в рідний «[[Гетеборг (футбольний клуб)|Гетеборг]]», де відразу став основним гравцем. Згодом протягом 2016 року грав у Китаї, де захищав кольори «[[Гуанчжоу Фулі]]».

2017 року перебрався до США, уклавши контракт з «[[Сіетл Саундерз]]».

== Виступи за збірні ==
Протягом [[2007]]–[[2009]] років залучався до складу [[Молодіжна збірна Швеції з футболу|молодіжної збірної Швеції]]. На молодіжному рівні зіграв у 10 офіційних матчах, забив 1 гол.

У [[2009]] році дебютував в офіційних матчах у складі [[Збірна Швеції з футболу|національної збірної Швеції]]. Провів того року у формі головної команди країни 2 матчі, після чого деякий час до її лав не залучався. 2016 року знову почав викликатися до національної збірної, а за два роки був включений до її заявки для участі у фінальній частині [[Чемпіонат світу з футболу 2018|чемпіонату світу 2018 року]].

== Досягнення ==

=== «Гетеборг» ===
* [[Чемпіонат Швеції з футболу|Чемпіон Швеції]] (1) : [[Чемпіонат Швеції з футболу 2007|2007]]
* Срібний призер чемпіонату Швеції (1) : [[Чемпіонат Швеції з футболу 2009|2009]]
* Бронзовий призер чемпіонату Швеції (1) : [[Чемпіонат Швеції з футболу 2008|2008]]
* Володар [[Кубок Швеції з футболу|Кубка Швеції]] (2) : [[Кубок Швеції з футболу 2008|2008]], [[Кубок Швеції з футболу 2014—2015|2014-15]]
* Фіналіст Кубка Швеції (2) : [[Кубок Швеції з футболу 2007|2007]], [[Кубок Швеції з футболу 2009|2009]]
* Володар [[Суперкубок Швеції з футболу|Суперкубка Швеції]] (1) : [[Суперкубок Швеції з футболу 2008|2008]]

=== «Бурсаспор» ===
* Бронзовий призер [[Суперліга (Туреччина)|чемпіонату Туреччини]] (1) : [[Чемпіонат Туреччини з футболу 2010—2011|2010/11]]
* Фіналіст [[Кубок Туреччини з футболу|Кубка Туреччини]] (1) : [[Кубок Туреччини з футболу 2011—2012|2011/12]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* {{ФФУ|83810}}
* {{transfermarkt|41362}}
* {{allplayers|3223}}
* {{NFT player|pid=29916}}
* [http://afc.crimea.ua/archives/358 «Направляли в обличчя автомат» – легіонер Таврії розповів про втечу з клубу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201129193755/http://afc.crimea.ua/archives/358 |date=29 листопада 2020 }}
{{Склад ФК Гетеборг}}
{{navboxes colour
|title=Склади збірної Швеції
|bg= #FFF01C
|fg= #005B99
|bordercolor= #005B99
|list1={{Склад збірної Швеції U21 на Молодіжному чемпіонаті Європи 2009}}
{{Склад збірної Швеції на чемпіонаті світу 2018}}
{{Склад збірної Швеції на чемпіонаті Європи 2020}}
}}
{{footballer-stub}}

{{Портали|Біографії|Футбол}}

{{DEFAULTSORT:Свенссон, Густав}}
[[Категорія:Шведські футболісти]]
[[Категорія:Гравці молодіжної збірної Швеції з футболу]]
[[Категорія:Гравці збірної Швеції з футболу]]
[[Категорія:Футболісти «Гетеборга»]]
[[Категорія:Футболісти «Бурсаспора»]]
[[Категорія:Футболісти «Таврії» (Сімферополь)]]
[[Категорія:Футболісти «Гуанчжоу Сіті»]]
[[Категорія:Футболісти «Сіетл Саундерз»]]
[[Категорія:Шведські футбольні легіонери]]
[[Категорія:Футбольні легіонери в Туреччині]]
[[Категорія:Футбольні легіонери в Україні]]
[[Категорія:Футбольні легіонери в Китаї]]
[[Категорія:Футбольні легіонери у США]]
[[Категорія:Уродженці Гетеборга]]

title: Особисті дані

Повне ім'я: Карл Йоган Густав · Свенссон

Народження: 9 лютого 1987 (38 років)

Вага: 78 кг

Громадянство: Швеція

Позиція: півзахисник

title: Інформація про клуб

Поточний клуб: «Гетеборг»

title: Професіональні клуби*

Роки: Клуб · І (г)

«Гетеборг» · 83 · (7)

«Бурсаспор» · 29 · (0)

«Таврія» · 21 · (0)

«Гетеборг» · 52 · (1)

«Гуанчжоу Фулі» · 28 · (0)

«Сіетл Саундерз» · 90 · (4)

«Гуанчжоу Сіті» · 5 · (0)

«Гетеборг» · 25 · (0)

title: Національна збірна**

Роки: Збірна · І (г)

Швеція U-21 · 24 · (1)

Швеція · 32 · (0)

title: Звання, нагороди

Нагороди: Кришталевий м'ячd (2009) Кришталевий м'ячd (2015)

Звання, нагороди: * Ігри та голи за професіональні клуби · враховуються лише в національному чемпіонаті. · Інформацію оновлено 2 травня 2022.

Звання, нагороди: ** Інформацію про ігри та голи за національну збірну · оновлено 18 червня 2021.

title: Склади збірної Швеції

Швеція