text:
# Меланхлени
Меланхлени (грец. Μελαγχλαινοι, досл. «вдягнуті в чорне»)  — стародавній народ, що мешкав у Східній Європі в I тис. до н. е..

## Локалізація
Геродот розміщує меланхленів на північ від скіфів, на схід від андрофагів і на захід від будинів. Тальгрен пов'язує меланхленів з регіоном Вороніжа. За іншою версією, меланхлени мешкали на території Харківської області.
У районі смт Пісочин зараз тривають розкопки курганів, орієнтовно ідентифікованими як кургани меланхленів. За новими відомостями меланхлени піднялися від Дону в часи війни скіфів і персів і осіли в районі сучасної Тульської області.[джерело?]

## Назва
Очевидно, називалися так тому, що носили чорний одяг (чорноодягнуті; грец. Μελαγχλαινοι) За Геродотом, вони носили короткі чорні плащі.

## Побут
Не належачи до скитів, меланхлени були дуже схожі на них за способом життя та характером, тобто були кочівниками.

## Історія
Меланхлени мали власних «царів» і брали у відповідальних випадках самостійні рішення, які могли не збігатися з побажаннями скіфів.
Царі меланхленів брали участь в раді царів Великої Скіфії близько 513 р. до н. е.. при виробленні спільної стратегії боротьби з військом Дарія I. Меланхлени поряд з низкою інших народів відмовилися підтримати скіфів.
Після конфлікту зі скіфами, імовірно, вони пішли на північ, до річки Ока.[джерело?]

## Етнічна приналежність
Етнічна приналежність меланхленів дискусійна. Раніше вчені відносили їх до предків слов'ян. Але археологічні розкопки курганів меланхленів показали їхню близьку спорідненість за способом життя і генотипом до іранських народів. Практично в кожній могилі знаходять скіфський меч — акінак. Дослідники вважають, що меланхлени були найбільш осілими з племен і першими перейшли до рільництва. Цю версію підтверджують розкопки Пісочинських курганів.[джерело?]
За описом Геродота, на північ від земель, зайнятих скіфами, «де сиплеться з неба білий пух», жили меланхлени (грец. Μελαγχλαινοι — «чорноодягнуті»). Населяли в І тисячолітті до н. е. район по верхній течії річки Сіверський Донець (Танаїс (грец.) у Скіфії).
У сучасних традиціях меланхленів вважають або балтами юхнівської культури, або кімерійцями.

## Свідчення з «Історії» Геродота
```
За
Герром
 простягається країна, що називається царською, і скіфи, які в ній живуть, найхоробріші та найчисленніші і вони вважають інших скіфів своїми невільниками. Вони на півдні сягають аж до
Тавріки
, а на схід - до рову, що як я сказав, прокопали народжені від сліпих, і до гавані на
Маєтідському озері
, що називається
Кремни
. Деякі інші частини їхньої землі доходять до річки
Танаіса
. Вище на північ від царських скіфів мешкають
меланхлайни
, це вже інша народність, не скіфська. Вище від меланхлайнів, наскільки я знаю, є болота і незалюднена країна.
```

(Історія. 4-а книга 20 уривок)
```
Отже, від
Тавріки
 на північ від
таврів
 і на схід аж до моря живуть уже скіфи і ще в краях на сході від
Кімерійського Боспору
 і від
Маєтідського озера
 до річки
Танаїсу
, що вливається саме в це озеро. Отже, від
Істру
 і далі на північ у глиб материка
Скіфія
 обмежена спершу народом
агатірсів
, далі - народом
неврів
 і після нього -
андрофагів
 і, нарешті,-
меланхлайнів
.
```

(Історія. 4-а книга 100 уривок)
```
Отже,
Скіфія
, має чотирикутку форму і дві її сторони, що скеровані до моря, одна, яка від узбережжя заходить у глиб материка, та інша, яка тягнеться вздовж моря, за розміром є однакові. Від Істру до річки
Борисфену
 десять днів шляху і ще десять від Борисфену до озера Маєтїди. А сторона Скіфії від моря в середину країни до
меланхлайнів
, що живуть на півночі від Скіфії, становить двадцять днів шляху. Одноденний шлях за моїм підрахунком дорівнює двумстам стадіям. На основі цього підрахунку сторони Скіфії поперечні становлять чотири тисячі стадій, а поздовжні, що йдуть у середину країни, мають також стільки стадій.
```

(Історія. 4-а книга 101 уривок)
```
Скіфи порадилися між собою і вирішили, що вони самі не спроможні помірятися силами і прогнати
Дарія
 і послали вісників до сусідніх народів. І царі цих народів уже збиралися і радилися між собою, розуміючи, що проти них виступило велике військо. Це були царі
таврів
 і
агатірсів
, і
неврів
, і
андрофагів
, і
меланхлайнів
, і
гелонів
, і
будинів
, і
савроматів
.
```

(Історія. 4-а книга 102 уривок)
```
Меланхлайни
 одягаються в усе чорне, звідки і їхня назва, а звичаї в них скіфські.
```

(Історія. 4-а книга 107 уривок)
```
Таке сповістили скіфи, а царі, які прибули до них із своїх країн, почали радитися і тоді їхні думки розділилися. Гелон, Будин і Савромат мали спільну думку і обіцяли допомогти скіфам. Проте Агатірс, Невр, Андрофаг і царі
меланхлайнів
 і таврів дали скіфам таку відповідь:
«Коли б це не ви перші образили персів і не ви перші почали війну проти них, ми сказали б, що справедливі ваші слова і те, що ви хочете тепер від нас, і ми охоче послухалися б вас і зробили б так, як і ви. Проте, тепер, коли ви вчинили напад на їхню країну без нас і поневолили персів, на скільки років завгодно було богові, і вони, бо їх підняв проти вас той самий бог, відплачують вам рівною мірою. Проте ми ні тоді не нападали на цих людей, ні тепер не хочемо завдавати їм шкоди. Але, коли вони виступлять проти нашої країні і перші розпочнуть ворожі дії, тоді і ми виступимо, щоб їх відкинути. Доки ми не будемо певні цього, ми залишатимемося спокійні, бо ми гадаємо, що перси не прийшли сюди, щоб напасти на нас, але на тих, які винуваті в кривді, що була їм вчинена».
```

(Історія. 4-а книга 119 уривок)
```
Швидко просуваючись із військом, скоро
Дарій
 прибув до Скіфії, він натрапив там на обидві об'єднані частини скіфського війська, і почав їх переслідувати, а вони уникали зустрічі з ним, тримаючись від нього на відстані одного дня шляху.
А скіфи, оскільки Дарій не переставав їх переслідувати, згідно прийнятим рішенням, відступали до країни тих, хто відмовився бути з ними в союзі, і спершу до країни
меланхлайнів
 і збентежили їх. Ідучи далі, скіфи заманили персів до країни андрофагів і, розбурхавши і їх, прийшли до неврів, і стурбувавши їх, скіфи, відступаючи, підійшли до країни агатірсів.
Проте агатірси, побачивши, як їхні сусіди тікають у безладді перед скіфами, ще перед тим як скіфи вдерлися до їхньої країни, послали вісника і заборонили їм уступати в їхню країну і попередили їх, коли скіфи спробують удертися, то наштовхнуться насамперед на їхній опір. Таке попередження послали їм агатірси і поспішили до своїх кордонів, вирішивши відбити напад загарбників.
А
меланхлайни
, і андрофаги, і неври, щойно вдерлися до їхньої країни перси із скіфами, навіть не спробували відбити їх, але, забувши про свої загрози, повтікали в безладді на північ із своїх країв, у пустелю.
Скіфи не наважилися увійти в країну агатірсів з огляду на те, що їм це було заборонено, але, відходячи з країни неврів, завели персів до своєї країни.
```

(Історія. 4-а книга 125 уривок)

title: Меланхлени

wikitext:
{{Достовірність|дата = червень 2025}}
'''Меланхлени''' ({{lang-el|Μελαγχλαινοι|||вдягнуті в чорне}})  — стародавній народ, що мешкав у [[Східна Європа|Східній Європі]] в I тис. до н. е..

== Локалізація ==
Геродот розміщує меланхленів на північ від [[скіфи|скіфів]], на схід від [[Андрофаги|андрофагів]] і на захід від [[Будини (народ)|будинів]]. [[Тальгрен]] пов'язує меланхленів з регіоном [[Вороніж]]а.<ref>{{Cite web |url=http://gumilevica.kulichki.net/VGV/vgv122.htm |title=Північні сусіди скіфів |accessdate=10 серпня 2010 |archive-date=7 січня 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100107052136/http://gumilevica.kulichki.net/VGV/vgv122.htm }}</ref> За іншою версією, меланхлени мешкали на території [[Харківська область|Харківської області]].<ref>{{Cite web |url=http://ndgazeta.org.ua/razd.php?n=1555 |title=іраномовних Харківщина |accessdate=10 серпня 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160311053022/http://ndgazeta.org.ua/razd.php/?n=1555 |archivedate=11 березня 2016 |deadurl=yes }}</ref>

У районі смт [[Пісочин (смт)|Пісочин]] зараз тривають розкопки курганів, орієнтовно ідентифікованими як кургани меланхленів. За новими відомостями меланхлени піднялися від Дону в часи війни скіфів і персів і осіли в районі сучасної Тульської області.{{джерело}}

== Назва ==
Очевидно, називалися так тому, що носили чорний одяг (чорноодягнуті; грец. Μελαγχλαινοι) За Геродотом, вони носили короткі чорні плащі.

== Побут ==
Не належачи до [[скіфи|скитів]], меланхлени були дуже схожі на них за способом життя та характером, тобто були кочівниками.

[[Файл:Map of Colchis, Iberia, Albania, and the neighbouring countries ca 1770.jpg|thumb|На давній карті в самому верху вказана [[річка Танаїс]], праворуч від неї землі меланхленів]]

== Історія ==
Меланхлени мали власних «царів» і брали у відповідальних випадках самостійні рішення, які могли не збігатися з побажаннями скіфів.

Царі меланхленів брали участь в раді царів [[Велика Скіфія|Великої Скіфії]] близько 513 р. до н. е.. при виробленні спільної стратегії боротьби з військом [[Дарій І|Дарія I]]. Меланхлени поряд з низкою інших народів відмовилися підтримати скіфів.

Після конфлікту зі скіфами, імовірно, вони пішли на північ, до річки [[Ока]].{{джерело}}

== Етнічна приналежність ==
Етнічна приналежність меланхленів дискусійна. Раніше вчені відносили їх до предків слов'ян. Але археологічні розкопки курганів меланхленів показали їхню близьку спорідненість за способом життя і генотипом до іранських народів. Практично в кожній могилі знаходять скіфський меч — [[акінак]]. Дослідники вважають, що меланхлени були найбільш осілими з племен і першими перейшли до рільництва. Цю версію підтверджують розкопки [[Пісочин (смт)|Пісочин]]ських курганів.{{джерело}}

За описом Геродота, на північ від земель, зайнятих скіфами, «де сиплеться з неба білий пух», жили меланхлени (грец. Μελαγχλαινοι — «чорноодягнуті»). Населяли в І тисячолітті до н. е. район по верхній течії річки Сіверський Донець ([[Танаїс (річка)|Танаїс]] (грец.) у Скіфії).

У сучасних традиціях меланхленів вважають або [[балти|балтами]] [[Юхнівська культура|юхнівської культури]],<ref>{{Cite web |url=http://slavica.abakumov.kiev.ua/katalogmain/katalogmain-10/2-praslavane-i-baltoslavane-poliskij-aspekt-balto-slov-anskogo-pitanna-onomastika-polissa---k---1999-s-139---146-150 |title=праслов'яни І БАЛТОСЛАВЯНЕ Поліській аспект балто-слів'янського питання//Ономастика Полісся.-К.-1999, с. 139-146, 150 |accessdate=10 серпня 2010 |archive-date=9 серпня 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090809120808/http://slavica.abakumov.kiev.ua/katalogmain/katalogmain-10/2-praslavane-i-baltoslavane-poliskij-aspekt-balto-slov-anskogo-pitanna-onomastika-polissa---k---1999-s-139---146-150 }}</ref> або [[Кімерійці|кімерійцями]]<ref>{{Cite web |url=http://gamaun.yard.ru/O_pole_pole.html |title=Про поле, поле... |accessdate=10 серпня 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20071016213136/http://gamaun.yard.ru/O_pole_pole.html |archivedate=16 жовтня 2007 |deadurl=yes }}</ref>.

== Свідчення з «Історії» Геродота ==
 За [[Герр|Герром]] простягається країна, що називається царською, і скіфи, які в ній живуть, найхоробріші та найчисленніші і вони вважають інших скіфів своїми невільниками. Вони на півдні сягають аж до [[Таврія|Тавріки]], а на схід - до рову, що як я сказав, прокопали народжені від сліпих, і до гавані на [[Озівське море|Маєтідському озері]], що називається [[Кремни]]. Деякі інші частини їхньої землі доходять до річки [[Танаїс (річка)|Танаіса]]. Вище на північ від царських скіфів мешкають '''меланхлайни''', це вже інша народність, не скіфська. Вище від меланхлайнів, наскільки я знаю, є болота і незалюднена країна.
(Історія. 4-а книга 20 уривок)
 Отже, від [[Тавріка|Тавріки]] на північ від [[Таври|таврів]] і на схід аж до моря живуть уже скіфи і ще в краях на сході від [[Кімерійський Боспор|Кімерійського Боспору]] і від [[Озівське море|Маєтідського озера]] до річки [[Танаїс (річка)|Танаїсу]], що вливається саме в це озеро. Отже, від [[Істр|Істру]] і далі на північ у глиб материка [[Скіфія]] обмежена спершу народом [[Агафірси|агатірсів]], далі - народом [[Неври|неврів]] і після нього - '''андрофагів''' і, нарешті,- [[Меланхлени|меланхлайнів]].
(Історія. 4-а книга 100 уривок)
 Отже, [[Скіфія]], має чотирикутку форму і дві її сторони, що скеровані до моря, одна, яка від узбережжя заходить у глиб материка, та інша, яка тягнеться вздовж моря, за розміром є однакові. Від Істру до річки [[Борисфен|Борисфену]] десять днів шляху і ще десять від Борисфену до озера Маєтїди. А сторона Скіфії від моря в середину країни до '''меланхлайнів''', що живуть на півночі від Скіфії, становить двадцять днів шляху. Одноденний шлях за моїм підрахунком дорівнює двумстам стадіям. На основі цього підрахунку сторони Скіфії поперечні становлять чотири тисячі стадій, а поздовжні, що йдуть у середину країни, мають також стільки стадій.
(Історія. 4-а книга 101 уривок)
 Скіфи порадилися між собою і вирішили, що вони самі не спроможні помірятися силами і прогнати [[Дарій I Великий|Дарія]] і послали вісників до сусідніх народів. І царі цих народів уже збиралися і радилися між собою, розуміючи, що проти них виступило велике військо. Це були царі [[Таври|таврів]] і [[Агафірси|агатірсів]], і [[Неври|неврів]], і [[Андрофаги|андрофагів]], і '''меланхлайнів''', і [[Гелони|гелонів]], і [[Будини (народ)|будинів]], і [[Савромати|савроматів]].
(Історія. 4-а книга 102 уривок)
 '''Меланхлайни''' одягаються в усе чорне, звідки і їхня назва, а звичаї в них скіфські.
(Історія. 4-а книга 107 уривок)
 Таке сповістили скіфи, а царі, які прибули до них із своїх країн, почали радитися і тоді їхні думки розділилися. Гелон, Будин і Савромат мали спільну думку і обіцяли допомогти скіфам. Проте Агатірс, Невр, Андрофаг і царі '''меланхлайнів''' і таврів дали скіфам таку відповідь:
 «Коли б це не ви перші образили персів і не ви перші почали війну проти них, ми сказали б, що справедливі ваші слова і те, що ви хочете тепер від нас, і ми охоче послухалися б вас і зробили б так, як і ви. Проте, тепер, коли ви вчинили напад на їхню країну без нас і поневолили персів, на скільки років завгодно було богові, і вони, бо їх підняв проти вас той самий бог, відплачують вам рівною мірою. Проте ми ні тоді не нападали на цих людей, ні тепер не хочемо завдавати їм шкоди. Але, коли вони виступлять проти нашої країні і перші розпочнуть ворожі дії, тоді і ми виступимо, щоб їх відкинути. Доки ми не будемо певні цього, ми залишатимемося спокійні, бо ми гадаємо, що перси не прийшли сюди, щоб напасти на нас, але на тих, які винуваті в кривді, що була їм вчинена».
(Історія. 4-а книга 119 уривок)
 Швидко просуваючись із військом, скоро [[Дарій I Великий|Дарій]] прибув до Скіфії, він натрапив там на обидві об'єднані частини скіфського війська, і почав їх переслідувати, а вони уникали зустрічі з ним, тримаючись від нього на відстані одного дня шляху.
 А скіфи, оскільки Дарій не переставав їх переслідувати, згідно прийнятим рішенням, відступали до країни тих, хто відмовився бути з ними в союзі, і спершу до країни '''меланхлайнів''' і збентежили їх. Ідучи далі, скіфи заманили персів до країни андрофагів і, розбурхавши і їх, прийшли до неврів, і стурбувавши їх, скіфи, відступаючи, підійшли до країни агатірсів.
 Проте агатірси, побачивши, як їхні сусіди тікають у безладді перед скіфами, ще перед тим як скіфи вдерлися до їхньої країни, послали вісника і заборонили їм уступати в їхню країну і попередили їх, коли скіфи спробують удертися, то наштовхнуться насамперед на їхній опір. Таке попередження послали їм агатірси і поспішили до своїх кордонів, вирішивши відбити напад загарбників.
 А '''меланхлайни''', і андрофаги, і неври, щойно вдерлися до їхньої країни перси із скіфами, навіть не спробували відбити їх, але, забувши про свої загрози, повтікали в безладді на північ із своїх країв, у пустелю.
 Скіфи не наважилися увійти в країну агатірсів з огляду на те, що їм це було заборонено, але, відходячи з країни неврів, завели персів до своєї країни.
(Історія. 4-а книга 125 уривок)

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела та література ==
* ''С. В. Махортих''. [http://www.history.org.ua/index.php?termin=Melankhleny  Меланхлени (чорноризці)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160425211219/http://www.history.org.ua/index.php?termin=Melankhleny |date=25 квітня 2016 }} // {{ЕІУ|6|593}}
== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20091129084403/http://www.chernosvitov.ru/ Сайт про генеалогію Черносвітових — chernosvitov.ru]

{{ethno-stub}}

[[Категорія:Стародавні народи України]]
[[Категорія:Стародавні народи Росії]]
[[Категорія:Історія Воронезької області]]
[[Категорія:Історія Тульської області]]
[[Категорія:Історія Харківської області]]
[[Категорія:Археологія Харківської області]]
[[Категорія:Юхнівська культура]]
[[Категорія:Зниклі народи Росії]]


text:
# Закон Ампера
Закон Ампера — закон взаємодії постійних струмів, котрий установив Андре-Марі Ампер 1820 року. Із закону Ампера виходить, що паралельні провідники з постійними струмами, які течуть в одному напрямі, притягуються, а в протилежному — відштовхуються. Законом Ампера називають також закон, що визначає силу, з якою магнітне поле діє на невеликий відрізок провідника зі струмом.
Сила Ампера — це сила, з якою магнітне поле діє на провідник зі струмом.
{\displaystyle F=BIL\sin \alpha \!}
Сила Ампера залежить від сили струму {\displaystyle I}, елемента (частини) довжини провідника {\displaystyle dl}, кута між напрямом струму і напрямком ліній магнітного поля {\displaystyle \alpha } та магнітної індукції {\displaystyle B}, і задається формулою
{\displaystyle dF=BIdl\sin \alpha \!}
У векторній формі силу Ампера записують так:
{\displaystyle d\mathbf {F} =I[\mathbf {dl} ,\mathbf {B} ]}.

## Фізичний зміст закону Ампера
Під законом Ампера мають на увазі сукупність тверджень і формул, що розкривають силовий вплив на провідник зі струмом з боку магнітного поля — можливо, створеного іншим провідником зі струмом. Закон визначає:
- силу дії малого відрізка провідника {\displaystyle dl_{1}} зі струмом {\displaystyle I_{1}} на інший малий відрізок {\displaystyle dl_{2}} зі струмом {\displaystyle I_{2}}:

{\displaystyle d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l}}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})},
де {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} і {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} — радіус-вектори елементів довжини провідників {\displaystyle d{\vec {l}}_{1}} і {\displaystyle d{\vec {l}}_{2}}, а {\displaystyle d^{2}{\vec {F}}_{12}} — сила дії елемента {\displaystyle d{\vec {l}}_{1}} (який створює поле {\displaystyle d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})} в точці {\displaystyle {\vec {r}}_{2}}) на елемент {\displaystyle d{\vec {l}}_{2}}; {\displaystyle \mu _{0}} — магнітна стала;
- силу взаємодії двох провідних замкнутих контурів форми {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}} зі струмами {\displaystyle I_{1}} і {\displaystyle I_{2}}:

{\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}},
де {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} і {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} — радіус-вектори, які пробігають усі точки контурів {\displaystyle C_{1}}, {\displaystyle C_{2}}, а {\displaystyle \mathbf {F} _{12}} — сила, з якою контур {\displaystyle C_{1}} діє на контур {\displaystyle C_{2}}. По суті, це інтегрування виразу з попереднього пункту;
- силу, з якою магнітне поле діє на відрізок провідника {\displaystyle dl} зі струмом {\displaystyle I} (A), плоску ділянку {\displaystyle dS} зі струмом {\displaystyle {\vec {i}}} (А/м) або малий об'єм {\displaystyle dV} зі струмом {\displaystyle {\vec {j}}} (А/м2):

{\displaystyle d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}}.
Напрямок сили {\displaystyle d{\vec {F}}} визначають за правилом обчислення векторного добутку. Її модуль у разі проводу знаходять як {\displaystyle dF=IBdl\sin \alpha }, де {\displaystyle \alpha } — кут між {\displaystyle {\vec {B}}} і напрямком струму. Сила найбільша, коли провідник перпендикулярний до ліній магнітної індукції ({\displaystyle \alpha =90^{\circ }}). Інтегрування дозволяє отримати силу дії поля на об'єкт у цілому.

## Випадок двох паралельних провідників
Найвідомішим прикладом, що показує силу Ампера, є така задача. У вакуумі на відстані {\displaystyle r} один від одного розташовані два нескінченних паралельних провідника, в яких в одному напрямку течуть струми {\displaystyle I_{1}} і {\displaystyle I_{2}}. Потрібно знайти силу, яка діє на одиницю довжини провідника.
За законом Біо — Савара — Лапласа нескінченний провідник зі струмом {\displaystyle I_{1}} у точці на відстані {\displaystyle r} створює магнітне поле з індукцією
{\displaystyle {\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\,{\vec {e}}_{\varphi }},
де {\displaystyle \mu _{0}} — магнітна стала, {\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }} — одиничний вектор уздовж кола, віссю симетрії якого є провід зі струмом {\displaystyle I_{1}}.
За законом Ампера знайдемо силу, з якою перший провідник діє на малу ділянку {\displaystyle d{\vec {l}}} другого:
{\displaystyle d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).}
За правилом лівої руки, {\displaystyle d{\vec {F}}_{12}} спрямована в бік першого провідника (так само, сила {\displaystyle d{\vec {F}}_{21}}, яка діє на перший провідник, спрямована в бік другого провідника). Отже, провідники притягуються.
Модуль цієї сили ({\displaystyle r} — відстань між провідниками):
{\displaystyle dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.}
Інтегруємо за ділянкою провідника довжини {\displaystyle L} (межі інтегрування за {\displaystyle l} від 0 до {\displaystyle L}):
{\displaystyle F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.}
Якщо {\displaystyle L} — одинична довжина, то цей вираз задає шукану силу взаємодії.

## Прояви закону Ампера
- Електродинамічне зрушення шин (струмопроводів) трифазного змінного струму на підстанціях під дією струмів короткого замикання.
- Розсування струмопроводів рейкотрона під час пострілу.

## Застосування
Будь-які вузли в електротехніці, де під дією електромагнітного поля відбувається рух будь-яких елементів, використовують закон Ампера. Принцип роботи електромеханічних машин (рух частини обмотки ротора відносно частини обмотки статора) ґрунтується на використанні закону Ампера, і найбільш поширений пристрій — це електродвигун, або, що конструктивно майже те саме — генератор. Саме під дією сили Ампера відбувається обертання ротора, оскільки на його обмотку діє магнітне поле статора, приводячи в рух. Будь-які транспортні засоби на електротязі для обертання валів, на яких розміщено колеса, використовують силу Ампера (трамваї, електрокари, електропоїзди тощо).
Також магнітне поле рухає механізми електроприводів (електро-двері, розсувні ворота, двері ліфта). Іншими словами: будь-які пристрої, які працюють на електриці і мають рухомі вузли, засновані на використанні закону Ампера.
Також, він застосовується в багатьох інших видах електротехніки — навушниках чи наприклад, у динамічному гучномовці (динаміку): в ньому для збудження мембрани, яка виробляє звукові коливання, використовують постійний магніт, на нього під дією електромагнітного поля, створюваного розташованим поруч провідником зі струмом, діє сила Ампера, яка змінюється відповідно до потрібної звукової частоти.
Також:
- Електродинамічне стиснення плазми; наприклад, у токамаках, установках Z-пінч.
- Електродинамічний метод пресування.

## Сила Ампера і третій закон Ньютона
Нехай є два тонких провідники зі струмами {\displaystyle I_{1}} і {\displaystyle I_{2}}, що мають форму кривих {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}}, які задані радіус-векторами {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} і {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}.
Для сил взаємодії нескінченно малих ділянок цих провідників третій закон Ньютона не виконується. А саме, сила Ампера для впливу елемента першого провідника на елемент другого {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}} не дорівнює взятій із протилежним знаком силі, що діє з боку елемента другого провідника на елемент першого {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}}:
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})}.
Тут {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}} і {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}} — поле, створюване ділянкою першого і ділянкою другого проводу, відповідно. Цей факт ні в якому разі не компрометує динаміки Ньютона, оскільки постійний струм може протікати тільки по замкнутому контуру — і, отже, третій закон Ньютона зобов'язаний діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнутих провідники зі струмом. На відміну від окремих елементів, для замкнутих контурів закон Ньютона виконується:
{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))},
де {\displaystyle \mathbf {B} _{1}} і {\displaystyle \mathbf {B} _{2}} — поле, створюване цілком першим і цілком другим проводом (а не їх окремими ділянками). Поле в кожному випадку знаходять з використанням формули Біо — Савара — Лапласа.
Нехай є два тонких провідники зі струмами {\displaystyle I_{1}} і {\displaystyle I_{2}}, що мають форму кривих {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}}, які задані радіус-векторами {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} та {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}. Силу, що діє на елемент струму одного дроту з боку елемента струму іншого дроту, знаходять за законом Біо — Савара — Лапласа: елемент струму {\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, створює в точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} елементарне магнітне поле
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.
За законом Ампера сила, що діє з боку поля {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на елемент струму {\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, дорівнює
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
Елемент струму {\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, створює в точці {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} елементарне магнітне поле
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.
Сила Ампера, що діє з боку поля {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})} на елемент струму {\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, дорівнює
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
У загальному випадку для довільних {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} і {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} сили {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}} і {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}} навіть не колінеарні, а отже, не підлягають третьому закону Ньютона: {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0}.
Цей результат, однак, не вказує на неспроможність динаміки Ньютона в цьому випадку. Загалом, постійний струм може текти лише по замкнутому контуру. Тому третій закон Ньютона має діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнуті провідники зі струмом. Можна переконатися, що для таких провідників третій закон Ньютона виконується.
Нехай криві {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}} замкнуті. Тоді струм {\displaystyle I_{1}} створює в точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} магнітне поле
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},}
де інтегрування за {\displaystyle C_{1}} виконується в напрямку струму {\displaystyle I_{1}}. Сила Ампера, що діє з боку поля {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на контур {\displaystyle C_{2}} зі струмом {\displaystyle I_{2}}, дорівнює
{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},}
де інтегрування за {\displaystyle C_{2}} виконується в напрямку струму {\displaystyle I_{2}}. Порядок інтегрування несуттєвий.
Аналогічно сила Ампера, що діє з боку поля {\displaystyle \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})}, створюваного струмом {\displaystyle I_{2}}, на контур {\displaystyle C_{1}} зі струмом {\displaystyle I_{1}}, дорівнює
{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}.}
Рівність {\displaystyle \mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0} еквівалентна рівності
{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.
Щоб довести цю останню рівність, зауважимо, що вираз для сили Ампера дуже схожий на вираз для циркуляції магнітного поля за замкнутим контуром, у якому зовнішній скалярний добуток замінили векторним добутком.
Користуючись тотожністю Лагранжа, подвійний векторний добуток у лівій частині рівності, що доводиться, можна записати так:
{\displaystyle [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).}
Тоді ліва частина рівності, що доводиться, набуде вигляду:
{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
Розглянемо окремо інтеграл {\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}, який можна переписати в такому вигляді:
{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
Виконавши заміну змінної у внутрішньому інтегралі на {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}, де вектор {\displaystyle \mathbf {r} } змінюється за замкнутим контуром {\displaystyle C_{2}'}, виявимо, що внутрішній інтеграл є циркуляцією градієнтного поля за замкнутим контуром. Отже, він дорівнює нулю:
{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.}
Отже, і весь подвійний криволінійний інтеграл дорівнює нулю. У такому разі для сили {\displaystyle \mathbf {F} _{12}} можна записати:
{\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
Вираз для сили {\displaystyle \mathbf {F} _{21}} можна отримати з виразу для сили {\displaystyle \mathbf {F} _{12}}, просто з міркувань симетрії. Для цього проведемо заміну індексів: 2 міняємо на 1, а 1 — на 2. У такому разі для сили {\displaystyle \mathbf {F} _{21}} можна записати:
{\displaystyle \mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}
Теперь цілком очевидно, що {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}. Отже, сила Ампера в разі замкнутих провідників підпорядкована третьому закону Ньютона.

## Деякі історичні аспекти

### Виявлення ефекту
1820 року Ганс Крістіан Ерстед відкрив, що провід, яким іде струм, створює магнітне поле і змушує відхилятися стрілку компаса. Він помітив, що магнітне поле перпендикулярне до струму, а не паралельне йому, як можна було б очікувати. Ампер, натхненний демонстрацією досліду Ерстеда, виявив, що два паралельні провідники, якими тече струм, притягуються або відштовхуються залежно від того, в одному чи різних напрямках по них тече струм. Таким чином, струм не лише створює магнітне поле, але й магнітне поле діє на струм. Вже через тиждень після оголошення Ерстедом про свій дослід, Ампер запропонував пояснення: провідник діє на магніт, через те що в магніті тече струм по безлічі маленьких замкнутих траєкторій.

### Підбір формули для сили
Закон взаємодії двох елементарних електричних струмів, відомий як закон Ампера, насправді пізніше запропонував Герман Грассман (тобто його було б правильніше називати законом Грассмана).
Оригінальний закон Ампера мав дещо іншу форму: сила, що діє з боку елемента струму {\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, розташованого в точці {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, на елемент струму {\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, дорівнює
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left(2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\right)}.
Силу, що діє з боку елемента струму {\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, розташованого в точці {\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, на елемент струму {\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, розташований у точці {\displaystyle \mathbf {r} _{1}},  можна отримати з формули сили {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}} просто з міркувань симетрії, замінивши індекси: 2 на 1, а 1 на 2.
При цьому {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}}, тобто, оригінальний закон Ампера задовольняє третьому закону Ньютона вже в диференціальній формі. Ампер, перепробувавши низку виразів, зупинився саме на такому.
Якщо при розгляді якоїсь задачі розрахунку сили взаємодії (на ділі, несталих) незамкнутих струмів із порушенням третього закону Ньютона миритися не можна, є варіант використати оригінальний закон Ампера. У разі закону Грассмана при цьому доводиться включати до розгляду додаткову фізичну сутність — магнітне поле, щоб компенсувати недотримання третього закону.
Можна довести, що в інтегральній формі оригінального закону Ампера сили, з якими взаємодіють два замкнені провідники з постійними струмами, виходять тими самими, що й у законі Грассмана.
Щоб довести це, запишемо силу {\displaystyle \mathbf {F} _{21}} в такому вигляді:
{\displaystyle \mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).}
Очевидно, щоб сила вийшла тією ж, що й у законі Грассмана, достатньо довести, що другий доданок дорівнює нулю. Далі другий доданок будемо розглядати без жодних коефіцієнтів перед знаками інтегралів, оскільки ці коефіцієнти в загальному випадку нулю не дорівнюють, і тому нулю має дорівнювати сам подвійний криволінійний інтеграл.
Отже, позначимо {\displaystyle \mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})}. А довести слід, що {\displaystyle \mathbf {P} =0}
Припустимо, що в {\displaystyle \mathbf {P} } інтегрування проводиться спочатку за контуром {\displaystyle C_{2}}. В цьому випадку можна зробити заміну змінної: {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}, де вектор {\displaystyle \mathbf {r} } змінюється за замкнутим контуром {\displaystyle C_{2}'}. Тоді можна записати
{\displaystyle \mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{2}}}).}
Тепер при інтегрированні за контуром {\displaystyle C_{2}'} отримаємо деяку векторну функцію від {\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, яку потім проінтегруємо за контуром {\displaystyle C_{1}}.
Можна довести, що {\displaystyle \mathbf {P} } можна подати у вигляді {\displaystyle \mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}, де обидва градієнти беруться за змінною {\displaystyle \mathbf {r} }. Доведення тривіальне, достатньо провести процедуру взяття градієнтів.
Далі за тотожністю Лагранжа можна записати:
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf {r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))\\\end{aligned}}.}
Тут нуль вийшов як ротор градієнтного поля. У результаті вийшов повний диференціал векторної функції
{\displaystyle \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})}. Значит, теперь {\displaystyle \mathbf {P} } можно представить в виде {\displaystyle \mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}. Цей інтеграл можна взяти, проінтегрувавши окремо кожну проєкцію. Наприклад проінтегруємо проєкцію x.
{\displaystyle P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})\mathrm {d} x).}
Інтеграл від повного диференціала за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю: {\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0}, тому {\displaystyle P_{x}} набуде вигляду:
{\displaystyle P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).}
Цього разу потрібно інтегрувати спочатку за контуром {\displaystyle C_{1}}. Зробимо заміну змінної: {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}, де вектор {\displaystyle \mathbf {r} } змінюється за замкнутим контуром {\displaystyle C_{1}'}. Тоді можна записати
{\displaystyle P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,}
де градієнт знову береться за змінною {\displaystyle \mathbf {r} }.
Оскільки у виразі знову з'явилася циркуляція градієнтного поля за замкнутим контуром, то {\displaystyle P_{x}=0}.
Аналогічно можна записати для інших двох проєкцій:
{\displaystyle P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})\mathrm {d} y)=0,}
{\displaystyle P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})\mathrm {d} z)=0.}
Отже, {\displaystyle \mathbf {P} =0}.
Максвелл запропонував найзагальнішу форму закону взаємодії двох елементарних провідників зі струмом, у якій є коефіцієнт k (його не можна визначити без деяких припущень, що ґрунтуються на дослідах, у яких активний струм утворює замкнутий контур):
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5}}}-\\&-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aligned}}\right).}
У власній теорії Ампер узяв {\displaystyle k=-1}, Гаус прийняв {\displaystyle k=+1}, як Грассман і Клаузіус. У неефірних електронних теоріях Вебер прийняв {\displaystyle k=-1}, а Ріман прийняв {\displaystyle k=+1}. Ріц у своїй теорії залишив {\displaystyle k} невизначеним.
Для сили взаємодії двох замкнутих контурів {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}} з {\displaystyle k=+1} виходить стандартний вираз.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\right)\\\end{aligned}}.}
Тут перші два доданки об'єднано за тотожністю Лагранжа, третій доданок при інтегруванні за замкнутим контуром {\displaystyle C_{1}} і {\displaystyle C_{2}} дасть нуль. Справді,
{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.}
Таким чином, отримуємо форму закону Ампера, дану Максвеллом:
{\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}.}
Хоча сила завжди однакова за різних {\displaystyle k}, момент сили може відрізнятися. Наприклад, при взаємодії двох нескінченних проводів, які перетинаються під прямим кутом, сила взаємодії дорівнюватиме нулю. Якщо розрахувати моменти сил, що діють на кожен із проводів, за формулою Грассмана, жоден з них не буде рівним нулю (хоча їх сума буде рівною нулю). Якщо ж розрахувати моменти сил за оригінальним законом Ампера, кожен з них дорівнюватиме нулю.

## Закон Ампера як релятивістський ефект
Електричний струм у провіднику це рух зарядів відносно інших зарядів. Цей рух приводить в СТО до ефектів, які в класичній фізиці пояснюють окремою фізичною сутністю — магнетизмом. У СТО ці ефекти не вимагають уведення магнетизму, і, в першому наближенні, достатньо розгляду кулонівських взаємодій. Для розкриття закону Ампера в межах СТО провідник описують прямою з деякою лінійною густиною додатних зарядів і прямою з рухомими зарядами. Заряд інваріантний, тому ефект лоренцевого скорочення довжини створює різницю між густиною додатних і від'ємних зарядів у спочатку, нейтральному металевому проводі. Звідси і виникнення сили притягання або відштовхування між двома провідниками зі струмом.

wikiname: ukwiki

title: Закон Ампера

in_language: uk

wikitext:
[[Файл:18. Амперова сила.ogv|thumb|right|280px|]]
[[Файл:Ампера закон.jpg|міні|праворуч|200пкс]][[Файл:Взаимодействие двух элементарных токов.jpg|міні|праворуч|200пкс|Взаємодія двох елементарних струмів: а — паралельних, б — антипаралельних (всі відрізки (вектори) лежать в одній площині)]]

'''Закон Ампера''' — закон взаємодії постійних [[Електричний струм|струмів]], котрий установив [[Андре-Марі Ампер]] [[1820]] року. Із закону Ампера виходить, що паралельні [[Електричний провід|провідники]] з постійними струмами, які течуть в одному напрямі, притягуються, а в протилежному — відштовхуються. Законом Ампера називають також закон, що визначає силу, з якою [[магнітне поле]] діє на невеликий відрізок провідника зі струмом.

'''Сила Ампера''' — це сила, з якою магнітне поле діє на провідник зі струмом.

: <math>F=B I L \sin\alpha\!</math>

Сила Ампера залежить від [[сила струму|сили струму]] <math>I </math>, елемента (частини) довжини провідника <math>dl </math>, кута між напрямом струму і напрямком [[силова лінія|ліній магнітного поля]] <math> \alpha </math> та [[магнітна індукція|магнітної індукції]] <math>B </math>, і задається формулою

: <math>dF = B I dl \sin\alpha\!</math>

У векторній формі силу Ампера записують так:
: <math> d\mathbf{F} = I [\mathbf{dl}, \mathbf{B}] </math>.

== Фізичний зміст закону Ампера ==
Під законом Ампера мають на увазі сукупність тверджень і формул, що розкривають силовий вплив на провідник зі струмом з боку магнітного поля — можливо, створеного іншим провідником зі струмом. Закон визначає:

* силу дії малого відрізка провідника <math>dl_1</math> зі струмом <math>I_1</math> на інший малий відрізок <math>dl_2</math> зі струмом <math>I_2</math>:

:: <math>d^2\vec{F}_{12} = \frac{\mu_0I_1I_2}{4\pi}\cdot \frac{d\vec{l}_2\times [d\vec{l}_1\times(\vec{r}_2-\vec{r}_1)]}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3} = I_2 d\vec{l}_2\times d\vec{B}_1(\vec{r}_2)</math>,
: де <math>\vec{r}_1</math> і <math>\vec{r}_2</math> — [[радіус-вектор]]и елементів довжини провідників <math>d\vec{l}_1</math> і <math>d\vec{l}_2</math>, а <math>d^2\vec{F}_{12}</math> — сила дії елемента <math>d\vec{l}_1</math> (який створює поле <math>d\vec{B}_1(\vec{r}_2)</math> в точці <math>\vec{r}_2</math>) на елемент <math>d\vec{l}_2</math>; <math>\mu_0</math> — магнітна стала;

* силу взаємодії двох провідних замкнутих контурів форми <math>C_1</math> і <math>C_2</math> зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>:

:: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>,
: де <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math> — [[радіус-вектор]]и, які пробігають усі точки контурів <math>C_1</math>, <math>C_2</math>, а <math>\mathbf{F}_{12}</math> — сила, з якою контур <math>C_1</math> діє на контур <math>C_2</math>. По суті, це інтегрування виразу з попереднього пункту;

* силу, з якою [[магнітне поле]] діє на відрізок провідника <math>dl</math> зі струмом <math>I</math> (A), плоску ділянку <math>dS</math> зі струмом <math>\vec{i}</math> (А/м) або малий об'єм <math>dV</math> зі струмом <math>\vec{j}</math> (А/м2):

:: <math>d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B},\qquad d\vec{F} = \vec{i} dS \times \vec{B},\qquad d\vec{F} = \vec{j} dV \times \vec{B}</math>.
: Напрямок сили <math>d\vec F</math> визначають за правилом обчислення [[Векторний добуток|векторного добутку]]. Її модуль у разі проводу знаходять як <math>dF = I B dl \sin\alpha</math>, де <math>\alpha</math> — кут між <math>\vec{B}</math> і напрямком струму. Сила найбільша, коли провідник перпендикулярний до ліній магнітної індукції (<math>\alpha = 90^\circ</math>). Інтегрування дозволяє отримати силу дії поля на об'єкт у цілому.

== Випадок двох паралельних провідників ==
[[Файл:MagneticWireAttraction.svg|міні|Два нескінченних рівнобіжних провідники зі струмами у вакуумі]]
Найвідомішим прикладом, що показує силу Ампера, є така задача. У вакуумі на відстані <math>r</math> один від одного розташовані два нескінченних паралельних провідника, в яких в одному напрямку течуть струми <math>I_1</math> і <math>I_2</math>. Потрібно знайти силу, яка діє на одиницю довжини провідника.

За [[Закон Біо — Савара — Лапласа|законом Біо — Савара — Лапласа]] нескінченний провідник зі струмом <math>I_1</math> у точці на відстані <math>r</math> створює магнітне поле з індукцією

: <math>\vec{B}_1(r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1}{r}\,\vec{e}_{\varphi}</math>,

де <math>\mu_0 </math> — [[магнітна стала]], <math>\vec{e}_{\varphi}</math> — одиничний вектор уздовж кола, віссю симетрії якого є провід зі струмом <math>I_1</math>.

За законом Ампера знайдемо силу, з якою перший провідник діє на малу ділянку <math>d\vec{l}</math> другого:

: <math>d\vec F_{12} = I_2 d\vec l \times \vec B_1(r).</math>

За правилом лівої руки, <math>d\vec F_{12}</math> спрямована в бік першого провідника (так само, сила <math>d\vec F_{21}</math>, яка діє на перший провідник, спрямована в бік другого провідника). Отже, провідники притягуються.

Модуль цієї сили (<math>r</math> — відстань між провідниками):

: <math>dF_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r} dl.</math>

Інтегруємо за ділянкою провідника довжини <math>L</math> (межі інтегрування за <math>l</math> від 0 до <math>L</math>):

: <math>F_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r}\cdot L.</math>

Якщо <math>L</math> — одинична довжина, то цей вираз задає шукану силу взаємодії.

== Прояви закону Ампера ==

* Електродинамічне зрушення шин (струмопроводів) трифазного [[Змінний струм|змінного струму]] на підстанціях під дією струмів [[Коротке замикання|короткого замикання]].
* Розсування струмопроводів [[рейкотрон]]а під час пострілу.

== Застосування ==
Будь-які вузли в [[Електротехніка|електротехніці]], де під дією [[Електромагнітне поле|електромагнітного поля]] відбувається рух будь-яких елементів, використовують закон Ампера. Принцип роботи електромеханічних машин (рух частини обмотки [[ротор]]а відносно частини обмотки [[статор]]а) ґрунтується на використанні закону Ампера, і найбільш поширений пристрій — це [[електродвигун]], або, що конструктивно майже те саме — [[Електричний генератор|генератор]]. Саме під дією сили Ампера відбувається обертання ротора, оскільки на його обмотку діє магнітне поле статора, приводячи в рух. Будь-які транспортні засоби на електротязі для обертання валів, на яких розміщено колеса, використовують силу Ампера ([[Трамвай|трамваї]], електрокари, електропоїзди тощо).

Також магнітне поле рухає механізми електроприводів (електро-двері, розсувні ворота, двері [[Ліфт|ліфта]]). Іншими словами: будь-які пристрої, які працюють на електриці і мають рухомі вузли, засновані на використанні закону Ампера.

Також, він застосовується в багатьох інших видах [[Електротехніка|електротехніки]] — навушниках чи наприклад, у [[Електродинамічний гучномовець|динамічному гучномовці]] (динаміку): в ньому для збудження мембрани, яка виробляє звукові коливання, використовують постійний магніт, на нього під дією електромагнітного поля, створюваного розташованим поруч провідником зі струмом, діє сила Ампера, яка змінюється відповідно до потрібної звукової частоти.

Також:

* Електродинамічне стиснення [[Плазма (агрегатний стан)|плазми]]; наприклад, у [[токамак]]ах, установках [[Пінч-ефект|Z-пінч]].
* [[Магнітно-імпульсний прес|Електродинамічний метод пресування]].

== Сила Ампера і третій закон Ньютона ==
Нехай є два тонких провідники зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>, що мають форму кривих <math>C_1</math> і <math>C_2</math>, які задані радіус-векторами <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math>.

Для сил взаємодії нескінченно малих ділянок цих провідників [[третій закон Ньютона]] не виконується. А саме, сила Ампера для впливу елемента першого провідника на елемент другого <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> не дорівнює взятій із протилежним знаком силі, що діє з боку елемента другого провідника на елемент першого <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}</math>:

: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} = I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) \neq -\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = -I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math>.

Тут <math>\mathrm{d}\mathbf B_1</math> і <math>\mathrm{d}\mathbf B_2</math> — поле, створюване ділянкою першого і ділянкою другого проводу, відповідно. Цей факт ні в якому разі не компрометує динаміки Ньютона, оскільки [[постійний струм]] може протікати тільки по замкнутому контуру — і, отже, третій закон Ньютона зобов'язаний діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнутих провідники зі струмом. На відміну від окремих елементів, для замкнутих контурів закон Ньютона виконується:

: <math>\mathbf{F}_{12} = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)) = -\mathbf{F}_{21} = -\oint\limits_{\Complex_1}(I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1))</math>,

де <math>\mathbf B_1</math> і <math>\mathbf B_2</math> — поле, створюване цілком першим і цілком другим проводом (а не їх окремими ділянками). Поле в кожному випадку знаходять з використанням [[Закон Біо — Савара — Лапласа|формули Біо — Савара — Лапласа]].

{{Hidden begin
|title = Детальніший виклад
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
Нехай є два тонких провідники зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>, що мають форму кривих <math>C_1</math> і <math>C_2</math>, які задані радіус-векторами <math>\mathbf{r}_1</math> та <math>\mathbf{r}_2</math>. Силу, що діє на елемент струму одного дроту з боку елемента струму іншого дроту, знаходять за законом Біо — Савара — Лапласа: елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>, створює в точці <math>\mathbf{r}_2</math> елементарне магнітне поле
: <math>\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)= {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I_1[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.
За законом Ампера сила, що діє з боку поля <math>\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)</math> на елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} = I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, створює в точці <math>\mathbf{r}_1</math> елементарне магнітне поле
: <math>\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I_2[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.

Сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math> на елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

У загальному випадку для довільних <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math> сили <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> і <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}</math> навіть не колінеарні, а отже, не підлягають третьому закону Ньютона: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}+\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} \neq 0</math>.

Цей результат, однак, не вказує на неспроможність динаміки Ньютона в цьому випадку. Загалом, постійний струм може текти лише по замкнутому контуру. Тому третій закон Ньютона має діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнуті провідники зі струмом. Можна переконатися, що для таких провідників третій закон Ньютона виконується.

Нехай криві <math>C_1</math> і <math>C_2</math> замкнуті. Тоді струм <math>I_1</math> створює в точці <math>\mathbf{r}_2</math> магнітне поле
: <math>\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) = {\mu_0I_1 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}
\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3},</math>
де інтегрування за <math>C_1</math> виконується в напрямку струму <math>I_1</math>. Сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)</math> на контур <math>C_2</math> зі струмом <math>I_2</math>, дорівнює
: <math>\mathbf{F}_{12} = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)) = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times{\mu_0I_1 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}) ={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3},</math>
де інтегрування за <math>C_2</math> виконується в напрямку струму <math>I_2</math>. Порядок інтегрування несуттєвий.

Аналогічно сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math>, створюваного струмом <math>I_2</math>, на контур <math>C_1</math> зі струмом <math>I_1</math>, дорівнює
: <math>\mathbf{F}_{21} = \oint\limits_{\Complex_1}(I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}.</math>

Рівність <math>\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21} = 0</math> еквівалентна рівності
: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.

Щоб довести цю останню рівність, зауважимо, що вираз для сили Ампера дуже схожий на вираз для циркуляції магнітного поля за замкнутим контуром, у якому зовнішній скалярний добуток замінили векторним добутком.

Користуючись тотожністю Лагранжа, подвійний векторний добуток у лівій частині рівності, що доводиться, можна записати так:
: <math>[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]=\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)-(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1).</math>

Тоді ліва частина рівності, що доводиться, набуде вигляду:

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Розглянемо окремо інтеграл <math>\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>, який можна переписати в такому вигляді:

: <math>\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\mathrm{d}\mathbf{r}_1\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Виконавши заміну змінної у внутрішньому інтегралі на <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_2'</math>, виявимо, що внутрішній інтеграл є циркуляцією градієнтного поля за замкнутим контуром. Отже, він дорівнює нулю:

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_2'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=-\oint\limits_{\Complex_2'}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=0.</math>

Отже, і весь подвійний криволінійний інтеграл дорівнює нулю. У такому разі для сили <math>\mathbf{F}_{12}</math> можна записати:

: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Вираз для сили <math>\mathbf{F}_{21}</math> можна отримати з виразу для сили <math>\mathbf{F}_{12}</math>, просто з міркувань симетрії. Для цього проведемо заміну індексів: 2 міняємо на 1, а 1 — на 2. У такому разі для сили <math>\mathbf{F}_{21}</math> можна записати:

: <math>\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Теперь цілком очевидно, що <math>\mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21}</math>. Отже, сила Ампера в разі замкнутих провідників підпорядкована третьому закону Ньютона.
{{hidden end}}

== Деякі історичні аспекти ==

=== Виявлення ефекту ===
1820 року [[Ганс Крістіан Ерстед]] відкрив, що провід, яким іде струм, створює магнітне поле і змушує відхилятися стрілку [[Компас|компаса]]. Він помітив, що магнітне поле перпендикулярне до струму, а не паралельне йому, як можна було б очікувати. Ампер, натхненний демонстрацією досліду Ерстеда, виявив, що два паралельні провідники, якими тече струм, притягуються або відштовхуються залежно від того, в одному чи різних напрямках по них тече струм. Таким чином, струм не лише створює магнітне поле, але й магнітне поле діє на струм. Вже через тиждень після оголошення Ерстедом про свій дослід, Ампер запропонував пояснення: провідник діє на магніт, через те що в магніті тече струм по безлічі маленьких замкнутих траєкторій<ref>{{Книга-ру|автор = Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey|заглавие = The Quest for Unity: The Adventure of Physics|ссылка = https://archive.org/details/questforunityadv0000klei|ответственный = |издание = |место = New York|издательство = Oxford University Press|год = 1999|страницы = [https://archive.org/details/questforunityadv0000klei/page/43 43]-44|страниц = |isbn = 0-19-512085-X}}</ref><ref>{{Книга-ру|автор = Roger G Newton|заглавие = From Clockwork to Crapshoot: A History  of Physics|ссылка = https://archive.org/details/fromclockworktoc0000newt|ответственный = |издание = |место = |издательство = The Belknap Press of Harward University Press|год = 2007|страницы = [https://archive.org/details/fromclockworktoc0000newt/page/137 137]|страниц = |isbn = 978-0-674-03487-7}}</ref>.

=== Підбір формули для сили ===
Закон взаємодії двох елементарних електричних струмів, відомий як закон Ампера, насправді пізніше запропонував [[Герман Грассман]] (тобто його було б правильніше називати законом Грассмана).

Оригінальний закон Ампера мав дещо іншу форму: сила, що діє з боку елемента струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташованого в точці <math>\mathbf{r}_1</math>, на елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\left(2(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2}\right)</math>.

Силу, що діє з боку елемента струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташованого в точці <math>\mathbf{r}_2</math>, на елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>,  можна отримати з формули сили <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> просто з міркувань симетрії, замінивши індекси: 2 на 1, а 1 на 2.

При цьому <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = -\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math>, тобто, оригінальний закон Ампера задовольняє третьому закону Ньютона вже в диференціальній формі. Ампер, перепробувавши низку виразів, зупинився саме на такому.

Якщо при розгляді якоїсь задачі розрахунку сили взаємодії (на ділі, несталих) незамкнутих струмів із порушенням третього закону Ньютона миритися не можна, є варіант використати оригінальний закон Ампера. У разі закону Грассмана при цьому доводиться включати до розгляду додаткову фізичну сутність — магнітне поле, щоб компенсувати недотримання третього закону.

Можна довести, що в інтегральній формі оригінального закону Ампера сили, з якими взаємодіють два замкнені провідники з постійними струмами, виходять тими самими, що й у законі Грассмана.

{{hidden begin
|title=Доведення
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
Щоб довести це, запишемо силу <math>\mathbf{F}_{21}</math> в такому вигляді:

: <math>\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}+{\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2}).</math>

Очевидно, щоб сила вийшла тією ж, що й у законі Грассмана, достатньо довести, що другий доданок дорівнює нулю. Далі другий доданок будемо розглядати без жодних коефіцієнтів перед знаками інтегралів, оскільки ці коефіцієнти в загальному випадку нулю не дорівнюють, і тому нулю має дорівнювати сам подвійний криволінійний інтеграл.

Отже, позначимо <math>\mathbf{P}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2})</math>. А довести слід, що <math>\mathbf{P}=0</math>

Припустимо, що в <math>\mathbf{P}</math> інтегрування проводиться спочатку за контуром <math>C_2</math>. В цьому випадку можна зробити заміну змінної: <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_2'</math>. Тоді можна записати

: <math>\mathbf{P}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf r|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r})-3\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^2}).</math>

Тепер при інтегрированні за контуром <math>C_2'</math> отримаємо деяку векторну функцію від <math>\mathbf{r}_1</math>, яку потім проінтегруємо за контуром <math>C_1</math>.

Можна довести, що <math>\mathbf{P}</math> можна подати у вигляді <math>\mathbf{P}=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\mathbf{r}(\mathrm{grad}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r}),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)</math>, де обидва градієнти беруться за змінною <math>\mathbf{r}</math>. Доведення тривіальне, достатньо провести процедуру взяття градієнтів.

Далі за тотожністю Лагранжа можна записати:

: <math>\begin{align}
&\mathrm{grad}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=\nabla(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=[\mathrm{d}\mathbf{r},[\nabla,\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})]]+(\mathrm{d}\mathbf{r},\nabla)\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})=\\
&=0+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial x}\mathrm{d}x+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial y}\mathrm{d}y+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial z}\mathrm{d}z=\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))\\
\end{align}. </math>

Тут нуль вийшов як ротор градієнтного поля. У результаті вийшов повний диференціал векторної функції

<math>\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}) </math>. Значит, теперь <math>\mathbf{P}</math> можно представить в виде <math>\mathbf{P}=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\mathbf{r}(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)</math>. Цей інтеграл можна взяти, проінтегрувавши окремо кожну проєкцію. Наприклад проінтегруємо проєкцію x.

: <math>P_x=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}x(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(x\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}x).</math>

Інтеграл від повного диференціала за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю: <math>\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(x\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))=0</math>, тому <math>P_x</math> набуде вигляду:

: <math>P_x=\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}x)=
\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}\mathrm{d}x_2).
</math>

Цього разу потрібно інтегрувати спочатку за контуром <math>C_1</math>. Зробимо заміну змінної: <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_1'</math>. Тоді можна записати

: <math>P_x=\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}x_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{d}\mathbf{r},\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3})
=-\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}x_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{d}\mathbf{r},\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))=0
,</math>
де градієнт знову береться за змінною <math>\mathbf{r}</math>.

Оскільки у виразі знову з'явилася циркуляція градієнтного поля за замкнутим контуром, то <math>P_x=0</math>.

Аналогічно можна записати для інших двох проєкцій:

: <math>P_y=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}y(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(y\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}y)=0,</math>

: <math>P_z=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}z(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(z\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}z)=0.</math>

Отже, <math>\mathbf{P}=0</math>.
{{hidden end}}

[[Джеймс Клерк Максвелл|Максвелл]] запропонував найзагальнішу форму закону взаємодії двох елементарних провідників зі струмом, у якій є коефіцієнт k (його не можна визначити без деяких припущень, що ґрунтуються на дослідах, у яких активний струм утворює замкнутий контур)<ref>{{Книга
|автор = Maxwell, James Clerk
|заголовок = Treatise on Electricity and Magnetism
|відповідальний =
|видання =
|місце = Oxford
|видавництво =
|рік = 1904
|сторінки = 173
|сторінок =
|ISBN =
}}</ref>:

: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}=\frac{1}{2}{\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(
\begin{align}
&(3-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-3(1-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^5}-\\
&-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\\
\end{align}\right). </math>

У власній теорії [[Андре-Марі Ампер|Ампер]] узяв <math>k=-1</math>, [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]] прийняв <math>k=+1</math>, як [[Герман Грассман|Грассман]] і [[Рудольф Клаузіус|Клаузіус]]. У неефірних електронних теоріях [[Вільгельм Едуард Вебер|Вебер]] прийняв <math>k=-1</math>, а [[Бернгард Ріман|Ріман]] прийняв <math>k=+1</math>. [[Вальтер Ріц|Ріц]] у своїй теорії залишив <math>k</math> невизначеним.

Для сили взаємодії двох замкнутих контурів <math>C_1</math> і <math>C_2</math> з <math>k=+1</math> виходить стандартний вираз.

{{hidden begin
|title=Подробиці розрахунку
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
: <math>\begin{align}
&\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)=\\
&={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)\\
\end{align}. </math>

Тут перші два доданки об'єднано за тотожністю Лагранжа, третій доданок при інтегруванні за замкнутим контуром <math>C_1</math> і <math>C_2</math> дасть нуль. Справді,

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}=
\left[\begin{align}
&\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\\
&C_1\rightarrow C_1'\\
\end{align}
\right]=
\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\Complex_1'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=
\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{grad}\frac{1}{|\mathbf{r}|},\mathrm{d}\mathbf{r})=0
.</math>

Таким чином, отримуємо форму закону Ампера, дану Максвеллом:

: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}
.</math>
{{hidden end}}

Хоча сила завжди однакова за різних <math>k</math>, [[момент сили]] може відрізнятися. Наприклад, при взаємодії двох нескінченних проводів, які перетинаються під прямим кутом, сила взаємодії дорівнюватиме нулю. Якщо розрахувати моменти сил, що діють на кожен із проводів, за формулою Грассмана, жоден з них не буде рівним нулю (хоча їх сума буде рівною нулю). Якщо ж розрахувати моменти сил за оригінальним законом Ампера, кожен з них дорівнюватиме нулю.

== Закон Ампера як релятивістський ефект ==
Електричний струм у провіднику це рух зарядів відносно інших зарядів. Цей рух приводить в [[Спеціальна теорія відносності|СТО]] до ефектів, які в класичній фізиці пояснюють окремою фізичною сутністю — магнетизмом. У СТО ці ефекти не вимагають уведення магнетизму, і, в першому наближенні, достатньо розгляду кулонівських взаємодій. Для розкриття закону Ампера в межах СТО [[провідник]] описують прямою з деякою лінійною густиною додатних зарядів і прямою з рухомими зарядами. Заряд [[Інваріант (фізика)|інваріантний]], тому ефект [[Лоренцеве укорочення|лоренцевого скорочення довжини]] створює різницю між густиною додатних і від'ємних зарядів у спочатку, нейтральному металевому проводі. Звідси і виникнення сили притягання або відштовхування між двома провідниками зі струмом.<ref>{{Cite web |url=http://lms.physics.spbstu.ru/pluginfile.php/524/mod_resource/content/1/lect_01_m.pdf |title=Лекция 1. Магнитостатика. Релятивистский характер магнитного поля. // Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ) |accessdate=10 січня 2022 |archive-date=28 грудня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181228035257/http://lms.physics.spbstu.ru/pluginfile.php/524/mod_resource/content/1/lect_01_m.pdf }}</ref><ref>Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — 3-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 496 с. С.120</ref>

== Див. також ==
* [[Сила Лоренца]]
* [[Закон Ампера для циркуляції магнітного поля]]

== Література ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
* [http://bse.sci-lib.com/article046577.html Закон Ампера] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081229233407/http://bse.sci-lib.com/article046577.html |date=29 грудня 2008 }} у [[Велика радянська енциклопедія|Великій радянській енциклопедії]] {{ref-ru}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Магнітостатика]]
[[Категорія:Електротехніка]]
[[Категорія:Електродинаміка]]
[[Категорія:Сила]]


text:
# Тітас
Тітас — газове родовище у Бангладеш. Станом на початок 2020-х найбільше родовище в історії країни.

## Характеристика
Входить до Бенгальського нафтогазоносного басейну. Глибина залягання покладів 2750 м. Станом на весну 2020-го початкові видобувні запаси оцінювались у 214 млрд м3 (з яких по лютий 2020-го вже видобули 137 млрд м3), а поточний видобуток знаходився на рівні 12 млн м3 на добу.
Родовище відкрили у 1963 році, а його розробка почалась в квітні 1968-го. Видачу продукції організували по трубопроводу Тітас – Демра.

title: Тітас

wikitext:
{{родовище}}'''Тітас''' — [[газове родовище]] у [[Бангладеш]]. Станом на початок 2020-х найбільше родовище в історії країни.

== Характеристика ==
Входить до [[Бенгальський нафтогазоносний басейн|Бенгальського нафтогазоносного басейну]]. Глибина залягання покладів 2750 м. Станом на весну 2020-го початкові видобувні запаси оцінювались у 214 млрд м3 (з яких по лютий 2020-го вже видобули 137 млрд м3), а поточний видобуток знаходився на рівні 12 млн м3 на добу.<ref>{{Cite web|title=Titas gas-field's output sapping fast|url=https://thefinancialexpress.com.bd/trade/titas-gas-fields-output-sapping-fast-1584074339|website=The Financial Express|accessdate=2021-04-14|language=en|first=The Financial|last=Express}}</ref>

Родовище відкрили у [[1963]] році, а його розробка почалась в квітні 1968-го. Видачу продукції організували по трубопроводу [[Тітас – Нарсінгді – Дакка|Тітас – Демра]].

== Див. також ==
* [[Бангладеш]]
* [[Бенгальський нафтогазоносний басейн]].

== Посилання ==
* [https://neftegazru.com/news/companies/432328-titus-gas-to-restore-discipline/ Titus Gas To Restore Discipline]

== Джерела ==
* {{ГЕС3}}

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Газові родовища Бангладеш]]

Тип: газове родовище

Країна: Бангладеш


text:
# Реджінальд Поул
Реджінальд Поул (англ. Reginald Pole; 3 березня 1500 — 17 листопада 1558, Лондон) — англійський кардинал, нащадок королівської династії Плантагенетів, останній католицький архієпископ Кентерберійський.

## Життєпис
Був другим сином Маргарет Плантагенет та сера Річарда Поула.
У 1538 році зведений папою римським у сан кардинала та призначений папським легатом (послом). Після відлучення англійського короля Генріха VIII від церкви, Святий Престол мав сильне бажання «покарати» непокірного монарха шляхом створення ізоляції від усього католицького світу і, як наслідок, настроювання інших правовірних католиків монархів (імператор Карл V, король Франциск I) проти короля Генріха, розв'язуючи новий хрестовий похід, а насправді війну. З цією метою і вирушив Європою Реджинальд Поул. Він мав свої мотиви — як нащадок англійських королів він претендував на англійський трон.
У 1545—1547 роках брав участь на першому етапі Тридентського собору. Був кандидатом на Святий Престол після смерті Папи Павла III (не вистачило одного голосу).
У 1554—1558 роках керував Контрреформацією в Англії і був радником королеви Марії. У 1556 року після страти Кранмера призначений архієпископом Кентерберійським.
У 1557 році до Європи прийшла «гарячка» (англ. fever) (ймовірно вірусної природи, не виключається, що це був грип), яка стала найстрашнішою епідемією XVI століття. В Англії її пік, порівняний за летальністю з втратами від Чорної смерті, припав на осінь врожайного 1558 року на південному узбережжі країни на «гарячку» перехворіло більше половини населення. Відомі тоді чума та англійський піт уражали людей швидко та нещадно; нова хвороба була тривалою, млявою, а її результат — непередбачуваний. Смертність була особливо великою серед приїжджих з континентальної Європи, дворянства та духовенства, а найвідомішими жертвами стали кардинал Поул та, ймовірно, сама королева Марія. Рано-вранці 17 листопада 1558 року Марія ненадовго прийшла до тями, відслухала католицьку месу і незабаром померла. Того ж дня, дізнавшись про смерть королеви, помер кардинал Поул.

## Образ у кінематографі та на телеекрані
- Майкл Феаст у міні-серіалі «Королева-дівина» (2005)
- Марк Хілдрет у третьому сезоні телевізійного серіалу «Тюдори» (2009)
- Артур Батеман у серіалі «Іспанська принцеса» (2019—2020).

title: Реджінальд Поул

wikitext:
{{особа}}
'''Реджінальд Поул''' ({{Lang-en|Reginald Pole}}; [[3 березня]] [[1500]] — [[17 листопада]] [[1558]], [[Лондон]]) — англійський [[кардинал]], нащадок королівської династії [[Плантагенети|Плантагенетів]], останній [[Католицтво|католицький]] [[архієпископ Кентерберійський]].

== Життєпис ==
Був другим сином Маргарет Плантагенет та сера Річарда Поула.

У [[1538]] році зведений [[Папа Римський|папою римським]] у сан [[кардинал]]а та призначений [[Папський легат|папським легатом]] (послом). Після відлучення [[Список британських монархів|англійського короля]] [[Генріх VIII|Генріха VIII]] від церкви, [[Святий Престол]] мав сильне бажання «покарати» непокірного монарха шляхом створення ізоляції від усього [[Католицька церква|католицького світу]] і, як наслідок, настроювання інших правовірних католиків монархів (імператор [[Карл V Габсбург|Карл V]], король [[Франциск I (король Франції)|Франциск I]]) проти короля Генріха, розв'язуючи новий [[Хрестові походи|хрестовий похід]], а насправді війну. З цією метою і вирушив Європою Реджинальд Поул. Він мав свої мотиви — як нащадок англійських королів він претендував на англійський трон.

У 1545—1547 роках брав участь на першому етапі [[Тридентський собор|Тридентського собору]]. Був кандидатом на [[Святий Престол]] після смерті [[Папа Римський|Папи]] [[Павло III|Павла III]] (не вистачило одного голосу).

У 1554—1558 роках керував [[Контрреформація|Контрреформацією]] в Англії і був радником королеви [[Марія I Тюдор|Марії]]. У 1556 року після страти Кранмера призначений архієпископом Кентерберійським.

У 1557 році до Європи прийшла «[[гарячка]]» ({{Lang-en|fever}}) (ймовірно вірусної природи, не виключається, що це був [[грип]]), яка стала найстрашнішою [[Епідемія|епідемією]] XVI століття. В Англії її пік, порівняний за [[Летальність|летальністю]] з втратами від [[Чорна смерть|Чорної смерті]], припав на осінь врожайного 1558 року на південному узбережжі країни на «гарячку» перехворіло більше половини населення. Відомі тоді чума та [[Англійська пітниця|англійський піт]] уражали людей швидко та нещадно; нова хвороба була тривалою, млявою, а її результат — непередбачуваний. [[Смертність]] була особливо великою серед приїжджих з континентальної Європи, дворянства та духовенства, а найвідомішими жертвами стали кардинал Поул та, ймовірно, сама королева Марія. Рано-вранці 17 листопада 1558 року Марія ненадовго прийшла до тями, відслухала католицьку месу і незабаром померла. Того ж дня, дізнавшись про смерть королеви, помер кардинал Поул.

== Образ у кінематографі та на телеекрані ==
* Майкл Феаст у міні-серіалі «Королева-дівина» ([[2005 у кіно|2005]])
* Марк Хілдрет у третьому сезоні [[Тюдори (серіал)|телевізійного серіалу «Тюдори»]] (2009)
* Артур Батеман у серіалі «Іспанська принцеса» (2019—2020).

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* Walter Troxler: Reginald Pole, Biographisch-Bibliographisches Kirchenlexikon (BBKL). Band 7, Herzberg 1994, стор 789—793, ISBN 3-88309-048-4

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20140821102150/http://britannia.com/bios/abofc/rpole.html Reginald Pole / Britannia Biographies]{{Ref-en}}
{{Бібліоінформація}}
{{DEFAULTSORT:Поул Реджінальд}}
[[Категорія:Кардинали з Англії]]
[[Категорія:Поховані в Кентерберійському соборі]]

title: англ. Reginald Pole

Народився: 3 березня 1500[…] · Стаффордшир, Англія

Помер: 17 листопада 1558 (58 років) · Лондон, Королівство Англія · ·грип

Поховання: Кентерберійський собор

Країна: Королівство Англія

Діяльність: дипломат, католицький священник, католицький диякон, католицький єпископ

Alma mater: коледж Магдалени і Падуанський університет

Відомі учні: Lazarus Buonamicid

Знання мов: англійська

Посада: канцлер Оксфордського університетуd, кардинал і римо-католицький архієпископ Кентерберіd

Конфесія: католицька церква

Батько: Ричард Поул

Мати: Margaret Pole, Countess of Salisburyd

Брати, сестри: Ursula Pole, Baroness Staffordd, Артур Поулd, Henry Pole, 1st Baron Montagud і Джеффрі Поулd

англ. Reginald Pole:
·
п о р


text:
# Касселбері (Флорида)
Касселбері (англ. Casselberry) — місто (англ. city) в США, в окрузі Семінол штату Флорида. Населення — 28 794 особи (2020).

## Географія
Касселбері розташоване за координатами 28°39′40″ пн. ш. 81°19′19″ зх. д. / 28.66111° пн. ш. 81.32194° зх. д. (28.661183, -81.321926).  За даними Бюро перепису населення США в 2010 році місто мало площу 19,57 км², з яких 18,11 км² — суходіл та 1,45 км² — водойми.

## Демографія
Згідно з переписом 2010 року, у місті мешкала 26 241 особа в 11 430 домогосподарствах у складі 6398 родин. Густота населення становила 1341 особа/км².  Було 12708 помешкань (649/км²).
Расовий склад населення:
| - 80,1 % — білих - 8,0 % — чорних або афроамериканців - 2,9 % — азіатів - 0,4 % — корінних американців - 0,1 % — вихідців з тихоокеанських островів - 4,9 % — осіб інших рас |

До двох чи більше рас належало 3,5 %. Частка іспаномовних становила 22,6 % від усіх жителів.
За віковим діапазоном населення розподілялося таким чином: 19,6 % — особи молодші 18 років, 66,3 % — особи у віці 18—64 років, 14,1 % — особи у віці 65 років та старші. Медіана віку мешканця становила 37,5 року. На 100 осіб жіночої статі у місті припадало 93,9 чоловіків;  на 100 жінок у віці від 18 років та старших — 90,8 чоловіків також старших 18 років.
Середній дохід на одне домашнє господарство  становив 54 820 доларів США (медіана — 40 510), а середній дохід на одну сім'ю — 69 939 доларів (медіана — 49 409). Медіана доходів становила 39 150 доларів для чоловіків та 37 721 долар для жінок. За межею бідності перебувало 16,0 % осіб, у тому числі 23,7 % дітей у віці до 18 років та 12,5 % осіб у віці 65 років та старших.
Цивільне працевлаштоване населення становило 12 582 особи. Основні галузі зайнятості: освіта, охорона здоров'я та соціальна допомога — 22,6 %, роздрібна торгівля — 14,7 %, науковці, спеціалісти, менеджери — 13,8 %, мистецтво, розваги та відпочинок — 13,8 %.

title: Касселбері (Флорида)

wikitext:
{{НП
|країна  = [[Сполучені Штати Америки|США]]
|статус  = місто
|українська назва   = Касселбері
|оригінальна назва  = {{lang-en|Casselberry}}
|підпорядкування    =
|герб           =
|прапор         =
|ширина герба   =
|ширина прапора =
|зображення     =
|опис зображення=
|вид регіону = Штат США{{!}}Штат
|регіон      = Флорида
|вид району  = Округ (США){{!}}Округ
|район       = [[Семінол (округ, Флорида)|Семінол]]
|вид общини  =
|община      =
|внутрішній поділ  =
|перша згадка      =
|попередні назви   =
|площа              = 19,57
|висота центру НП   = 17
|клімат             =
|офіційна мова      =
|офіційна мова-ref  =
|населення          =
|рік перепису       =
|густота населення  = 1340,88
|агломерація        =
|національний склад =
|конфесійний склад  =
|катойконім         =
|часовий пояс           =
|DST                    =
|телефонний код         = 321, 407
|поштовий індекс        = 32707
|автомобільний код      =
|вид ідентифікатора     = [[Федеральні стандарти обробки інформації|Код FIPS]]
|цифровий ідентифікатор = 1211050
|сайт  =
|add1n =
|add1  =
}}

'''Касселбері''' ({{lang-en|Casselberry}}) — місто ({{lang-en|city}}) в [[Сполучені Штати Америки|США]], в окрузі [[Семінол (округ, Флорида)|Семінол]] штату [[Флорида]]. Населення — {{formatnum:28794}} особи (2020).

== Географія ==
Касселбері розташоване за координатами {{Coord|28|39|40|N|81|19|19|W|type:city_region:US-DE}} (28.661183, -81.321926){{R|gazetteer2010}}.  За даними [[Бюро перепису населення США]] в 2010 році місто мало площу 19,57 км², з яких 18,11 км² — [[Суходіл (географія)|суходіл]] та 1,45 км² — [[водойма|водойми]].

== Демографія ==
{{USCensusPop
| align = left
| 1950 = 407
| 1960 = 2463
| 1970 = 9438
| 1980 = 15037
| 1990 = 18911
| 2000 = 22629
| 2010 = 26241
| 2020 = 28794
| estyear =
| estimate =
| estref =
|footnote=Десятилітній перепис в США<ref name="DecennialCensus">{{cite web|url=https://www.census.gov/prod/www/decennial.html|title=Census of Population and Housing|publisher=Census.gov|accessdate=4 червня 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130412035529/http://www.census.gov/prod/www/decennial.html|archivedate=12 квітня 2013}}</ref>
}}
Згідно з [[Перепис населення США (2010)|переписом 2010 року]]{{R|cen2010}}, у місті мешкала {{formatnum:26241}} особа в {{formatnum:11430}} домогосподарствах у складі {{formatnum:6398}} родин. [[Густота населення]] становила 1341 особа/км².  Було 12708 помешкань (649/км²).

[[Раса|Расовий склад]] населення:
{| style="margin-top:-.7em; margin-bottom: -0.4em;"
|<!--Таблиця потрібна для правильного "прилягання" списку до таблиці населення за роками-->
* 80,1 % — [[Расовий склад США|білих]]
* 8,0 % — [[Расовий склад США|чорних]] або [[афроамериканці]]в
* 2,9 % — [[Американці азійського походження|азіатів]]
* 0,4 % — [[Корінні народи США|корінних американців]]
* 0,1 % — вихідців з [[Тихий океан|тихоокеанських островів]]
* 4,9 % — осіб інших рас
|}
До двох чи більше рас належало 3,5 %. Частка іспаномовних становила 22,6 % від усіх жителів.

За віковим діапазоном населення розподілялося таким чином: 19,6 % — особи молодші 18 років, 66,3 % — особи у віці 18—64 років, 14,1 % — особи у віці 65 років та старші. Медіана віку мешканця становила 37,5 року. На 100 осіб жіночої статі у місті припадало 93,9 чоловіків;  на 100 жінок у віці від 18 років та старших — 90,8 чоловіків також старших 18 років.

Середній дохід на одне домашнє господарство  становив {{formatnum:54820}} [[Долар США|доларів США]] (медіана — {{formatnum:40510}}), а середній дохід на одну сім'ю — {{formatnum:69939}} доларів (медіана — {{formatnum:49409}}). Медіана доходів становила {{formatnum:39150}} доларів для чоловіків та {{formatnum:37721}} долар для жінок.{{R|fulltime2015USD|group="Прим."}} За межею бідності перебувало 16,0 % осіб, у тому числі 23,7 % дітей у віці до 18 років та 12,5 % осіб у віці 65 років та старших.

Цивільне працевлаштоване населення становило {{formatnum:12582}} особи. Основні галузі зайнятості: освіта, охорона здоров'я та соціальна допомога — 22,6 %, роздрібна торгівля — 14,7 %, науковці, спеціалісти, менеджери — 13,8 %, мистецтво, розваги та відпочинок — 13,8 %.

== Примітки ==
{{reflist|group="Прим."|refs=
<ref name=fulltime2015USD>Річний дохід на особу, яка працювала на повну ставку. Оцінка в доларах 2015 року.</ref>
}}

== Джерела ==
{{Портал|США}}
{{reflist
|refs=<ref name=cen2010>{{cite web|url=https://factfinder.census.gov/faces/nav/jsf/pages/index.xhtml|publisher=[[Бюро перепису населення США]]|accessdate=16-06-2019|title=American FactFinder|archive-date=2015-01-08|archive-url=http://webarchive.loc.gov/all/20150108070337/http://factfinder.census.gov/faces/nav/jsf/pages/index.xhtml}}{{ref-en}}</ref>
<ref name=gazetteer2010>{{cite web|url={{US-census-gazetteer2010-url}}|publisher=[[Бюро перепису населення США]]|accessdate=16-06-2019|title=Gazetteer}}{{ref-en}}</ref>
}}

{{Бібліоінформація}}
{{Семінол (округ, Флорида)}}

[[Категорія:Міста Флориди]]
[[Категорія:Населені пункти округу Семінол (Флорида)]]

title: Країна

Країна: США

Штат: Флорида

Округ: Семінол

Голова: David Hensond