text:
# Горсько-Косово
Го́рсько-Ко́сово (болг. Горско Косово) — село у Великотирновській області Болгарії. Входить до складу общини Сухиндол.

## Населення
За даними перепису населення 2011 року у селі проживали 162 особи.
Національний склад населення села:
| Національність   | Кількість осіб | Відсоток |
| ---------------- | -------------- | -------- |
| болгари          | 155            | 97,5%    |
| турки            | 0              | 0%       |
| інша             | 0              | 0%       |
| не визначились   | 3              | 1,9%     |
| Всього відповіли | 159            |          |

Розподіл населення за віком у 2011 році:
Динаміка населення:

title: Горсько-Косово

wikitext:
{{НП Болгарії
 | назва                 = Горсько-Косово
 | статус                = село
 | місцева_назва         = {{lang-bg|Горско Косово}}
 | герб                  =
 | прапор                =
 | зображення            =
 | зображення_підпис     =
 | область               = [[Великотирновська область]]
 | община                = [[Сухиндол (община)|Сухиндол]]
 | община_кмет           =
 | община_кмет_партія    =
 | кметство              =
 | кмет                  =
 | кмет_партія           =
 | код_ЕКАТТЕ            = 17208
 | широта                = 43.1291
 | довгота               = 25.1685
 | висота                = 152
 | населення             = 162
 | населення_рік         = 2011
 | населення_джерело     =
 | площа                 =
 | поштові_індекси       = 5235
 | телефонний_код        = 061393
 | вебсторінка           =
 | фізична_о             = 37
 | фізична_о_джерело     = <ref name="відстані">Фізичні відстані розраховані за координатами населених пунктів</ref>
 | фізична_с             = 157
 | фізична_с_джерело     = <ref name="відстані"/>
}}'''Го́рсько-Ко́сово''' ({{lang-bg|Горско Косово}}) — село у [[Великотирновська область|Великотирновській області]] [[Болгарія|Болгарії]]. Входить до складу общини [[Сухиндол (община)|Сухиндол]].

== Населення ==
За даними [[Перепис населення Болгарії (2011)|перепису населення 2011 року]] у селі проживали {{formatnum:162}} особи.

Національний склад населення села<ref>{{cite web|url=http://www.nsi.bg/ORPDOCS/Census2011_4.pop_by_ethnos.xls|title=Национален статистически институт. Население по области, общини, населени места и самоопределение по етническа принадлежност към 01.02.2011 г.|language=болгарською|accessdate=2012-03-18|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120422120657/http://www.nsi.bg/ORPDOCS/Census2011_4.pop_by_ethnos.xls|archivedate=22.04.2012|deadurl=yes}}</ref>:
{| class="standard"
|-
! style = "background-color:#A0FF60" | Національність
! style = "background-color:#A0FF60" | Кількість осіб
! style = "background-color:#A0FF60" | Відсоток
|-
| [[Болгари в Болгарії|болгари]]
| 155
| 97,5%
|-
| [[Турки в Болгарії|турки]]
| 0
| 0%
|-
| інша
| 0
| 0%
|-
| не визначились
| 3
| 1,9%
|-
| '''Всього відповіли'''
| 159
|
|}

Розподіл населення за віком у 2011 році<ref>{{cite web|url=http://www.nsi.bg/ORPDOCS/Census2011_1.pop_by_age.xls|title=Национален статистически институт. Население по области, общини, населени места и възраст към 01.02.2011 г.|language=болгарською|accessdate=2012-03-18|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120422120842/http://www.nsi.bg/ORPDOCS/Census2011_1.pop_by_age.xls|archivedate=22.04.2012|deadurl=yes}}</ref>:
{{Демографія/розподіл за віком
| макс=25
| всього=162
| 0-4=2
| 5-9=1
| 10-14=2
| 15-19=2
| 20-24=2
| 25-29=1
| 30-34=3
| 35-39=5
| 40-44=8
| 45-49=6
| 50-54=8
| 55-59=15
| 60-64=17
| 65-69=7
| 70-74=25
| 75-79=22
| 80-84=20
| 85+=16
}}

Динаміка населення<ref>{{cite web|url=http://www.nsi.bg/nrnm/show9.php?sid=1214&ezik=bul|title=Национален статистически институт. Справка за населението на с. Горско Косово, общ. Сухиндол, обл. Велико Търново|language=болгарською|accessdate=2012-01-23|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304141617/http://www.nsi.bg/nrnm/show9.php?sid=1214&ezik=bul|archivedate=2016-03-04|deadurl=yes}}</ref>:
{{Демографія/Населення Болгарії
|Ширина зображення  = 440
|Максимум шкали     = 1200
|Крок більшої шкали = 200
|Крок меншої шкали  = 40
|1934 = 401
|1946 = 1188
|1956 = 423
|1965 = 310
|1975 = 257
|1985 = 207
|1992 = 214
|2001 = 186
|2011 = 162
}}

== Примітки ==
{{commonscat|Gorsko Kosovo}}
{{reflist}}

{{Великотирновська область|Сухиндол}}

{{Bulgaria-geo-stub}}

{{Портали|Географія|Болгарія}}

[[Категорія:Села Великотирновської області]]

title: Горсько-Косово · болг. Горско Косово

Країна: Болгарія

Область: Великотирновська область

Община: Сухиндол

title: Відстань

Відстань:
До обласного центру
До Софії

title: Розташування

Розташування: Горсько-КосовоГорсько-Косово (Болгарія)


text:
# Відтінки сірого
У фотографії і комп'ютерній графіці, зображення у відтінках сірого це зображення в якому кожен піксель представляє або кодує інформацію лише про його інтенсивність. Зображення такого типу також називають чорно-білими, бо вони містять лише відтінки сірого кольору, градація яких змінюється від інтенсивності чорного, що є найменшою до білого, що є найбільшим значенням інтенсивності світла.
Зображення у відтінках сірого відрізняється від однобітних двокольорових чорно-білих зображень, які в контексті цифрових зображень матимуть лише два кольори, чорний і білий (вони ще називаються двійковими зображеннями).
Зображення у відтінках сірого часто є результатом вимірювання інтенсивності світла для кожного пікселя в одній смузі електромагнітного спектру (наприклад, інфрачервоного, видимого світла, ультрафіолетового, та ін.). Крім того, такі зображення можна отримати з кольорових зображень.

## Чисельне представлення
Інтенсивність пікселя задається в заданому діапазоні між мінімумом і максимумом, включно. В абстрактному вигляді цей діапазон задається в діапазоні між 0 (повна відсутність світла, чорне) і 1 (біле), як будь-які дробові значення між ними. Таке позначення використовується в наукових роботах, але не визначає що таке «чорне» або «біле» в термінах колориметрії.
В обчислювальній техніці, хоча відтінки сірого могли б обчислюватись як раціональні числа, пікселі зображення зберігаються в двійковій, квантованій формі. Деякі перші чорно-білі монітори могли відображати лише шістнадцять (4-біт) різних відтінків.
Технічні застосування (медичні зображення або дистанційне зондування) потребує більше градацій, щоб повністю використовувати точність сенсору і подвійну кількість аби зменшити помилки округлення при розрахунках. Шістнадцять біт на піксель (65 536 відтінків) є необхідним зручним варіантом для таких застосувань.

wikiname: ukwiki

title: Відтінки сірого

in_language: uk

wikitext:
{{Глибина кольору}}
{{Grayscale}}
У [[Фотографія|фотографії]] і [[Комп'ютинг|комп'ютерній]] графіці, зображення у '''відтінках сірого''' це зображення в якому кожен піксель представляє або кодує інформацію лише про його [[Сила світла|інтенсивність]]. Зображення такого типу також називають [[Чорно-біле кіно|чорно-білими]], бо вони містять лише відтінки сірого кольору, градація яких змінюється від інтенсивності чорного, що є найменшою до білого, що є найбільшим значенням інтенсивності світла.<ref>{{cite book | title = Stephen Johnson on Digital Photography | author = Stephen Johnson | publisher = O'Reilly | year = 2006 | isbn = 0-596-52370-X | url = https://books.google.com/books?id=0UVRXzF91gcC&pg=PA17&dq=grayscale+black-and-white-continuous-tone&ei=XlwqSdGVOILmkwTalPiIDw | accessdate = 17 жовтня 2016 | archive-date = 2 квітня 2017 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170402142212/https://books.google.com/books?id=0UVRXzF91gcC&pg=PA17&dq=grayscale+black-and-white-continuous-tone&ei=XlwqSdGVOILmkwTalPiIDw }}</ref>

Зображення у відтінках сірого відрізняється від однобітних двокольорових чорно-білих зображень, які в контексті цифрових зображень матимуть лише два кольори, [[чорний колір|чорний]] і [[Білий колір|білий]] (вони ще називаються ''[[бінарне зображення|двійковими зображеннями]]'').

Зображення у відтінках сірого часто є результатом вимірювання інтенсивності світла для кожного пікселя в одній смузі [[Електромагнітний спектр|електромагнітного спектру]] (наприклад, [[Інфрачервоне випромінювання|інфрачервоного]], [[Видиме світло|видимого світла]], [[Ультрафіолетове випромінювання|ультрафіолетового]], та ін.). Крім того, такі зображення можна отримати з кольорових зображень.

== Чисельне представлення ==
[[Файл:Grayscale 8bits palette sample image.png|thumb|left|Приклад зображення у відтінках сірого.]]

Інтенсивність пікселя задається в заданому діапазоні між мінімумом і максимумом, включно. В абстрактному вигляді цей діапазон задається в діапазоні між 0 (повна відсутність світла, чорне) і 1 (біле), як будь-які дробові значення між ними. Таке позначення використовується в наукових роботах, але не визначає що таке «чорне» або «біле» в термінах [[Колориметрія (наука)|колориметрії]].

В обчислювальній техніці, хоча відтінки сірого могли б обчислюватись як [[Раціональні числа|раціональні числа]], пікселі зображення зберігаються в [[Бінарний код|двійковій]], [[Квантування (обробка сигналів)|квантованій]] формі. Деякі перші чорно-білі монітори могли відображати лише шістнадцять (4-[[Біт|біт]]) різних відтінків.

Технічні застосування ([[Медична візуалізація|медичні зображення]] або [[Дистанційне зондування Землі|дистанційне зондування]]) потребує більше градацій, щоб повністю використовувати точність [[Давач|сенсору]] і подвійну кількість аби зменшити помилки округлення при розрахунках. Шістнадцять біт на піксель (65 536 відтінків) є необхідним зручним варіантом для таких застосувань.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{color-stub}}
{{комп'ютерна графіка-доробити}}
{{Кольори}}

[[Категорія:Зображування]]
[[Категорія:Відтінки сірого кольору| ]]
[[Категорія:Глибина кольору]]


text:
# Михаїл (Сабрига)
Михаїл Сабрига (Сабрига Михайло Йосипович; 22 листопада 1940, Бортків, нині Золочівського району Львівської області — 29 червня 2006, Житомир; похований у селі Зарваниця Теребовлянського району Тернопільської області) — український релігійний діяч, єпископ УГКЦ.

## Життєпис
В 1963 році вступив до новіціяту отців Редемптористів у Львові й водночас розпочав богословські студії в підпільній семінарії. 8 листопада 1971 року склав монаші обіти. 24 лютого 1974 року Архієпископ Володимир Стернюк рукопоклав Михаїла Сабригу в сан священика.
Провадив підпільну душпастирську діяльність у Львівській, Тернопільській та Івано-Франківській областях. 11 жовтня 1986 року отримав єпископське свячення.
Після виходу УГКЦ з підпілля — єпископ-помічник кардинала Мирослава-Івана Любачівського у Львові. Від 1990 року — в Тернополі, від 1992 року — екзарх новоствореної Тернопільсько-Зборівської єпархії. Від 1993 року до відходу у вічність — єпископ Тернопільсько-Зборівської єпархії УГКЦ.
Як ініціатор відродження УГКЦ освятив новозбудовані і відновлені храми та богослужбові споруди на Тернопільщині, зокрема Монастир Святого Теодора Студита в с. Колодіївка Підволочиського району.
Співзасновник благодійного міжнародного фонду «Карітас» (1994). Засновник (1995) і видавець газети «Божий сіяч».
Благословив відбудову Марійського духовного центру в Зарваниці (Теребовлянський район).

## Нагороди
- Орден «За заслуги» 3-го ступеня (1999).

## Творчість
Автор статей і проповідей.
- «Зерна віри» — збірка проповідей (2013, вийшла у світ з нагоди 20-ї річниці створення Тернопільської єпархії та інтронізації владики Михаїла Сабриги)

title: Михаїл (Сабрига)

wikitext:
{{Єпископ
|ім'я= Михаїл Сабрига
|портрет= Михаїл (Сабрига) - 06040022.jpg
|ширина портрету    =200px
|титул = Архієпископ [[Тернопільсько-Зборівська єпархія УГКЦ|Тернопільсько-Зборівський]]
|порядок = 1
|прапор = Coat of arms of Ternopil-Zboriv (UGCC).svg
|церква=[[Українська греко-католицька церква]]
|періодпочаток = [[17 жовтня]] [[1993]]
|періодкінець = [[29 червня]] [[2006]]
|наступник = [[Василь (Семенюк)]]
|хіротонія= [[11 жовтня]] [[1986]]
|сан = [[24 лютого]] [[1974]]
|дата народження=22.11.1940
|місце народження= [[Бортків]], [[Золочівський район]], [[Львівська область]]
|дата смерті=29.06.2006
|місце смерті= [[Житомир]]; похований у селі [[Зарваниця (Теребовлянський район)|Зарваниця]] [[Теребовлянський район|Теребовлянського району]] [[Тернопільська область|Тернопільської області]]
|посада=[[Епарх|Єпарх]] [[Тернопільсько-Зборівська єпархія УГКЦ|Тернопільсько-Зборівський]]
|нагороди = {{Орден «За заслуги» III ступеня (Україна)}}
}}
'''Михаїл Сабрига''' (Сабрига Михайло Йосипович; [[22 листопада]] [[1940]], [[Бортків]], нині [[Золочівський район|Золочівського району]] [[Львівська область|Львівської області]] — [[29 червня]] [[2006]], [[Житомир]]; похований у селі [[Зарваниця (Теребовлянський район)|Зарваниця]] [[Теребовлянський район|Теребовлянського району]] [[Тернопільська область|Тернопільської області]]) — [[Україна|український]] [[релігійний діяч]], [[єпископ]] [[Українська греко-католицька церква|УГКЦ]].

== Життєпис ==
В 1963 році вступив до [[новіціят]]у [[Редемптористи|отців Редемптористів]] у [[Львів|Львові]] й водночас розпочав богословські студії в підпільній [[семінарія|семінарії]]. [[8 листопада]] [[1971]] року склав монаші обіти. [[24 лютого]] [[1974]] року [[Архієпископ]] [[Володимир Стернюк]] рукопоклав Михаїла Сабригу в сан [[священик]]а.

Провадив підпільну душпастирську діяльність у [[Львівська область|Львівській]], [[Тернопільська область|Тернопільській]] та [[Івано-Франківська область|Івано-Франківській областях]]. [[11 жовтня]] [[1986]] року отримав єпископське свячення.

Після виходу УГКЦ з підпілля — [[Вікарій|єпископ-помічник]] [[кардинал]]а [[Любачівський Мирослав Іван|Мирослава-Івана Любачівського]] у Львові. Від 1990 року — в [[Тернопіль|Тернополі]], від 1992 року — [[екзарх]] новоствореної [[Тернопільсько-Зборівська єпархія|Тернопільсько-Зборівської єпархії]]. Від 1993 року до відходу у вічність — [[єпископ]] [[Тернопільсько-Зборівська архієпархія УГКЦ|Тернопільсько-Зборівської єпархії УГКЦ]].

Як ініціатор відродження УГКЦ освятив новозбудовані і відновлені храми та богослужбові споруди на [[Тернопільська область|Тернопільщині]], зокрема [[Монастир Святого Теодора Студита]] в с. [[Колодіївка (Підволочиський район)|Колодіївка]] [[Підволочиський район|Підволочиського району]].

Співзасновник благодійного міжнародного фонду «[[Карітас України|Карітас]]» (1994). Засновник (1995) і видавець газети «[[Божий сіяч]]».

Благословив відбудову [[Зарваницький духовний центр|Марійського духовного центру]] в [[Зарваниця (Теребовлянський район)|Зарваниці]] ([[Теребовлянський район]]).

== Нагороди ==
* Орден «[[Орден «За заслуги» (Україна)|За заслуги]]» 3-го ступеня (1999).

== Творчість ==
Автор статей і проповідей.
* «Зерна віри» — збірка проповідей (2013, вийшла у світ з нагоди 20-ї річниці створення Тернопільської єпархії та інтронізації владики Михаїла Сабриги)

== Джерела ==
* ''Б. Головин, М. Ханас, о. М. Шаварин, Л. Щербак.'' Сабрига Михаїл // {{ТЕС|3|212}}
* Він жив і трудився немарно [Текст] / Н. Шподарунок // [[Сільський господар плюс]] Тернопільщина. — 2020. — № 47 (25 листоп.). — С. 7 : фот.

== Посилання ==
* [http://www.tze.org.ua/arhyjeparhija/yepyskopy/vladyka-mykhail-sabryha.html Преосвященний владика Михаїл Сабрига] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140222144941/http://www.tze.org.ua/arhyjeparhija/yepyskopy/vladyka-mykhail-sabryha.html |date=22 лютого 2014 }}
* [https://web.archive.org/web/20071217210614/http://www.rr.lviv.ua/news.php?item=865 Помер Владика Михаїл (Сабрига)]
* [http://www.tze.org.ua/ostanni-novyny/1165-до-ювілею-єпархії-вийшла-збірка-проповідей-«зерна-віри».html До ювілею єпархії вийшла збірка проповідей «Зерна віри» єпископа Михаїла Сабриги]

{{Бібліоінформація}}
{{DEFAULTSORT:Сабрига Михаїл}}
[[Категорія:Українські релігійні діячі]]
[[Категорія:Єпископи УГКЦ]]
[[Категорія:Титулярні єпископи]]
[[Категорія:Уродженці Борткова]]
[[Категорія:Персоналії:Зарваниця]]
[[Категорія:Померли в Житомирі]]
[[Категорія:Тернопільські єпископи УГКЦ]]

title: 17 жовтня 1993 — 29 червня 2006

Церква: Українська греко-католицька церква

Наступник: Василь (Семенюк)

Діяльність: католицький священник, католицький диякон, католицький єпископ

Народження: 22 листопада 1940 · Бортків, Золочівський район, Львівська область

Смерть: 29 червня 2006 (65 років) · Житомир; похований у селі Зарваниця Теребовлянського району Тернопільської області

Похований: Собор Зарваницької Матері Божої

Священство: 24 лютого 1974

Єп. хіротонія: 11 жовтня 1986

Посада: Єпарх Тернопільсько-Зборівський

title: Нагороди:

Нагороди:
Орден «За заслуги» ІІІ ступеня
Михаїл у Вікісховищі

Прапор: 1-й Архієпископ Тернопільсько-Зборівський


text:
# Торт-Кудук
Торт-Куду́к (каз. Төрт Құдық) — село у складі Екібастузької міської адміністрації Павлодарської області Казахстану. Адміністративний центр Торт-Кудуцького сільського округу.
Населення — 268 осіб (2021; 735 у 2009, 1109 у 1999, 1519 у 1989).
Станом на 1989 рік село мало статус селища міського типу, до 2006 року — селища.

title: Торт-Кудук

wikitext:
{{Населений пункт Казахстану
| тип                    = село
| назва                  = Торт-Кудук
| місцева назва          = {{Lang-kk|Төрт Құдық}}
| прапор                 =
| опис прапора           =
| герб                   =
| опис герба             =
| зображення             =
| зображення_розмір      = <!--300px -->
| зображення_підпис      =
| область                = [[павлодарська область|Павлодарська]]
| район                  =
| округ                  = [[торт-Кудуцький сільський округ|Торт-Кудуцький]]
| адміністрація          = [[екібастузька міська адміністрація|Екібастузька м.а.]]
| засноване              =
| перша згадка           =
| статус                 =
| поділ                  =
| населення              = 268 осіб ([[2021]]{{KAZ-pop-stat-2021}})
| площа                  =
| ref-площа              =
| густота                =
| поштові індекси        =
| код                    =
|lat=
|long=
|lat_dir=N | lat_deg= 51 | lat_min= 42
           | lat_sec= 39
|lon_dir=E | lon_deg= 74 | lon_min= 11
           | lon_sec= 00
| карта розташування1    = Казахстан Павлодарська область
| висота                 =
| водойма                =
| етнікон                =
| станція                =
| міста-побратими        =
| день населеного пункту =
| адреса                 =
| вебсторінка            =
| голова                 =
| ремарки                =
}}

'''Торт-Куду́к''' ({{Lang-kk|Төрт Құдық}}) — [[село]] у складі [[екібастузька міська адміністрація|Екібастузької міської адміністрації]] [[павлодарська область|Павлодарської області]] [[Казахстан]]у. Адміністративний центр [[торт-Кудуцький сільський округ|Торт-Кудуцького сільського округу]].

Населення — 268 осіб ([[2021]]; 735 у [[2009]], 1109 у [[1999]], 1519 у [[1989]]{{USSR-census1989}}).

Станом на [[1989]] рік село мало статус селища міського типу, до [[2006]] року — селища<ref>[http://adilet.zan.kz/rus/docs/V06P0003060 Решение Павлодарского областного маслихата от 20 января 2006 года N 9/17. Зарегистрировано департаментом юстиции Павлодарской области 1 февраля 2006 года за N 3060. «Об изменениях в административно-территориальном устройстве города Экибастуза Павлодарской области.»] - Информационно-правовая система нормативных правовых актов Республики Казахстан {{ref-ru}}</ref>.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Карта|M-43-5}}

== Посилання ==
* [http://wikimapia.org/#lang=en&lat=51.711502&lon=74.183121&z=13&m=b&show=/15064018/ru/ На Вікімапії]

{{екібастуз}}

{{Kazakhstan-geo-stub}}

[[Категорія:Населені пункти Екібастузької міської адміністрації]]
[[Категорія:Села Павлодарської області]]

title: Основні дані

Країна: Казахстан

Область: Павлодарська

Округ: Торт-Кудуцький

Адміністрація: Екібастузька м.а.

Основні дані:
Карта
· Торт-Кудук · Торт-Кудук


text:
# Галіррофій
Галірро́фій (дав.-гр. Ἁλιρρόθιος) — персонаж давньогрецької міфології, син Посейдона та німфи Еріти (за іншими джерелами Бафіклеї).
З одними джерелами батько послав його зрубати священну оливу Афіни, але сокира, якою він почав рубати дерево, вирвалася з рук Галіррофія і смертельно його поранила.
За іншими джерелами, Галіррофій зазіхнув на честь Алкіппи, дочки Ареса і Агравли, і Арес убив його. Посейдон звернувся до суду з дванадцяти олімпійських богів, звинувачуючи Ареса у вбивстві свого сина. Суд засідав на пагорбі Ареса поблизу Афін і з того часу його називали ареопагом. Оскільки, крім Ареса, свідків того, що сталося не виявилося, ареопаг виправдав його.

title: Галіррофій

wikitext:
{{Картка:Міфічний персонаж
| Ім'я                          = Галіррофій
| Ім'я мовою оригіналу          = Ἁλιρρόθιος
| Значення імені                = «заливається шумливим морем»
| Тип                           =
| Міфологія                     = [[Давньогрецька міфологія|давньогрецька]]
| Період життя                  =
| Зображення                    =
| Розмір зображення             =
| Підпис                        =
| Опис                          =
| Ім'я іншими мовами            =
| Грецькою                      =
| Латинською                    =
| В інших культурах             =
| Місцевість                    =
| Заняття                       =
| Походження                    =
| Згадки                        =
| Династія                      =
| Батько                        = [[Посейдон]]
| Мати                          = Еріта або Бафіклея
| Брати/сестри                  =
| Чоловік                       =
| Діти                          =
| Місце поховання               =
| Свята на честь                =
| Пов'язані події               = вирубка священної оливи [[Афіна|Афіни]]
| Пов'язані персонажі           = [[Афіна]], [[Арес]]
| Атрибути                      =
| Вахана                        =
| Вікісховище                   =
}}
'''Галірро́фій''' ({{lang-grc|Ἁλιρρόθιος}}) — [[персонаж]] [[Давньогрецька міфологія|давньогрецької міфології]], син [[Посейдон]]а та [[німфи]] Еріти (за іншими джерелами Бафіклеї).

З одними джерелами батько послав його зрубати священну оливу [[Афіна|Афіни]], але сокира, якою він почав рубати дерево, вирвалася з рук Галіррофія і смертельно його поранила.

За іншими джерелами, Галіррофій зазіхнув на честь [[Алкіппа (дочка Ареса)|Алкіппи]], дочки [[Арес]]а і [[Агравла|Агравли]], і Арес убив його. Посейдон звернувся до суду з дванадцяти [[Олімпійські боги|олімпійських богів]], звинувачуючи Ареса у вбивстві свого сина. Суд засідав на [[Афінський акрополь|пагорбі]] Ареса поблизу [[Афіни|Афін]] і з того часу його називали [[ареопаг]]ом<ref>{{lang-grc|Ἄρειος πάγος}} буквально — «пагорб Ареса»</ref>. Оскільки, крім Ареса, свідків того, що сталося не виявилося, ареопаг виправдав його.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* А. П. Кондрашов. Кто есть кто в мифологии Древней Греции и Рима. 1738 героев и мифов. РИПОЛ классик. — М., 2016. ISBN 978-5-386-09554-3 {{ref-ru}}
* [[Павсаній]], Periegesi della Grecia I 21, 4; 28, 2. {{ref-la}}
* [[Псевдо-Аполлодор]], Bibliotheca III 14, 2. {{ref-la}}
* [[Евріпід]], [[Електра (Евріпід)|Електра]], 1260; [[Іфігенія в Тавриді (Евріпід)|Іфігенія в Тавриді]], 945; [[Орест (Евріпід)|Орест]], 1648-51. {{ref-el}}
* [[Демосфен]], ομιλίες (промови), XXIII 66. {{ref-el}}

[[Категорія:Персонажі давньогрецьких міфів]]

title: Галіррофій · Ἁλιρρόθιος

Міфологія: давньогрецька

Значення імені: «заливається шумливим морем»

Батько: Посейдон

Мати: Еріта або Бафіклея

Пов'язані персонажі: Афіна, Арес

Пов'язані події: вирубка священної оливи Афіни


text:
# Кільце (астрономія)
Кільця планети — система плоских концентричних утворень з пилу і льоду, що обертається навколо планети в екваторіальній площині. Кільця виявлені у всіх газових гігантів Сонячної системи.

## Історія
Система кілець Сатурна була відкрита в XVII столітті. Першим її спостерігав найімовірніше Галілео Галілей у 1610 році, проте через низьку якість оптики він бачив не кільця, а лише «придатки» по обидва боки Сатурна.
У 1655 році Хрістіан Гюйгенс, використовуючи досконаліший ніж у Галілея телескоп, першим побачив кільце Сатурна і записав: «кільцем оточений тонким, плоским, що ніде не торкається, до екліптики нахиленим».
Понад 300 років Сатурн вважався єдиною планетою, оточеної кільцями. Лише в 1977 році, при спостереженні покриття Ураном зірки, у планети були виявлені кільця. Слабкі і тонкі кільця Юпітера були відкриті в 1979 році космічним апаратом «Вояджер-1». Через 10 років, у 1989 році, «Вояджер-2» виявив кільця Нептуна.
Кільця може мати також супутник Сатурна Рея. Дані, які передав у листопаді 2005 і в серпні 2007 року апарат «Кассіні — Гюйгенс», показали, що при заході в «тінь» Реї, потік реєстрованих від Сатурна електронів у кілька разів аномально зменшувався, що може свідчити про наявність у Реї трьох кілець.

title: Кільце (астрономія)

wikitext:
[[Файл:Main Ring Galeleo forward PIA00538.jpg|thumb|350px|right|Головне [[Кільця Юпітера|кільце Юпітера]]]]
{{Otheruses}}
'''Кільця планети''' — система плоских концентричних утворень з [[Космічний пил|пилу]] і льоду, що обертається навколо [[планета|планети]] в екваторіальній площині. Кільця виявлені у всіх [[Газові планети|газових гігантів]] [[Сонячна система|Сонячної системи]].

== Історія ==

Система [[Кільця Сатурна|кілець Сатурна]] була відкрита в [[XVII]] столітті. Першим її спостерігав найімовірніше [[Галілео Галілей]] у [[1610]] році, проте через низьку якість оптики він бачив не кільця, а лише «придатки» по обидва боки [[Сатурн (планета)|Сатурна]].

У [[1655]] році [[Хрістіан Гюйгенс]], використовуючи досконаліший ніж у Галілея [[телескоп]], першим побачив кільце Сатурна і записав: «кільцем оточений тонким, плоским, що ніде не торкається, до [[екліптика|екліптики]] нахиленим».

Понад 300 років [[Сатурн (планета)|Сатурн]] вважався єдиною [[планета|планетою]], оточеної кільцями. Лише в [[1977]] році, при спостереженні покриття [[Уран (планета)|Ураном]] [[зірка|зірки]], у планети були виявлені кільця. Слабкі і тонкі [[кільця Юпітера]] були відкриті в [[1979]] році космічним апаратом «[[Вояджер-1]]». Через 10 років, у [[1989]] році, «[[Вояджер-2]]» виявив кільця Нептуна.

Кільця може мати також [[Супутники Сатурна|супутник Сатурна]] [[Рея (супутник)|Рея]]. Дані, які передав у [[листопад]]і [[2005]] і в [[серпень|серпні]] [[2007]] року апарат «Кассіні — Гюйгенс», показали, що при заході в «тінь» Реї, потік реєстрованих від Сатурна [[електрон]]ів у кілька разів аномально зменшувався, що може свідчити про наявність у [[Рея (супутник)|Реї]] трьох кілець.

== Див. також ==
{{Commons|Category:Planetary rings}}
* [[Кільця Юпітера]]
* [[Кільця Сатурна]]
* [[Кільця Урана]]
* [[Кільця Нептуна]]

{{Без джерел|дата=жовтень 2015}}

{{astro-stub}}
{{Сонячна система}}

[[Категорія:Планетологія]]
[[Категорія:Кільця планет]]


text:
# Лоял (містечко, Вісконсин)
Лоял (англ. Loyal) — місто (англ. town) в США, в окрузі Кларк штату Вісконсин. Населення — 790 осіб (2020).

## Демографія
Згідно з переписом 2010 року, у місті мешкало 826 осіб у 239 домогосподарствах у складі 200 родин. Було 256 помешкань
Расовий склад населення:
| - 97,8 % — білих - 0,1 % — корінних американців - 2,1 % — осіб інших рас |

До двох чи більше рас належало 0,0 %. Частка іспаномовних становила 2,2 % від усіх жителів.
За віковим діапазоном населення розподілялося таким чином: 39,0 % — особи молодші 18 років, 52,2 % — особи у віці 18—64 років, 8,8 % — особи у віці 65 років та старші. Медіана віку мешканця становила 27,9 року. На 100 осіб жіночої статі у місті припадало 111,8 чоловіків;  на 100 жінок у віці від 18 років та старших — 118,2 чоловіків також старших 18 років.
Середній дохід на одне домашнє господарство  становив 84 194 долари США (медіана — 57 656), а середній дохід на одну сім'ю — 86 277 доларів (медіана — 58 281). Медіана доходів становила 36 827 доларів для чоловіків та 37 000 доларів для жінок. За межею бідності перебувало 14,8 % осіб, у тому числі 19,6 % дітей у віці до 18 років та 0,0 % осіб у віці 65 років та старших.
Цивільне працевлаштоване населення становило 336 осіб. Основні галузі зайнятості: сільське господарство, лісництво, риболовля — 30,4 %, освіта, охорона здоров'я та соціальна допомога — 18,8 %, виробництво — 17,9 %.

title: Лоял (містечко, Вісконсин)

wikitext:
{{Otherplaces|Лоял}}
{{НП
|країна  = [[Сполучені Штати Америки|США]]
|статус  = місто
|українська назва   = Лоял
|оригінальна назва  = {{lang-en|Loyal}}
|підпорядкування    =
|герб           =
|прапор         =
|ширина герба   =
|ширина прапора =
|зображення     =
|опис зображення=
|вид регіону = Штат США{{!}}Штат
|регіон      = Вісконсин
|вид району  = Округ (США){{!}}Округ
|район       = [[Кларк (округ, Вісконсин)|Кларк]]
|вид общини  =
|община      =
|внутрішній поділ  =
|перша згадка      =
|попередні назви   =
|площа              =
|висота центру НП   =
|клімат             =
|офіційна мова      =
|офіційна мова-ref  =
|населення          =
|рік перепису       =
|густота населення  =
|агломерація        =
|національний склад =
|конфесійний склад  =
|катойконім         =
|часовий пояс           =
|DST                    =
|телефонний код         =
|поштовий індекс        =
|автомобільний код      =
|вид ідентифікатора     = [[Федеральні стандарти обробки інформації|Код FIPS]]
|цифровий ідентифікатор = 5501946100
|сайт  =
|add1n =
|add1  =
}}

'''Лоял''' ({{lang-en|Loyal}}) — місто ({{lang-en|town}}) в [[Сполучені Штати Америки|США]], в окрузі [[Кларк (округ, Вісконсин)|Кларк]] штату [[Вісконсин]]. Населення — 790 осіб (2020).

== Демографія ==
{{USCensusPop
| align =  left
| 2010 = 826
| 2020 = 790
| estyear =
| estimate =
| estref =
|footnote=Десятилітній перепис в США<ref name="DecennialCensus">{{cite web|url=https://www.census.gov/prod/www/decennial.html|title=Census of Population and Housing|publisher=Census.gov|accessdate=4 червня 2016|archive-date=19 липня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180719124258/https://www.census.gov//prod/www/decennial.html}}</ref>
}}
Згідно з [[Перепис населення США (2010)|переписом 2010 року]]{{R|cen2010}}, у місті мешкало 826 осіб у 239 домогосподарствах у складі 200 родин. Було 256 помешкань

[[Раса|Расовий склад]] населення:
{| style="margin-top:-.7em; margin-bottom: -0.4em;"
|<!--Таблиця потрібна для правильного "прилягання" списку до таблиці населення за роками-->
* 97,8 % — [[Расовий склад США|білих]]
* 0,1 % — [[Корінні народи США|корінних американців]]
* 2,1 % — осіб інших рас
|}
До двох чи більше рас належало 0,0 %. Частка іспаномовних становила 2,2 % від усіх жителів.

За віковим діапазоном населення розподілялося таким чином: 39,0 % — особи молодші 18 років, 52,2 % — особи у віці 18—64 років, 8,8 % — особи у віці 65 років та старші. Медіана віку мешканця становила 27,9 року. На 100 осіб жіночої статі у місті припадало 111,8 чоловіків;  на 100 жінок у віці від 18 років та старших — 118,2 чоловіків також старших 18 років.

Середній дохід на одне домашнє господарство  становив {{formatnum:84194}} [[Долар США|долари США]] (медіана — {{formatnum:57656}}), а середній дохід на одну сім'ю — {{formatnum:86277}} доларів (медіана — {{formatnum:58281}}). Медіана доходів становила {{formatnum:36827}} доларів для чоловіків та {{formatnum:37000}} доларів для жінок.{{R|fulltime2015USD|group="Прим."}} За межею бідності перебувало 14,8 % осіб, у тому числі 19,6 % дітей у віці до 18 років та 0,0 % осіб у віці 65 років та старших.

Цивільне працевлаштоване населення становило 336 осіб. Основні галузі зайнятості: сільське господарство, лісництво, риболовля — 30,4 %, освіта, охорона здоров'я та соціальна допомога — 18,8 %, виробництво — 17,9 %.

== Примітки ==
{{reflist|group="Прим."|refs=
<ref name=fulltime2015USD>Річний дохід на особу, яка працювала на повну ставку. Оцінка в доларах 2015 року.</ref>
}}

== Джерела ==
{{Портал|США}}
{{reflist
|refs=<ref name=cen2010>{{cite web|url=https://factfinder.census.gov/faces/nav/jsf/pages/index.xhtml|publisher=[[Бюро перепису населення США]]|accessdate=16-06-2019|title=American FactFinder|archive-date=2015-01-08|archive-url=http://webarchive.loc.gov/all/20150108070337/http://factfinder.census.gov/faces/nav/jsf/pages/index.xhtml}}{{ref-en}}</ref>
}}

{{Бібліоінформація}}
{{Кларк (округ, Вісконсин)}}

[[Категорія:Містечка Вісконсину]]
[[Категорія:Населені пункти округу Кларк (Вісконсин)]]

title: Країна

Країна: США

Штат: Вісконсин

Округ: Кларк

Населення: 790 осіб (1 квітня 2020)


text:
# Хосе Чека Кальво
Хосе Чека Кальво (ісп. José Checa Calvo; нар. 2 квітня 1985) — колишній іспанський тенісист.
Найвищу одиночну позицію світового рейтингу — 230 місце досяг 7 квітня 2014, парну — 266 місце — 24 серпня 2009 року.

## Титули ITF Ф'ючерс

### Одиночний розряд: (21)
| Титули за покриттям |
| ------------------- |
| Тверде (5)          |
| Ґрунт (14)          |
| Килим (2)           |

| Ранг | Дата     | Турнір                               | Покриття | Суперник                    | Рахунок         |
| ---- | -------- | ------------------------------------ | -------- | --------------------------- | --------------- |
| 1.   | Сер 2005 | Іспанія F21, Сантандер               | Ґрунт    | Хосе Антоніо Санчес де Луна | 7–65, 4–6, 7–66 |
| 2.   | Чер 2006 | Іспанія F17, Маспаломас              | Ґрунт    | Петар Попович               | 6–4, 6–2        |
| 3.   | Чер 2008 | Іспанія F22, Тенерифе                | Килим    | Оскар Буррієса              | 2–6, 7–60, 6–4  |
| 4.   | Жов 2008 | Іспанія F39, Сабадель                | Ґрунт    | Габрієль Трухільйо Солер    | 6–1, 6–3        |
| 5.   | Лис 2008 | Іспанія F41, Вілафранка-дель-Пенедес | Ґрунт    | Андреа Арнабольді           | 4–6, 6–4, 6–0   |
| 6.   | Чер 2009 | Іспанія F19, Лансароте               | Тверде   | Роберто Баутіста Аґут       | 6–1, 6–4        |
| 7.   | Сер 2009 | Іспанія F26, Шатіва                  | Ґрунт    | Агустін Бохе-Ордонес        | 6–1, 6–4        |
| 8.   | Лис 2010 | Іспанія F39, Вілафранка-дель-Пенедес | Ґрунт    | Марко Віола                 | 2–6, 6–4, 6–1   |
| 9.   | Чер 2012 | Іспанія F16, Мартос (Хаен)           | Тверде   | Герард Гранольєрс           | 6–4, 6–3        |
| 10.  | Лип 2012 | Італія F17, Сассуоло                 | Ґрунт    | Гільєрмо Оласо              | 6–2, 6–4        |
| 11.  | Лип 2012 | Італія F19, Фано                     | Ґрунт    | Міхал Пшисєнжний            | 6–4, 6–2        |
| 12.  | Сер 2012 | Іспанія F24, Віго                    | Ґрунт    | Рікардо Родрігес            | 6–4, 3–6, 6–2   |
| 13.  | Тра 2013 | Іспанія F11, Вік (Іспанія)           | Ґрунт    | Герард Гранольєрс           | 3–6, 6–4, 6–0   |
| 14.  | Сер 2013 | Іспанія F25, Бехар                   | Тверде   | Андрес Артуньєдо            | 4–0, Ret        |
| 15.  | Вер 2013 | Іспанія F29, Ов'єдо                  | Ґрунт    | Хуан Лісарітуррі            | 6–4, 6–75, 6–2  |
| 16.  | Жов 2013 | Іспанія F33, Сабадель                | Ґрунт    | Роберто Карбальєс Баена     | 3–6, 6–0, 6–2   |
| 17.  | Лис 2013 | Іспанія F39, Тенерифе                | Килим    | Хайме Пульгар-Гарсія        | 6–3, 6–77, 6–3  |
| 18.  | Гру 2013 | Іспанія F42, Лансароте               | Тверде   | Андреа Бассо                | 6–4, 6–1        |
| 19.  | Чер 2014 | Єгипет F19, Шарм-еш-Шейх             | Ґрунт    | Ріккардо Сінікропі          | 6–1, 6–3        |
| 20.  | Кві 2015 | Іспанія F7, Алькала-де-Енарес        | Тверде   | Георгі Руменов Паяков       | 3–6, 6–4, 6–3   |
| 21.  | Сер 2015 | Іспанія F23, Шатіва                  | Ґрунт    | Жоан Татло                  | 6–4, 6–1        |

title: Хосе Чека Кальво

wikitext:
{{Тенісист
|ім'я_гравця         = Хосе Чека Кальво
 José Checa Calvo
|фото                = Jose Checa-Calvo (14726877014).jpg
|громадянство        =
|місце_проживання    =
|дата_народження     = 2 квітня 1985
|місце_народження    = [[Лас-Педроньєрас]], [[Куенка (провінція)|Куенка]], Іспанія
|дата_смерті         =
|місце_смерті        =
|зріст               = 190
|вага                =
|початок_кар'єри     =
|завершення_кар'єри  =
|робоча_рука         = права
|тренер              =
|призові_гроші       = $172,526
|одиночні_результати             =
|одиночних_титулів               =
|найвища_одиночна_позиція        = Ранг 230 (7 квітня 2014)
|поточна_одиночна_позиція        =
|результати_Australian_Open      = К1р ([[Відкритий чемпіонат Австралії з тенісу 2010, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2010]], [[Відкритий чемпіонат Австралії з тенісу 2014, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2014]])
|результати_Roland_Garros        = К1р ([[Відкритий чемпіонат Франції з тенісу 2014, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2014]])
|результати_Wimbledon            = К1р ([[Вімблдонський турнір 2007, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2007]], [[Вімблдонський турнір 2014, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2014]])
|результати_US_Open              = К1р ([[Відкритий чемпіонат США з тенісу 2009, чоловіки, одиночний розряд, кваліфікація|2009]])
|результати_на_World_Tour_Finals =
|результати_Олімпіади            =
|парні_результати                  =
|парних_титулів                    =
|найвища_парна_позиція             = Ранг 266 (24 серпня 2009)
|результати_парні_Australian_Open  =
|результати_парні_Roland_Garros    =
|результати_парні_Wimbledon        =
|результати_парні_US_Open          =
|результати_парні_Олімпіади        =
|результати_мікст_Australian_Open  =
|результати_мікст_Roland_Garros    =
|результати_мікст_Wimbledon        =
|результати_мікст_US_Open          =
|результати_мікст_Олімпіади        =
|останнє_оновлення   =
|медалі              =
}}

'''Хосе Чека Кальво''' ({{lang-es|José Checa Calvo}}; нар. 2 квітня 1985) — колишній іспанський тенісист.
Найвищу одиночну позицію світового рейтингу — 230 місце досяг 7 квітня 2014, парну — 266 місце — 24 серпня 2009 року.

== Титули ITF Ф'ючерс ==
=== Одиночний розряд: (21) ===
{|class=wikitable style=font-size:97%
!Титули за покриттям
|-
|Тверде (5)
|-
|Ґрунт (14)
|-
|Килим (2)
|}
{|class="sortable wikitable"
!Ранг
!{{Ns}}Дата{{Ns}}
!Турнір
!Покриття
!Суперник
!class="unsortable"|Рахунок
|-style="background:#cffcff;"
|1.
|Сер 2005
|Іспанія F21, [[Сантандер]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Хосе Антоніо Санчес де Луна]]
|7–65, 4–6, 7–66
|-style="background:#cffcff;"
|2.
|Чер 2006
|Іспанія F17, [[Маспаломас]]
|Ґрунт
|{{flagicon|SCG}} [[Петар Попович (тенісист)|Петар Попович]]
|6–4, 6–2
|-style="background:#cffcff;"
|3.
|Чер 2008
|Іспанія F22, [[Тенерифе]]
|Килим
|{{flagicon|ESP}} [[Оскар Буррієса]]
|2–6, 7–60, 6–4
|-style="background:#cffcff;"
|4.
|Жов 2008
|Іспанія F39, [[Сабадель]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Габрієль Трухільйо Солер]]
|6–1, 6–3
|-style="background:#cffcff;"
|5.
|Лис 2008
|Іспанія F41, [[Вілафранка-дель-Пенедес]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ITA}} [[Андреа Арнабольді]]
|4–6, 6–4, 6–0
|-style="background:#cffcff;"
|6.
|Чер 2009
|Іспанія F19, [[Лансароте]]
|Тверде
|{{flagicon|ESP}} [[Роберто Баутіста Аґут]]
|6–1, 6–4
|-style="background:#cffcff;"
|7.
|Сер 2009
|Іспанія F26, [[Шатіва]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} Агустін Бохе-Ордонес
|6–1, 6–4
|-style="background:#cffcff;"
|8.
|Лис 2010
|Іспанія F39, [[Вілафранка-дель-Пенедес]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ITA}} Марко Віола
|2–6, 6–4, 6–1
|-style="background:#cffcff;"
|9.
|Чер 2012
|Іспанія F16, [[Мартос (Хаен)]]
|Тверде
|{{flagicon|ESP}} [[Герард Гранольєрс]]
|6–4, 6–3
|-style="background:#cffcff;"
|10.
|Лип 2012
|Італія F17, [[Сассуоло]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Гільєрмо Оласо]]
|6–2, 6–4
|-style="background:#cffcff;"
|11.
|Лип 2012
|Італія F19, [[Фано]]
|Ґрунт
|{{flagicon|POL}} [[Міхал Пшисєнжний]]
|6–4, 6–2
|-style="background:#cffcff;"
|12.
|Сер 2012
|Іспанія F24, [[Віго]]
|Ґрунт
|{{flagicon|VEN}} [[Рікардо Родрігес-Пасе|Рікардо Родрігес]]
|6–4, 3–6, 6–2
|-style="background:#cffcff;"
|13.
|Тра 2013
|Іспанія F11, [[Вік (Іспанія)]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Герард Гранольєрс]]
|3–6, 6–4, 6–0
|-style="background:#cffcff;"
|14.
|Сер 2013
|Іспанія F25, [[Бехар]]
|Тверде
|{{flagicon|ESP}} [[Андрес Артуньєдо]]
|4–0, Ret
|-style="background:#cffcff;"
|15.
|Вер 2013
|Іспанія F29, [[Ов'єдо]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Хуан Лісарітуррі]]
|6–4, 6–75, 6–2
|-style="background:#cffcff;"
|16.
|Жов 2013
|Іспанія F33, [[Сабадель]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ESP}} [[Роберто Карбальєс Баена]]
|3–6, 6–0, 6–2
|-style="background:#cffcff;"
|17.
|Лис 2013
|Іспанія F39, [[Тенерифе]]
|Килим
|{{flagicon|ESP}} Хайме Пульгар-Гарсія
|6–3, 6–77, 6–3
|-style="background:#cffcff;"
|18.
|Гру 2013
|Іспанія F42, [[Лансароте]]
|Тверде
|{{flagicon|ITA}} [[Андреа Бассо]]
|6–4, 6–1
|-style="background:#cffcff;"
|19.
|Чер 2014
|Єгипет F19, [[Шарм-еш-Шейх]]
|Ґрунт
|{{flagicon|ITA}} Ріккардо Сінікропі
|6–1, 6–3
|-style="background:#cffcff;"
|20.
|Кві 2015
|Іспанія F7, [[Алькала-де-Енарес]]
|Тверде
|{{flagicon|ESP}} Георгі Руменов Паяков
|3–6, 6–4, 6–3
|-style="background:#cffcff;"
|21.
|Сер 2015
|Іспанія F23, [[Шатіва]]
|Ґрунт
|{{flagicon|FRA}} [[Жоан Татло]]
|6–4, 6–1
|}

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{ATP|c866}}
* {{ITF profile|jose-checa-calvo/800218917/esp}}

{{DEFAULTSORT:Кальво Хосе Чека}}
[[Категорія:Народились 1985]]
[[Категорія:Іспанські тенісисти]]

title: Хосе Чека Кальво · José Checa Calvo

Громадянство: Іспанія

Дата народження: 2 квітня 1985 (39 років)

Місце народження: Лас-Педроньєрас, Куенка, Іспанія

Робоча рука: права

title: Одиночний розряд

Найвища позиція: Ранг 230 (7 квітня 2014)

title: Мейджори

title: Парний розряд


text:
# Тригонометрія
Тригономе́трія (від грец. τρίγονο — трикутник та μετρειν — вимірюю, тобто буквально вимірювання трикутників) — розділ елементарної математики, що лежить на перетині алгебри та геометрії і вивчає співвідношення між сторонами й кутами трикутників, дозволяючи проводити кутові обчислення через спеціально визначені функції кутів.
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.

## Історичні відомості
Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у стародавніх єгиптян. У папірусі Ахмеса є п'ять задач, що стосуються вимірювання пірамід, у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські архітектори будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної грані до основи (52°) і кута між ребром та діагоналлю основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.
Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній Месопотамії шістдесятковій системі числення. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною астролябією.
Стародавні греки вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.
Тригонометричну функцію синус вперше запровадили стародавні індійці в «Сур'я Сіддханті». Властивості цієї функції дослідив індійський математик 5 століття Аріабхата I. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До 10 століття вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В Європу поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць аль-Баттані та Ат-Тусі. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга «De Triangulis» німецького математика 15 століття Регіомонтана. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. Миколай Коперник змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці «Про обертання небесних сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).
Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами навігації та картографії. Сам термін тригонометрія запровадив, опублікувавши в 1595 книгу під такою ж назвою, німецький математик Варфоломей Пітіск (нім. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613). Гемма Фрізій описав метод триангуляції.
Із становленням математичного аналізу тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям Брука Тейлора та Коліна Маклорена тригонометричні функції отримали представлення у вигляді рядів. Формула Муавра встановила зв'язок між тригонометричними функціями та експонентою. Леонард Ейлер розширив означення тригонометричних функцій на комплексну площину.

## Тригонометричні функції
Тригонометрія ґрунтується на співвідношенні подібності. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні прямокутні трикутники, в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс, через відношення різних сторін прямокутного трикутника.
Нехай ABC — прямокутний трикутник. C — вершина прямого кута, AB — гіпотенуза, AC і BC — катети, α — кут BAC.

### Прямі тригонометричні функції
|                                         | Формула          | Назва     | Визначення                                   |
| --------------------------------------- | ---------------- | --------- | -------------------------------------------- |
| {\displaystyle \ \sin \alpha }          | sin α =BC/AB=a/c | синус     | відношення протилежного катета до гіпотенузи |
| {\displaystyle \ \cos \;\alpha }        | cos α =AC/AB=b/c | косинус   | відношення прилеглого катета до гіпотенузи   |
| {\displaystyle \ {\text{tg}}\;\alpha }  | tg α =BC/AC=a/b  | тангенс   | відношення протилежного катета до прилеглого |
| {\displaystyle \ {\text{ctg}}\;\alpha } | ctg α =AC/BC=b/a | котангенс | відношення прилеглого катета до протилежного |
| {\displaystyle \ {\text{sec}}\;\alpha } | sec α =AB/AC=c/b | секанс    | відношення гіпотенузи до прилеглого катета   |
| {\displaystyle \ {\text{csc}}\;\alpha } | csc α =AB/BC=c/a | косеканс  | відношення гіпотенузи до протилежного катета |

Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до {\displaystyle \pi  \over 2} радіан). У XVIII столітті Леонард Ейлер дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю числову вісь. Якщо розглянути у прямокутній системі координат коло одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут {\displaystyle \theta } (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено A. Тоді:
- Синус кута {\displaystyle \theta } визначається як ордината точки A.
- Косинус — абсциса точки A.
- Тангенс — відношення синуса до косинуса.
- Котангенс — відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенса).
- Секанс — величина, обернена до косинуса.
- Косеканс — величина, обернена до синуса.

Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.
Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

#### Властивості функціїsin
1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: {\displaystyle D(y)=R}.
2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: {\displaystyle E(y)} = [−1;1].
3. Функція {\displaystyle y=\sin \left(\alpha \right)} є непарною: {\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,}.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить {\displaystyle 2\pi }: {\displaystyle \sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)}.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при {\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in Z\,}.
6. Проміжки знакосталості: {\displaystyle y>0} при {\displaystyle \left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z} і {\displaystyle y<0} при {\displaystyle \left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z}.
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: {\displaystyle (\sin \alpha )'=\cos \alpha \,}
8. Функція {\displaystyle y=\sin \alpha } зростає при {\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z}, і спадає при {\displaystyle \alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z}.
9. Функція має мінімум при {\displaystyle \alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in Z} і максимум при {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in Z}.

#### Властивості функціїcos
1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: {\displaystyle D(y)=R}.
2. Множина значень — проміжок [−1; 1]: {\displaystyle E(y)} = [−1;1].
3. Функція {\displaystyle y=\cos \left(\alpha \right)} є парною: {\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,}.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює {\displaystyle 2\pi }: {\displaystyle \cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)}.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in Z\,}.
6. Проміжки знакосталості: {\displaystyle y>0} при {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z} і {\displaystyle y<0} при {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in Z.}
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: {\displaystyle (\cos \alpha )'=-\sin \alpha \,}
8. Функція {\displaystyle y=\cos \alpha } зростає при {\displaystyle \alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,n\in Z,} і спадає при {\displaystyle \alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,n\in Z.}
9. Функція має мінімум при {\displaystyle \alpha =\pi +2\pi n\,,n\in Z} і максимум при {\displaystyle \alpha =2\pi n\,,n\in Z.}

#### Властивості функціїtg
1. Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: {\displaystyle D(y)=R}, крім чисел {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n.}
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел: {\displaystyle E(y)=R.}
3. Функція {\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)} є непарною: {\displaystyle \mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha \,}.
4. Функція є періодичною, найменший додатній період становить {\displaystyle \pi }: {\displaystyle \mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)}.
5. Графік функції перетинає вісь Ох при {\displaystyle \alpha =\pi n\,,n\in Z\,}.
6. Проміжки знакосталості: {\displaystyle y>0} при {\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z} і {\displaystyle y<0} при {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,n\in Z}.
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення: {\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}
8. Функція {\displaystyle y=\mathrm {tg} \ \alpha } зростає при {\displaystyle \alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z}.

#### Властивості функціїctg
1. Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: {\displaystyle D(y)=R,} крім чисел {\displaystyle \alpha =\pi n.}
2. Множина значень — множина всіх дійсних чисел: {\displaystyle E(y)=R.}
3. Функція {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right)} є непарною: {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(-\alpha \right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha \,.}
4. Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює {\displaystyle \pi }: {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha +\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right).}
5. Графік функції перетинає вісь Ох при {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in Z\,.}
6. Проміжки знакосталості: {\displaystyle y>0} при {\displaystyle \left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in Z} і {\displaystyle y<0} при {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in Z.}
7. Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення: {\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.}
8. Функція {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha } спадає при {\displaystyle \alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in Z.}

### Обернені тригонометричні функції
Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса арк- до назви відповідної прямої функції. Наприклад,
{\displaystyle \ \arcsin \;x} — арксинус, кут, синус якого дорівнює х;
{\displaystyle \ \arccos \;x} — арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.
{\displaystyle \ {\text{arctg}}\;x} — арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.

### Формули переходу
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\!}
Це співвідношення є наслідком теореми Піфагора й називається тригонометричною одиницею.
{\displaystyle {\text{tg}}\,x={\frac {\sin x}{\cos x}}\!}
{\displaystyle {\text{ctg}}\,x={\frac {\cos x}{\sin x}}\!}

## Основні теореми тригонометрії
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: теореми синусів, теореми косинусів й теореми тангенсів.

### Теорема синусів
Теорема синусів стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами {\displaystyle a,b,c} і відповідними протилежними до них кутами {\displaystyle A,B,C} можна записати:
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
де {\displaystyle R} — радіус описаного кола навколо трикутника.
{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}

### Теорема косинусів
За теоремою косинусів, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами {\displaystyle a,b,c} і кутом {\displaystyle C}, між сторонами {\displaystyle a,b}:
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}
або:
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,}
Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

### Теорема тангенсів
Теорема тангенсів — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\mathop {\operatorname {tg} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}

### Площа трикутника
Площа трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.\,}

## Найпростіші тригонометричні рівняння
Рівняння, в яких фігурують тригонометричні функції, називають тригонометричними. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin x=a&(|a|\leq 1)&x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n\\\cos x=a&(|a|\leq 1)&x=\pm \arccos a+2\pi n\\{\text{tg}}\,x=a&&x={\text{arctg}}\,a+\pi n\\{\text{ctg}}\,x=a&&x={\text{arcctg}}\,a+\pi n,n\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}}

## Формули перетворення тригонометричних виразів
Синус та косинус суми/різниці
{\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\!}
{\displaystyle \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\!}
{\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\!}
{\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\!}
Сума/різниця синусів та косинусів
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\!}
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\sin {\frac {x-y}{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}\!}
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\!}
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\!}

## Формула Ейлера
Формула Ейлера — співвідношення, що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Названа на честь Леонарда Ейлера, який її запропонував.
Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа {\displaystyle x} виконується рівність:
{\displaystyle ~e^{ix}=\cos x+i\sin x},
де {\displaystyle e} — основа натурального логарифма,
{\displaystyle i} — уявна одиниця.
Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненціальної функції:
{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},}
{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}
Наведені рівняння можуть бути отримані додаванням або відніманням формул Ейлера:
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;,}
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;.}
з подальшим розв'язанням відносно синуса або косинуса.
Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:
{\displaystyle \cos iy={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\operatorname {ch} y,}
{\displaystyle \sin iy={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\operatorname {sh} y.}
Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

## Сферична тригонометрія
Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.
Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.
Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {a}{R}}}{\sin A}}={\frac {\sin {\frac {b}{R}}}{\sin B}}={\frac {\sin {\frac {c}{R}}}{\sin C}};}
{\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\sin {\frac {b}{R}}\cos C;}
{\displaystyle \cos {\frac {a}{R}}={\frac {\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C}}.}
де {\displaystyle a,b,c} — сторони сферичного трикутника; {\displaystyle A,B,C} — кути, протилежні до цих сторін; {\displaystyle R} — радіус сфери.
Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

## Застосування
Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як теорія музики, акустика, оптика, аналіз фінансових ринків, електроніка, теорія ймовірностей, статистика, біологія, медицина (включаючи ультразвукове дослідження (УЗД) і комп'ютерну томографію), фармацевтика, хімія, теорія чисел (і, як наслідок, криптографія), сейсмологія, метеорологія, океанологія, картографія, фізика, топографія та геодезія, архітектура, фонетика, економіка, електронна техніка, машинобудування, комп'ютерна графіка, кристалографія.

title: Тригонометрія

wikitext:
'''Тригономе́трія''' (від {{lang-el|τρίγονο}} — трикутник та ''μετρειν'' — вимірюю, тобто буквально ''вимірювання трикутників'') — розділ [[елементарна математика|елементарної математики]], що лежить на перетині [[алгебра|алгебри]] та [[геометрія|геометрії]] і вивчає співвідношення між сторонами й [[кут]]ами [[трикутник]]ів, дозволяючи проводити кутові [[обчислення]] через спеціально визначені [[Функція (математика)|функції]] [[кут]]ів.

Визначені для [[прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] [[тригонометричні функції]] є основним інструментом тригонометрії, що значно полегшує обчислення, оскільки ці функції дозволяють замінити геометричні побудови алгебраїчними операціями.
[[Файл:Fotothek_df_tg_0004503_Geometrie_^_Trigonometrie.jpg|thumb|320px|Титульна сторінка «Тригонометрії» (перевидання 1612 року) В. Пітіска, що дала назву однойменному розділу математики]]

== Історичні відомості ==
{{main|Історія тригонометрії}}
Деякі відомості з науки, що пізніше одержала назву «тригонометрія», були ще у [[Стародавній Єгипет|стародавніх єгиптян]]<ref>''К. І. Швецов, Г. П. Бевз'' Довідник з елементарної математики, 1967, К.: Наукова думка. — C. 250—252.</ref>. У [[папірус Ахмеса|папірусі Ахмеса]] є п'ять задач, що стосуються вимірювання [[піраміда (споруда)|пірамід]], у яких згадується якась функція кута — «сект». Є думка, що «сект» відповідає котангенсу кута. Застосування цієї функції мало суто практичну причину: єгипетські [[архітектор]]и будували піраміди, строго дотримуючись одного й того самого значення кута нахилу бічної [[грань (геометрія)|грані]] до [[основа (геометрія)|основи]] (52°) і кута між [[ребро (геометрія)|ребром]] та [[діагональ|діагоналлю]] основи (42°). А для цього треба було знати відповідні відношення між лінійними елементами чотирикутної піраміди.

Вавилоняни так само мали деякі знання з цієї галузі математики: вони запровадили поділ кола на 360° та поділ градуса на 60 частин, що відповідало прийнятій у стародавній [[Месопотамія|Месопотамії]] [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковій системі числення]]. Для вимірювання кутів вавилоняни користувалися примітивною [[астролябія|астролябією]].

[[Стародавні греки]] вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.

Тригонометричну функцію [[синус]] вперше запровадили стародавні індійці в ''«[[Сур'я Сіддханті]]»''. Властивості цієї функції дослідив індійський математик [[5 століття]] [[Аріабхата I]]<ref>{{cite book |first=''Carl B.'' |last=''Boyer'' |authorlink=Карл Боєр |title=A History of Mathematics |edition=Second Edition |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/215 215] |isbn=0471543977 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/215 }}
</ref>. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До [[10 століття]] вони оперували всіма тригонометричними функціями і протабулювали їх. В [[Європа|Європу]] поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць [[аль-Баттані]] та [[Ат-Тусі]]. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга ''«De Triangulis»'' німецького математика [[15 століття]] [[Регіомонтан]]а. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. [[Миколай Коперник]] змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці ''«[[Про обертання небесних сфер]]»'' ({{lang-la|«De revolutionibus orbium coelestium»}}).

Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами [[навігація|навігації]] та [[картографія|картографії]]<ref>{{cite book | last = ''Grattan-Guinness'' | first = ''Ivor'' | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | url = https://archive.org/details/rainbowofmathema0000grat | publisher = W.W. Norton | isbn = 0-393-32030-8}}</ref>. Сам термін ''тригонометрія'' запровадив, опублікувавши в [[1595]] книгу під такою ж назвою, німецький математик [[Варфоломей Пітіск]] ({{lang-de|Bartholomäus Pitiscus}}, 1561—1613)<ref>{{Cite web |url=http://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153&vq=pitiscus&sig=iUWyiMp6dVhUH74BC8LFt9id1JE |title=Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries |accessdate=23 березня 2011 |archive-date=1 січня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140101045432/http://books.google.com/books?id=MTXdplfiz-cC&pg=PA153&vq=pitiscus&sig=iUWyiMp6dVhUH74BC8LFt9id1JE }}</ref>. [[Гемма Фрізій]] описав метод [[Тріангуляція (геометрія)|триангуляції]].

Із становленням [[математичний аналіз|математичного аналізу]] тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям [[Брук Тейлор|Брука Тейлора]] та [[Колін Маклорен|Коліна Маклорена]] тригонометричні функції отримали представлення у вигляді [[ряд Тейлора|рядів]]<ref>''William Bragg Ewald'' (2008).[http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140101064055/http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false|date=1 січня 2014}}. [[Oxford University Press|Oxford University Press US]]. p.93. ISBN 0-19-850535-3</ref>. [[Формула Муавра]] встановила зв'язок між тригонометричними функціями та [[Показникова функція|експонентою]]. [[Леонард Ейлер]] розширив означення тригонометричних функцій на [[комплексна площина|комплексну площину]].

== Тригонометричні функції ==
[[Файл:Rtriangle.svg|міні|160px|праворуч|Прямокутний [[трикутник]]]]
Тригонометрія ґрунтується на [[Подібність (геометрія)|співвідношенні подібності]]. Трикутники з двома рівними кутами подібні, тому подібні [[прямокутний трикутник|прямокутні трикутники]], в яких рівний один гострий кут. Відношення довжин сторін у подібних трикутників однакове, тому відношення сторін прямокутних трикутників залежить тільки від одного параметра — величини гострого кута. Ця обставина дозволяє означити тригонометричні функції: [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] і [[косеканс]], через відношення різних сторін прямокутного трикутника.

Нехай ABC — [[прямокутний трикутник]]. C — вершина [[прямий кут|прямого кута]], AB — [[гіпотенуза]], AC і BC — [[катет]]и, α — кут BAC.

=== Прямі тригонометричні функції ===
{{main|Тригонометричні функції}}

{| class="wikitable"
! !! Формула !! Назва !! Визначення
|-
! <math>\ \sin \alpha</math>
| sin α =BC/AB=a/c || [[синус]] || [[відношення]] протилежного [[катет]]а до [[гіпотенуза|гіпотенузи]]
|-
! <math>\ \cos\; \alpha</math>
| cos α =AC/AB=b/c || [[косинус]] || відношення прилеглого катета до гіпотенузи
|-
! <math>\ \text{tg}\; \alpha </math>
| tg α =BC/AC=a/b || [[тангенс]] || відношення протилежного катета до прилеглого
|-
! <math>\ \text{ctg}\; \alpha</math>
| ctg α =AC/BC=b/a || [[котангенс]] || відношення прилеглого катета до протилежного
|-
! <math>\ \text{sec}\; \alpha</math>
| sec α =AB/AC=c/b || [[секанс]] || відношення гіпотенузи до прилеглого катета
|-
! <math>\ \text{csc}\; \alpha</math>
| csc α =AB/BC=c/a || [[косеканс]] || відношення гіпотенузи до протилежного катета
|}

[[Файл:Circle-trig7.svg|thumb|300px|Тригонометричні функції кута θ всередині одиничного кола]]
Наведені у таблиці визначення дозволяють обчислити значення функцій для гострих кутів, тобто від 0° до 90° (від 0 до <math>\pi \over 2</math> радіан). У XVIII столітті [[Леонард Ейлер]] дав сучасні, загальніші визначення, розширивши область визначення цих функцій на всю [[числова вісь|числову вісь]]. Якщо розглянути у [[Прямокутна система координат|прямокутній системі координат]] [[коло]] одиничного радіуса (див. малюнок) і відкласти від горизонтальної осі кут <math>\theta</math> (додатня величина кута відкладається проти годинникової стрілки, у протилежному випадку — за годинниковою стрілкою). Точку перетину побудованої сторони кута з колом позначено ''A''. Тоді:
* [[Синус]] кута <math>\theta</math> визначається як [[ордината]] точки ''A''.
* [[Косинус]] — [[абсциса]] точки ''A''.
* [[Тангенс]] — відношення синуса до косинуса.
* [[Котангенс]] — відношення косинуса до синуса (тобто величина, обернена до тангенса).
* [[Секанс]] — величина, обернена до косинуса.
* [[Косеканс]] — величина, обернена до синуса.
Для гострих кутів нові визначення збігаються з попередніми.

Можливим є також чисто аналітичне визначення цих функцій, що не пов'язане з геометрією і представляє кожну функцію її розкладанням у нескінчений ряд.

==== Властивості функції ''sin'' ====
[[Файл:Bekesii Sinx.jpeg|thumb|right|150px|Синус (''sin'')]]
# Область визначення функції — [[множина]] усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>.
# Множина значень — проміжок [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
# Функція <math> y = \sin \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період становить <math>2\pi</math>: <math> \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) </math>.
# [[Графік функції]] перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math>y > 0</math> при <math> \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: <math>( \sin \alpha )' = \cos \alpha \,</math>
# Функція <math> y = \sin \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>, і спадає при <math> \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція має мінімум при <math> \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z </math> і максимум при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in Z </math>.

==== Властивості функції ''cos'' ====
[[Файл:Bekesii Cosx.jpeg|thumb|right|150px|Косинус (''cos'')]]
# Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>.
# Множина значень — проміжок [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
# Функція <math> y = \cos \left( \alpha \right) </math> є парною: <math> \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює <math>2\pi</math>: <math> \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) </math>.
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math>y > 0</math> при <math> \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу: <math>( \cos \alpha )' = -\sin \alpha \,</math>
# Функція <math> y = \cos \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in Z ,</math> і спадає при <math> \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція має мінімум при <math> \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in Z </math> і максимум при <math> \alpha = 2\pi n \,, n \in Z .</math>

==== Властивості функції ''tg'' ====
[[Файл:Graf tangens.png|thumb|right|150px|Тангенс (''tg'')]]
# Область визначення функції — множина усіх дійсних чисел: <math>D(y) = R</math>, крім чисел <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n . </math>
# Множина значень — множина всіх дійсних чисел: <math> E(y) = R . </math>
# Функція <math> y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \mathrm{tg} \left( - \alpha \right)  =  - \mathrm{tg}\ \alpha \,</math>.
# Функція є періодичною, найменший додатній період становить <math>\pi</math>: <math> \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math>.
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in Z \,</math>.
# Проміжки знакосталості: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in Z </math>.
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргумента з області визначення: <math>( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},</math>
# Функція <math> y = \mathrm{tg}\ \alpha </math> зростає при <math> \alpha \in  \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math>.

==== Властивості функції ''ctg'' ====
[[Файл:Graf kotangens.png|thumb|right|150px|Котангенс (''ctg'')]]
# Область визначення функції — множина всіх дійсних чисел: <math>D(y) = R,</math> крім чисел <math> \alpha = \pi n .</math>
# Множина значень — множина всіх дійсних чисел: <math> E(y) = R .</math>
# Функція <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) </math> є непарною: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( - \alpha \right)  =  - \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.</math>
# Функція є періодичною, найменший додатній період дорівнює <math>\pi</math>: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .</math>
# Графік функції перетинає вісь '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in Z \,.</math>
# Проміжки знакосталості: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in Z </math> і <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .</math>
# Функція є нерозривною і має похідну при будь-якому значенні аргументу з області визначення: <math>( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.</math>
# Функція <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha </math> спадає при <math> \alpha \in  \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in Z .</math>

=== Обернені тригонометричні функції ===
{{main|Обернені тригонометричні функції}}

Для кожної прямої тригонометричної функції існує обернена. Назви оберенних функцій утворюються додаванням префікса ''арк-'' до назви відповідної прямої функції. Наприклад,
: <math>\ \arcsin\; x</math> — арксинус, кут, синус якого дорівнює х;
: <math>\ \arccos\; x</math> — арккосинус, кут, косинус якого дорівнює х.
: <math>\ \text{arctg}\; x</math> — арктангенс, кут, тангенс якого дорівнює х.

=== Формули переходу ===
: <math>\sin^2x+\cos^2x=1\!</math>

Це співвідношення є наслідком [[теорема Піфагора|теореми Піфагора]] й називається [[тригонометрична одиниця|тригонометричною одиницею]].

: <math>\text{tg}\,x=\frac{\sin x} {\cos x}\!</math>
: <math>\text{ctg}\,x=\frac{\cos x} {\sin x}\!</math>

== Основні теореми тригонометрії ==
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: [[теорема синусів|теореми синусів]], [[теорема косинусів|теореми косинусів]] й [[теорема тангенсів|теореми тангенсів]].

=== Теорема синусів ===
''[[Теорема синусів]]'' стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і відповідними протилежними до них кутами <math>A, B, C</math> можна записати:
: <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
де <math>R</math> — радіус [[описане коло|описаного кола]] навколо трикутника.
: <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>

=== Теорема косинусів ===
За ''[[теорема косинусів|теоремою косинусів]]'', квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і кутом <math>C</math>, між сторонами <math>a, b</math>:
: <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
або:
: <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,</math>
Теорема косинусів дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.

=== Теорема тангенсів ===
''[[Теорема тангенсів]]'' — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>

=== Площа трикутника ===
[[Площа]] трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними:
: <math>A = \frac{1}{2}ab\sin C .\,</math>

== Найпростіші тригонометричні рівняння ==
{{Див. також|Тригонометричне рівняння}}
[[Рівняння]], в яких фігурують тригонометричні функції, називають ''[[Тригонометричне рівняння|тригонометричними]]''. Найпростіші з них мають аналітичні розв'язки, завдяки існуванню обернених тригонометричних функцій. Оскільки тригонометричні функції періодичні, такі розв'язки не єдині, а визначаються з точністю до періоду.

: <math>\begin{matrix}
\sin x=a & (|a|\le1) & x=(-1)^n \arcsin a + \pi n \\
\cos x=a & (|a|\le1)& x=\pm \arccos a + 2 \pi n \\
\text{tg}\, x=a & & x=\text{arctg}\, a + \pi n \\
\text{ctg}\, x=a & & x=\text{arcctg}\, a + \pi n, n \in \Z \\
\end{matrix}</math>

== Формули перетворення тригонометричних виразів ==
{{main|Список тригонометричних тотожностей}}

Синус та косинус суми/різниці
: <math>\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y \!</math>
: <math>\sin(x-y)=\sin x \cos y - \cos x \sin y \!</math>
: <math>\cos(x+y)=\cos x \cos y - \sin x \sin y \!</math>
: <math>\cos(x-y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y \!</math>

Сума/різниця синусів та косинусів
: <math>\sin x + \sin y = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \!</math>
: <math>\sin x - \sin y = 2 \sin{\frac{x-y}{2}} \cos{\frac{x+y}{2}} \!</math>
: <math>\cos x + \cos y = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} \!</math>
: <math>\cos x - \cos y =-2 \sin{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} \!</math>

== Формула Ейлера ==
{{Main|Формула Ейлера}}
''Формула Ейлера'' — співвідношення, що пов'язує [[комплексні числа|комплексну]] [[Показникова функція|експоненту]] з [[тригонометричні функції|тригонометричними функціями]]. Названа на честь [[Леонард Ейлер|Леонарда Ейлера]], який її запропонував.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого [[дійсне число|дійсного числа]] <math>x</math> виконується рівність:
: <math>~e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>,
де <math>e</math> — [[E (число)|основа натурального логарифма]],
: <math>i</math> — [[уявна одиниця]].

Формула Ейлера надає зв'язок між [[математичний аналіз|математичним аналізом]] й тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як [[Вагова функція|зважені суми]] експоненціальної функції:

: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2},</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>

Наведені рівняння можуть бути отримані додаванням або відніманням формул Ейлера:

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;,</math>

: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;.</math>

з подальшим розв'язанням відносно синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексною змінною. Наприклад, виконуючи підстановку {{math|''x'' {{=}} ''iy''}}, отримуємо:

: <math> \cos iy =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \operatorname{ch} y ,</math>

: <math> \sin iy =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\operatorname{sh} y. </math>

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вирази. Після спрощення результат виразу залишається дійсним. Суть другого підходу у представленні синусоїд як дійсних частин комплексного виразу і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним виразом.

== Сферична тригонометрія ==
{{Main|Сферична тригонометрія}}
''Сферична тригонометрія'' — розділ [[сферична геометрія|сферичної геометрії]] головними об'єктами якого є [[многокутник]]и (особливо [[трикутник]]и) на [[сфера|сфері]] та співвідношення між сторонами і кутами. Виникнення сферичної геометрії пов'язане з задачами сферичної астрономії.

Основними елементами сферичної геометрії є точки та великі кола сфери. Великі кола є геодезичними лініями сфери, тому вони в сферичній геометрії відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Віддаль між двома точками в сферичній геометрії вимірюється кутом між радіусами сфери, проведеними в ці точки. Кут між двома «прямими» дорівнює двогранному кутові між площинами великих кіл, які визначають ці «прямі». Дві будь-які «прямі» в сферичній геометрії перетинаються у двох точках і розбивають поверхню сфери на 4 двокутники. Три «прямі», перетинаючись попарно, утворюють 8 сферичних трикутників. Ці трикутники мають багато незвичайних властивостей, які відрізняють їх від плоских трикутників. Наприклад, сума кутів сферичного трикутника завжди більша за 180° і менша за 540°.

Сторони і кути сферичного трикутника пов'язані залежностями:
: <math>\frac{\sin\frac{a}{R}}{\sin A}=\frac{\sin\frac{b}{R}}{\sin B}=\frac{\sin\frac{c}{R}}{\sin C};</math>
: <math>\cos\frac{c}{R}=\cos\frac{a}{R}\cos\frac{b}{R}+\sin\frac{a}{R}\sin\frac{b}{R}\cos C;</math>
: <math>\cos\frac{a}{R}=\frac{\cos A + \cos B\cos C}{\sin B\sin C}.</math>
де <math>a, b, c</math> — сторони сферичного трикутника; <math>A, B, C</math> — кути, протилежні до цих сторін; <math>R</math> — [[радіус]] сфери.

Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні Землі.

== Застосування ==
Тригонометричні обчислення застосовуються практично у всіх областях геометрії, фізики й інженерної справи. Велике значення має техніка тріангуляції, що дозволяє вимірювати відстані до недалеких зірок в астрономії, між орієнтирами в географії, контролювати системи навігації супутників. Також слід відзначити застосування тригонометрії в таких областях, як [[теорія музики]], [[акустика]], [[оптика]], [[Фундаментальний аналіз|аналіз фінансових ринків]], [[електроніка]], [[теорія ймовірностей]], [[статистика]], [[біологія]], [[медицина]] (включаючи [[Медична акустика|ультразвукове дослідження]] (УЗД) і [[Комп'ютерна томографія|комп'ютерну томографію]]), [[фармацевтика]], [[хімія]], [[теорія чисел]] (і, як наслідок, [[криптографія]]), [[сейсмологія]], [[метеорологія]], [[океанологія]], [[картографія]], [[фізика]], [[топографія]] та [[геодезія]], [[архітектура]], [[фонетика]], [[економіка]], [[Електроніка|електронна техніка]], [[машинобудування]], [[комп'ютерна графіка]], [[кристалографія]].

== Див. також ==
{{commonscat|Trigonometry}}
* [[Таблиця інтегралів тригонометричних функцій]]
* [[Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій]]
* [[Список тригонометричних тотожностей]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Барановська Г. Г., Ясінський В. В.'' Тригонометрія. Індивідуальна атестаційна робота № 2.—К.: НТУУ «КПІ», 2001.— 108 с. — (Серія «На допомогу абітурієнту»)
* ''Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М.'' Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. — К.:Освіта, 2000. — 318 с.
* ''Шкіль М. І., Слєпкань З. І., [[Дубинчук Олена Степанівна|Дубинчук О. С.]]'' Алгебра і початки аналізу: Підруч. Для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — 2-ге вид. — Зодіак-ЕКО, 2001. — 656 с.
* ''Швецов К. І., Бевз Г. П.'' Довідник з елементарної математики. — 1967, К.: Наукова думка. — 656 с.
* ''Андронов И. К., Окунев А. К.'' Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
* ''Волынский Б. А.'' Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
* ''Корн Г., Корн Т.'' Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53410/22266.html Тригонометрія]}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/trig Динамічні математичні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220401134416/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Ftrig |date=1 квітня 2022 }}
* ''David Joyce'' [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's Short Course in Trigonometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080615133310/http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ |date=15 червня 2008 }} ({{li|Університет Кларка|Q=Q1095773}}) {{ref-en}}
* ''Michael Corral'' [https://www.mecmath.net/trig/ Trigonometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130729114530/http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf |date=29 липня 2013 }} (поширюється на умовах [[GNU Free Documentation License]]) {{ref-en}}
{{Бібліоінформація}}
{{Математика-footer}}

[[Категорія:Тригонометрія| ]]


text:
# Жешувек (Нижньосілезьке воєводство)
Жешувек (пол. Rzeszówek, нім. Reichwaldau) — село в Польщі, у гміні Свежава Злоторийського повіту Нижньосілезького воєводства.
Населення — 231 особа (2011).
У 1975-1998 роках село належало до Єленьоґурського воєводства.

## Демографія
Демографічна структура станом на 31 березня 2011 року:
|          | Загалом | Допрацездатний вік | Працездатний вік | Постпрацездатний вік |
| -------- | ------- | ------------------ | ---------------- | -------------------- |
| Чоловіки | 122     | 28                 | 84               | 10                   |
| Жінки    | 109     | 19                 | 71               | 19                   |
| Разом    | 231     | 47                 | 155              | 29                   |

title: Жешувек (Нижньосілезьке воєводство)

wikitext:
{{НП
|країна             = [[Польща]]
|статус             = село
|українська назва   = Жешувек
|оригінальна назва  = {{lang-pl|Rzeszówek}}
|підпорядкування    =
|герб           =
|прапор         =
|ширина герба   =
|ширина прапора =
|зображення     = Rzeszówek domy.jpg
|опис зображення    =
|вид регіону = Воєводство
|регіон      = Нижньосілезьке воєводство
|вид району  = Повіт
|район       = [[Злоторийський повіт]]
|вид общини  = Гміна
|община      = Свежава (гміна){{!}}Свежава
|внутрішній поділ   =
|перша згадка       =
|попередні назви    =
|площа              =
|висота центру НП     =
|клімат               =
|офіційна мова      =
|офіційна мова-ref  =
|населення          = 231
|рік перепису       = 2011{{R|nsp}}
|густота населення  =
|агломерація        =
|національний склад =
|конфесійний склад  =
|катойконім         =
|часовий пояс           = +1
|DST                    = +1 <!--Якщо є [[літній час]] -->
|телефонний код         = (+48) 75
|поштовий індекс        =
|автомобільний код      = DZL
|вид ідентифікатора     = [[SIMC]]
|цифровий ідентифікатор = 0192815
|сайт  =
|add1n =
|add1  =
}}
{{Otheruses|Жешувек}}

'''Жешувек''' ({{lang-pl|Rzeszówek}}, {{lang-de|Reichwaldau}}) — село в Польщі, у [[Свежава (гміна)|гміні Свежава]] [[Злоторийський повіт|Злоторийського повіту]] [[Нижньосілезьке воєводство|Нижньосілезького воєводства]].
Населення — {{formatnum:231}} {{МНОЖИНА:231|особа|особи|осіб}} (2011{{R|nsp}}).

[[Адміністративний поділ Польщі (1975–1998)|У 1975-1998 роках]] село належало до [[Єленьоґурське воєводство|Єленьоґурського воєводства]].

== Демографія ==
Демографічна структура станом на 31 березня 2011 року{{R|nsp|age}}:
{{ПолДемСтруктура
|Чол=122 |ЧолПре=28 |ЧолПрац=84 |ЧолПост=10
|Жін=109 |ЖінПре=19 |ЖінПрац=71 |ЖінПост=19
|Разом=231 |РазомПре=47 |РазомПрац=155 |РазомПост=29
}}

== Примітки ==
{{reflist|refs=<ref name=nsp>{{cite web |url={{Pl-census2011-econ-groups-url}}
 |title=Ludność w miejscowościach statystycznych według ekonomicznych grup wieku. Stan w dniu 31.03.2011 r.
 |trans-title=Населення статистичних місцевостей за економічними групами віку. Стан на 31.03.2011
 |author=[[Центральний статистичний офіс Польщі|GUS]] |date= |accessdate=12 серпня 2018}}</ref>
<ref name=age>Згідно з методологією GUS працездатний вік для чоловіків становить 18-64 років, для жінок — 18-59 років {{cite web
 |url=http://stat.gov.pl/metainformacje/slownik-pojec/pojecia-stosowane-w-statystyce-publicznej/861,pojecie.html
 |title=Pojęcia stosowane w statystyce publicznej
 |trans-title=Терміни, які використовуються в публічній статистиці
 |author=[[Центральний статистичний офіс Польщі|GUS]]
 |date=
 |accessdate=14 серпня 2018
 |archive-date=20 вересня 2018
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180920122727/http://stat.gov.pl/metainformacje/slownik-pojec/pojecia-stosowane-w-statystyce-publicznej/861,pojecie.html
 }}</ref>}}.
{{Портал|Польща}}

{{Гміна Свежава}}

[[Категорія:Села Злоторийського повіту]]

title: Країна

Країна: Польща

Воєводство: Нижньосілезьке воєводство

Повіт: Злоторийський повіт

Гміна: Свежава

Часовий пояс: UTC+1, влітку UTC+2

Автомобільний код: DZL

OSM: ↑3047125 ·R (Ґміна Швежава)


text:
# Ганиська (станція)
Ганиська, або Ганиська при Кошицях (словац. Haniska pri Košiciach) — проміжна вантажно-пасажирська станція на лінії № 160 між Зволеном і Кошицями в Словаччині. Розташована поблизу села Ганиськ  на відстані 6 кілометрів від станції Барца , яка розташована в Кошицях та 4 км від станції Гутніки.
12 жовтня 1896 року була введена в експлуатацію дільниця між станціями Барца та Турня-над-Бодвоу.
Від Кошиць підходять дві колії 1435 мм під напругою 3 кВ постійного струму. Далі до Зволена лінія одноколійна, неелектрифікована. Станційний парк стандартної колії налічує 10 колій. Окремо існує грузовий парк. Рух пасажирських та приміських потягів існує тільки на європейській лінії.
Станція є кінцевою ширококолійної залізниці з Ужгорода, яка також електрифікована з напругою 3 кВ постійного струму. Станційний парк широкої колії налічує 7 колій.
Від станцій відходять під'їзні колії (як стандартної, так і широкої) до металургійного комбінату U.S. Steel Košice та деяких інших логістичних компаній. В основному станція обслуговує металургійний комбінат. Зі сходу, з України, сюди доставляють залізну руду, а з заходу, з Острави — вугілля. Також збільшується транспортування контейнерів по широкій магістралі.
Станція має локомотивне депо для локомотивів обох колій та вагоноремонтну майстерню.

title: Ганиська (станція)

wikitext:
{{Залізнична станція
|тип             = станція
|Font-Color      = ≈
|Color           =
|Name            = Ганиська
Haniska pri Košiciach
|Line            =
|Railway         = {{Країна з прапорцем|SVK}}
[[Залізниці Словацької республіки]]
|Department      = 160 [[Залізниця Зволен — Кошиці|Зволен — Кошиці]]
 [[Ширококолійна залізниця Ужгород — Ганиська|Ужгород — Ганіска]]|населений_пункт = [[Ганиська (округ Кошиці-околиця)|Ганиська]]
|Image           = Example.jpg
 |lat_dir = |lat_deg = |lat_min = |lat_sec =
 |lon_dir = |lon_deg = |lon_min = |lon_sec =
 |region          =
 |CoordScale      =
|карта розташування =
|Date            =
|Year            =
|ProjectName     =
|OldName         =
|NameProjects    =
|Type            = вантажно-пасажирська
|Arhitector      =
|Enginer         =
|NumberOfPlatforms = 3
|NumberOfTracks  = 17 (1435 мм)
 7 (1520 мм)
|PlatformType    = 2 острівних і 1 бокова
|PlatformForm    = пряма
|PlatformLength  =
|PlatformWidth   =
|Builder         =
|Street          =
|TransTo         =
|TransTo1        =
|DistanceKiev    =
|Distance        =
|Center          =
|Distance2       =
|Center2         =
|Distance3       =
|Center3         =
|Tariff          =
|Code            =
|ЄМР             =
|CodeExpress     =
|Commons         =
|services        =
|services1       =
}}
{{Також|Ганіска}}
'''Ганиська''', або '''Ганиська при Кошицях''' ({{lang-sk|Haniska pri Košiciach}}) — проміжна вантажно-пасажирська станція на лінії № 160 між [[Зволен|Зволеном]] і [[Кошиці|Кошицями]] в [[Словаччина|Словаччині]]. Розташована поблизу села [[Ганиська|Ганиськ ]] на відстані 6 кілометрів від станції [[Кошиці IV (округ)|Барца ]], яка розташована в Кошицях та 4 км від станції [[Гутніки (станція)|Гутніки]].

12 жовтня 1896 року була введена в експлуатацію дільниця між станціями Барца та [[Турня-над-Бодвоу]].
Від Кошиць підходять дві колії 1435 мм під напругою 3 кВ [[Постійний струм|постійного струму]]. Далі до Зволена лінія одноколійна, неелектрифікована. Станційний парк стандартної колії налічує 10 колій. Окремо існує грузовий парк. Рух пасажирських та приміських потягів існує тільки на європейській лінії.

Станція є кінцевою [[Ширококолійна залізниця Ужгород — Ганиська|ширококолійної залізниці]] з [[Ужгород]]а, яка також електрифікована з напругою 3 кВ постійного струму. Станційний парк широкої колії налічує 7 колій.

Від станцій відходять під'їзні колії (як стандартної, так і широкої) до металургійного комбінату [[U.S. Steel Košice]] та деяких інших логістичних компаній. В основному станція обслуговує металургійний комбінат. Зі сходу, з України, сюди доставляють залізну руду, а з заходу, з [[Острава|Острави]] — вугілля. Також збільшується транспортування контейнерів по широкій магістралі.

Станція має локомотивне депо для локомотивів обох колій та вагоноремонтну майстерню.

{{Залізнична лінія №160 Зволен — Кошиці}}
{{Залізниця Ужгород — Ганиська}}

{{Портали|Залізниця}}

[[Категорія:Залізничні станції Словаччини]]
[[Категорія:Округ Кошиці-околиця]]

title: Станція Ганиська · Haniska pri Košiciach Словаччина · Залізниці Словацької республіки · 160 Зволен — Кошиці · Ужгород — Ганіска · Ганиська

Тип: вантажно-пасажирська

Тип платформ(и): 2 острівних і 1 бокова

Форма платформи: пряма

title: Залізниця Зволен — Кошиці

лінія до Нове Замки

215,820 · Зволен-Пасажирський

лінія до Чата

лінія до Врутки

213,984 · Зволен Вантажна станція

212,511 · Зволен Бучіна

211,800 · Зволен Схід

Автошлях I/50

209,500 · Блокпост Лєсковец

206,750 · роз. Слатінка

204,978 · Зволенска Слатіна

203,114 · Вигляш

200,774 · роз. Пструша

198,775 · Блокпост Мост

196,983 · Стожок

193,329 · Блокпост Детва

190,311 · Кривань

Криваньскі · (321 m)

188,015 · Подкривань

Пиланскі · (121 m)

182,300 · Блокпост Пила

175,965 · Ловінобаня

174,537 · Ловінобаня

171,138 · роз. Подречани

166,514 · Томашовце

161,755 · Лученець

лінія до Утекач

лінія до Вельки Кртіш

Автошлях I/75

Автошлях I/71

155,533 · роз. Голіша

154,978 · Голіша

151,239 · роз. Прша

147,148 · Філяково зупинка

146,309 · Філяково

| 145,442 | | 93,725 | · лінія до Шомошкюйфалу

90,270 · роз. Урбанка

85,920 · Чамовце

81,905 · Гайначка

75,422 · Блговце

72,221 · Годейов

69,732 · роз. Лука

68,583 · Ґортва

65,968 · Єсенске

лінія до Брезно

59,689 · роз. Віногради

58,948 · Дубовець

55,905 · Оравка

53,672 · Рімавска Сеч

51,238 · роз. Лучна

49,703 · Чіж Курорт

45,885 · Ленартовце

| 45,666 | | 0,000 | · лінія до Мішкольца

2,710 · Абовце

4,984 · Рієчка

4,989 · Автощлях I/67

7,079 · роз. Штрковец

11,025 · Вчелінце

14,658 · Торналя

18,360 · Гемер

21,462 · Ґемерска Паніца

23,173 · роз. Чолтово

25,300 · Богуново

28,296 · Ґемерска Гуорка

лінія до Мурань

лінія до Славошовце

31,213 · Плешівец

33,560 · Відова

36,613 · Славец яскиня

40,180 · роз. Брзотін

41,729 · Слана

лінія до Добшина

64,200 · Йовиці

63,375 · Блокпост Красногорске Подградіє

59,910 · Ліповнік

Яблоновський тунель

55,000 · роз. Тунель

51,653 · Яблонов-над-Турньоу

45,300 · Гргов

40,320 · роз. Дворники-Вчеларе

40,012 · Дворники-Вчеларе

лінія до Мішкольца

35,930 · Турня-над-Бодвоу

31,329 · Дрєновець

30,897 · роз. Дрєновець

лінія до Медзева

27,055 · Молдава-над-Бодвоу

25,055 · Мокранці

21,533 · Чечейовці

19,400 · Цестиці

18,415 · роз. Перін-Хим

16,085 · Комаровце

13,871 · Велька Іда

10,479 · Гутніки

6,445 · Ганиська

3,300 · Шебастовце

Автошлях I/68

лінія до Хідашнеметі

лінія до Чієрна-над-Тісоу

1,354 · Барца Ст. 4

0,396 · Барца

94,902 · Барца Ст. 1

97,070 · Кошиці Передмістя

97,800 · Кошиці Вантажна станція

98,750 · Кошиці

лінія до Жиліни

title: Залізниця Ужгород — Ганиська

Самбір
| 259 | | 0 | · Ужгород
2 · Пункт МПРВ
4,1 · Ужгород II
11,7 · Павлове
2,382 · Матьовце
10,456 · Вояни
р. Лаборець
21,329 · Будковце
р. Ондава
Требішов
53,532 · Сливник
65,700 · Сланчик
р. Ториса
77,808 · Горнад
р. Горнад
86,210 · Ганиська
87,159 · U.S. Steel Košice

| 12,6 | | 0 | · | Львівська залізниця | | Словацькі залізниці |

Чєрна-над-Тисою