text:
# Диференційоване функціонування завдань
Диференційо́ване (відмі́нне) функціонува́ння завда́ння (ДФЗ, англ. differential item functioning, DIF) — це статистична властивість тестового завдання, яка вказує, наскільки ймовірно, що респонденти з різних груп, які мають схожі здібності, відповідатимуть на це завдання по-різному. Воно проявляється тоді, коли респонденти з різних груп, маючи порівнянний рівень навичок, мають нерівну ймовірність правильної відповіді на запитання. Існує два основні типи ДФЗ: однорі́дне ДФЗ (англ. uniform DIF), коли одна група постійно має перевагу над іншою, та неоднорі́дне ДФЗ (англ. nonuniform DIF), коли перевага змінюється залежно від рівня здібності респондента.
Наявність ДФЗ потребує аналізу й оцінки, проте не завжди означає упередженість (англ. bias). Аналіз ДФЗ дає змогу виявити неочікувану поведінку завдань у тесті. ДФЗ не визначається лише різними ймовірностями вибору певної відповіді серед респондентів з різних груп. Натомість, воно проявляється тоді, коли респонденти з різних груп, маючи однакову істинну здібність в основі, демонструють різні ймовірності надавати певну відповідь. Навіть за наявності в тесті однорідного зміщення (англ. bias), розробники тестів іноді вдаються до припущень, що зміщення ДФЗ в різних завданнях можуть взаємно нівелюватися, через необхідність великої роботи для їх усунення, компрометуючи етичність тесту та закріплюючи системні упередження.
Поширеними методами оцінювання ДФЗ є процедура Ментела — Гензеля (англ. Mantel-Haenszel procedure), логістична регресія, методи на основі теорії відгуку завдання (ТВЗ, англ. item response theory, IRT) та методи на основі підтверджувального факторного аналізу (ПФА, англ. confirmatory factor analysis, CFA).

## Опис
ДФЗ стосується відмінностей у функціонуванні завдань між групами, часто демографічними, які зіставлені за латентною рисою або, загальніше, за характеристикою, яку вимірюють ці завдання чи тест. Важливо зазначити, що при аналізі завдань на ДФЗ ці групи мають бути зіставлені за вимірюваною характеристикою, інакше можливе некоректне виявлення ДФЗ.
Щоби сформувати загальне розуміння ДФЗ або зміщення вимірювання (англ. measurement bias), розгляньмо такий приклад, запропонований Остерліндом та Еверсоном (2009). У цьому випадку {\textstyle Y} позначує відгук певного тестового завдання, який визначається вимірюваним латентним конструктом. Латентний конструкт, що нас цікавить, позначують через тета ({\textstyle \theta }), де {\textstyle Y} є покажчиком {\textstyle \theta }, який можливо подати у термінах розподілу ймовірності {\textstyle Y} за {\textstyle \theta } за допомогою виразу {\textstyle f(Y)|\theta }. Отже, відгук {\textstyle Y} обумовлено латентною рисою ({\textstyle \theta }).
Оскільки ДФЗ аналізує відмінності в умовних імовірностях {\textstyle Y} між групами, позначмо ці групи як «референтну» (англ. "reference") та «фокусну» (англ. "focal"). Хоча сама назва не має значення, типова практика в літературі полягає в тому, щоби позначувати референтною ту групу, яка за підозрою має перевагу, тоді як фокусна група — це та, яку цей тест очікувано ставитиме в невигідне становище. Отже, за функційної залежності {\textstyle f(Y)|\theta } і за припущення ідентичності розподілів похибки вимірювання для референтної та фокусної груп можливо зробити висновок, що за нульової гіпотези
{\displaystyle f(Y=1|\theta ,G=r)=f(Y=1|\theta ,G=f)}
де {\textstyle G} відповідає змінній групування, {\textstyle r} — референтна група, а {\textstyle f} — фокусна.
Це рівняння подає випадок, коли ДФЗ відсутнє. У ньому відсутність ДФЗ визначається тим, що умовний розподіл імовірності {\textstyle Y} не залежить від групової приналежності. Для ілюстрації розгляньмо завдання з варіантами відповіді {\textstyle 0} і {\textstyle 1}, де {\textstyle Y=0} вказує на неправильну відповідь, а {\textstyle Y=1} — на правильну. Ймовірність відповісти на завдання правильно однакова для учасників обох груп. Це вказує на відсутність ДФЗ чи упередження завдання, оскільки учасники референтної та фокусної груп із однаковою здібністю чи характеристикою в основі мають однакову ймовірність відповісти правильно. Отже, немає упередженості або невигідного становища для однієї з груп відносно іншої.
Розгляньмо випадок, коли умовна ймовірність {\textstyle Y} не однакова для референтної й фокусної груп. Іншими словами, учасники з різних груп, що мають однаковий рівень характеристики чи здібності, мають відмінні розподіли ймовірності {\textstyle Y}. При контролі {\textstyle \theta } спостерігається явна залежність між груповою приналежністю та успішністю в завданні. Для дихотомних завдань це означає, що коли фокусна й референтна групи перебувають на одному рівні {\textstyle \theta }, ймовірність правильної відповіді або схвалення в завданні різна. Отже, група з вищою умовною ймовірністю правильно відповісти на завдання є тією, якій це завдання дає перевагу. Це свідчить про те, що тестове завдання упереджене й функціонує по-різному для цих груп, тобто проявляє ДФЗ.
Важливо розрізняти ДФЗ чи упередженість вимірювання та звичайні групові відмінності. У той час як групові відмінності вказують на різні розподіли оцінок за {\textstyle Y}, ДФЗ чітко передбачає обумовленість за {\textstyle \theta }. Наприклад, розгляньмо наступне рівняння:
{\displaystyle p(Y=1|G=g)\neq p(Y=1)}
Це вказує на обумовленість оцінки респондента групуванням, тобто наявність інформації про групову належність змінює ймовірність правильної відповіді. Отже, якщо групи різняться за {\textstyle \theta }, а успішність залежить від {\textstyle \theta }, то наведене рівняння вказуватиме на упередженість завдання навіть за відсутності ДФЗ. Саме тому в літературі з вимірювань загальновизнано, що відмінності за {\textstyle Y}, обумовлені лише груповою приналежністю, недостатні для встановлення упередженості.
Насправді, відмінності між групами за {\textstyle \theta } чи здібностями поширені й становлять основу для численних досліджень. Щоби встановити упередженість або ДФЗ, групи мають бути зіставлені за {\textstyle \theta }, а потім повинні продемонструвати диференційовані ймовірності за {\textstyle Y} як функцію групової приналежності.

## Форми
Однорідне ДФЗ (англ. uniform DIF) — найпростіший тип ДФЗ, коли величина умовної залежності залишається відносно незмінною впродовж усього континууму латентної риси ({\textstyle \theta }). Відповідне завдання стабільно надає перевагу одній групі на всіх рівнях здібності {\textstyle \theta }. У межах теорії відгуку завдання (ТВЗ) це спостерігається тоді, коли обидві характеристичні криві завдання (ХКЗ, англ. item characteristic curves, ICC) мають однакові параметри розрізнювальності, проте відрізняються за параметрами складності (тобто {\textstyle a_{r}=a_{f}} та {\textstyle b_{r}<b_{f}}), як зображено на рисунку 1.
Натомість, неоднорідне ДФЗ (англ. nonuniform DIF) є цікавішим випадком. На відміну від стабільної переваги, яку завдання надає референтній групі на всьому континуумі здібності, умовна залежність зміщується та змінює напрямок у різних місцях континууму {\textstyle \theta }. Наприклад, завдання може надавати референтній групі незначну перевагу на нижньому кінці континууму, але значно більшу на верхньому. Крім того, на відміну від однорідного ДФЗ, у випадку неоднорідного ДФЗ завдання може водночас відрізнятися для двох груп за розрізнювальністю та за складністю (тобто {\textstyle a_{r}\neq a_{f}} та {\textstyle b_{r}<b_{f}}).
Ще складнішим випадком є «перехресне» неоднорідне ДФЗ (англ. "crossing" nonuniform DIF). Як показано на рисунку 2, таке явище виникає, коли завдання надає перевагу референтній групі на одному кінці континууму {\textstyle \theta }, а фокусній групі — на іншому. Відмінності між ХКЗ вказують на те, що респонденти з цих двох груп, які мають однаковий рівень здібності, мають відмінні ймовірності правильно відповісти на завдання. Якщо криві відрізняються, але не перетинаються, це свідчить про однорідне ДФЗ. Проте, якщо ХКЗ перетинаються в якійсь точці шкали {\textstyle \theta }, має місце неоднорідне ДФЗ.
|                                    |
| Рисунок 1. ХКЗ для однорідного ДФЗ |

|                                      |
| Рисунок 2. ХКЗ для неоднорідного ДФЗ |

## Процедури для виявляння ДФЗ

### Процедура Ментела— Гензеля
Однією з поширених процедур для виявляння ДФЗ є підхід Ментела — Гензеля (МГ, англ. Mantel-Haenszel, MH). Процедура МГ — це підхід на основі таблиці спряженості критерію хі-квадрат, який аналізує відмінності між референтною та фокусною групами для всіх завдань тесту, одне за одним. Континуум здібності, визначений загальними тестовими оцінками, розділяють на {\textstyle k} інтервалів, що потім слугує основою для зіставляння учасників обох груп. На кожному з {\textstyle k} інтервалів використовують таблицю спряженості 2 × 2, щоби порівняти обидві групи на окремому завданні. Рядки таблиці спряженості відповідають груповій приналежності (референтна чи фокусна група), а стовпці — правильній чи неправильній відповіді. Наступна таблиця подає загальний вигляд для одного завдання на {\textstyle k}-тому інтервалі здібності.
| РезультатГрупа | Правильно (1)            | Неправильно (0)          | Разом                                |
| -------------- | ------------------------ | ------------------------ | ------------------------------------ |
| Референтна     | {\textstyle A_{k}}       | {\textstyle B_{k}}       | {\textstyle A_{k}+B_{k}}             |
| Фокусна        | {\textstyle C_{k}}       | {\textstyle D_{k}}       | {\textstyle C_{k}+D_{k}}             |
| Разом          | {\textstyle A_{k}+C_{k}} | {\textstyle B_{k}+D_{k}} | {\textstyle A_{k}+B_{k}+C_{k}+D_{k}} |

Примітка. {\textstyle A}, {\textstyle B}, {\textstyle C} і {\textstyle D} відповідають спостережуваним частотам у відповідних клітинках. Індекс {\textstyle k} відповідає інтервалу здібності.

#### Співвідношення шансів
Наступним кроком в розрахунку статистики МГ є використання даних із таблиці спряженості для отримання співвідношення шансів цих двох груп щодо досліджуваного завдання на певному інтервалі {\textstyle k}. Це виражають через {\textstyle p} і {\textstyle q}, де {\textstyle p} позначує частку правильних відповідей, а {\textstyle q} — частку неправильних відповідей як для референтної ({\textstyle R}), так і для фокусної ({\textstyle F}) груп. У процедурі МГ отримуване співвідношення шансів позначують через {\textstyle \alpha }, що може набувати значень від {\textstyle 0} до {\textstyle \infty }. Значення {\textstyle \alpha =1.0} вказує на відсутність ДФЗ, тобто подібну успішність обох груп. Значення, більше за {\textstyle 1.0}, свідчить, що референтна група перевершила фокусну групу, або сприйняла завдання як менш складне порівняно з нею. З іншого боку, якщо отримане значення менше за {\textstyle 1.0}, це вказує, що завдання було менш складним для фокусної групи.
З використанням змінних із наведеної вище таблиці спряженості розрахунок виглядає так:
{\displaystyle \alpha ={\frac {p_{R_{k}}/q_{R_{k}}}{p_{F_{k}}/q_{F_{k}}}}={\frac {(A_{k}/(A_{k}+B_{k}))/(B_{k}/(A_{k}+B_{k}))}{(C_{k}/(C_{k}+D_{k}))/(D_{k}/(C_{k}+D_{k}))}}={\frac {A_{k}/B_{k}}{C_{k}/D_{k}}}={\frac {A_{k}D_{k}}{B_{k}C_{k}}}}
Наведений вище розрахунок стосується окремого завдання на конкретному інтервалі здібностей. Сукупнісну оцінку {\textstyle \alpha } можливо розширити, щоби вона відображала загальне співвідношення шансів над усіма інтервалами здібності {\textstyle k} для певного завдання. Загальний оцінювач співвідношення шансів позначують через {\textstyle \alpha _{MH}} і обчислюють за формулою
{\displaystyle \alpha _{MH}={\frac {\sum (A_{k}D_{k}/N_{k})}{\sum (B_{k}C_{k}/N_{k})}}}
для всіх значень {\textstyle k}, де {\textstyle N_{k}} — загальний розмір вибірки на {\textstyle k}-му інтервалі.
Отримане значення {\textstyle \alpha _{MH}} часто стандартизують за допомогою логарифмічного перетворення, центруючи його навколо 0. Новий перетворений оцінювач {\textstyle {MH}_{D-DIF}} обчислюють так:
{\displaystyle {MH}_{D-DIF}=-2.35\ln \alpha _{MH}}
Відтак, отримане значення 0 вказуватиме на відсутність ДФЗ. Важливо зазначити, що знак «мінус» у цьому рівнянні змінює інтерпретацію значень, менших або більших за 0. Менші за 0 значення вказують на перевагу референтної групи, тоді як більші за 0 значення вказують на перевагу фокусної групи.

### Теорія відгуку завдання
Теорія відгуку завдання (ТВЗ, англ. item response theory, IRT) — ще один широко використовуваний метод для оцінювання ДФЗ. ТВЗ дозволяє докладно аналізувати відгуки окремих завдань тесту або вимірювального інструменту. Як зазначено раніше, ДФЗ досліджує ймовірність правильної відповіді або схвалення завдання, залежно від латентної риси чи здібності. Оскільки ТВЗ аналізує монотонний зв'язок між відповідями та латентною рисою чи здібністю, цей підхід добре підходить для дослідження ДФЗ.
Три основні переваги використання ТВЗ для виявляння ДФЗ:
- Порівняно з класичною теорією тестування, оцінки параметрів у ТВЗ менш залежні від характеристик вибірки.
- Статистичні властивості завдань можливо виразити з більшою точністю, що підвищує точність інтерпретації ДФЗ між двома групами.
- Ці статистичні властивості завдань можливо виражати графічно, що покращує інтерпретовність і розуміння того, як завдання функціонують по-різному для різних груп.

Щодо ДФЗ, оцінки параметрів завдань обчислюють та аналізують графічно за допомогою характеристичних кривих завдання (ХКЗ, англ. item characteristic curves, ICC), також відомих як функції відгуку завдання (ФВЗ, англ. item response functions, IRF). Після огляду ХКЗ й виникнення підозри на ДФЗ застосовують статистичні процедури для перевірки відмінностей між оцінками параметрів.
ХКЗ подають математичні функції, що описують зв'язок між положенням на континуумі латентної риси та ймовірністю вибору певної відповіді. На рис. 3 проілюстровано цей зв'язок у вигляді логістичної функції. Респонденти, що мають нижчий рівень латентної риси чи менші здібності, мають нижчу ймовірність правильної відповіді чи схвалення завдання, особливо якщо його складність зростає. Відтак, респонденти з вищими значеннями латентної риси чи здібності мають вищу ймовірність правильної відповіді чи схвалення завдання. Наприклад, в оцінюванні депресії респонденти з високим рівнем депресії матимуть більшу ймовірність схвалення відповідного твердження, ніж ті, хто має нижчий рівень депресії. Аналогічно, респонденти з вищими математичними здібностями мають вищу ймовірність правильної відповіді на математичне завдання порівняно з тими, в кого ці здібності нижчі.
Ще один важливий аспект ХКЗ стосується точки перегину. Це точка на кривій, де ймовірність певної відповіді дорівнює 0,5, а також де значення нахилу кривої максимальне. Точка перегину вказує, де ймовірність правильної відповіді або схвалення завдання стає вищою за 50 %, за винятком випадків, коли параметр {\textstyle c} більший за 0, що тоді зміщує точку перегину на {\textstyle 1+c/2} (докладний опис наведено нижче). Точка перегину визначається складністю завдання, що відповідає значенням на континуумі здібності чи латентної риси. Тож для простого завдання ця точка перегину може перебувати нижче за шкалою здібностей, тоді як для складного завдання — вище, за цією же шкалою.
|                                                    |
| Рисунок 3. ХКЗ із точкою перегину та лінією нахилу |

Перш ніж представити статистичні процедури для перевірки відмінностей у параметрах завдань, важливо спершу надати загальне розуміння різних моделей оцінювання параметрів, та пов'язаних з ними параметрів. До них належать одно-, дво- та трипараметрові логістичні (ПЛ, англ. PL) моделі. Усі ці моделі виходять із наявності однієї латентної риси або здібності. Всі три моделі містять параметр складності завдання (англ. item difficulty), позначуваний через b. У моделях 1ПЛ та 2ПЛ параметр b відповідає точці перегину на шкалі здібності, як зазначено вище. У випадку моделі 3ПЛ точка перегину відповідає {\textstyle 1+c/2}, де {\textstyle c} — нижня асимптота (розглянута нижче). Теоретично значення параметра складності можуть варіюватися від -∞ до +∞; проте на практиці вони зазвичай не виходять за межі ±3. Вищі значення свідчать про складніші тестові завдання. Завдання з низькими значеннями {\textstyle b} прості.
Ще одним оцінюваним параметром є параметр розрізнювальності (англ. discrimination), позначуваний через {\textstyle a}. Цей параметр стосується здатності завдання розрізняти респондентів за рівнем їхньої здібності. Параметр {\textstyle a} оцінюють у моделях 2ПЛ та 3ПЛ. У випадку моделі 1ПЛ цей параметр роблять рівним для всіх груп. У контексті ХКЗ параметр {\textstyle a} це нахил у точці перегину. Як було зазначено раніше, нахил у цій точці максимальний. Значення параметра {\textstyle a}, подібно до параметра {\textstyle b}, можуть варіюватися від -∞ до +∞; проте типові значення зазвичай не перевищують 2. У цьому випадку вищі значення свідчать про сильніше розрізнювання між респондентами.
Модель 3ПЛ містить додатковий параметр, відомий як відгадуваність (англ. guessing) або параметр псевдошансу (англ. pseudochance parameter), позначуваний через {\textstyle c}. Він відповідає нижній асимптоті, що по суті враховує можливість того, що респондент може правильно відповісти на завдання середньої або високої складності, навіть якщо його рівень здібності низький. Значення параметра {\textstyle c} варіюються в межах від 0 до 1, проте зазвичай не перевищують 0,3.
При застосуванні статистичних процедур для оцінювання ДФЗ особливе зацікавлення становлять параметри {\textstyle a} та {\textstyle b} (розрізнювальність і складність). Проте припустімо, що використано модель 1ПЛ, у якій параметри {\textstyle a} зафіксовано як рівні для обох груп, залишаючи лише оцінювання параметрів {\textstyle b}. Після аналізу ХКЗ виявляється очевидна різниця в параметрах {\textstyle b} між групами. З використанням методу, подібного до t-критерію Стьюдента, наступним кроком є визначення, чи є ця різниця в складності статистично значущою. За нульової гіпотези:
{\textstyle H_{0}:b_{r}=b_{f}}
Лорд, (1980) пропонує легко обчислювану й нормально розподілену статистику критерію:
{\displaystyle d={\frac {b_{r}-b_{f}}{{\text{SE}}(b_{r}-b_{f})}}}
Стандартну похибку (англ. standard error, SE) різниці між параметрами b обчислюють як
{\textstyle {\sqrt {\left[{\text{SE}}(b_{r})\right]^{2}+\left[{\text{SE}}(b_{f})\right]^{2}}}}

#### Статистика Вальда
Проте в більшості випадків модель 2ПЛ чи 3ПЛ доречніша за допасовування до даних моделі 1ПЛ, й відтак на наявність ДФЗ слід перевіряти обидва параметри {\textstyle a} та {\textstyle b}. Лорд, (1980) запропонував інший метод для перевірки відмінностей у параметрах {\textstyle a} та {\textstyle b}, у якому параметри {\textstyle c} фіксують як рівні для обох груп. Ця перевірка видає статистику Вальда, яка підпорядковується розподілу хі-квадрат. У цьому випадку нульовою гіпотезою, яку перевіряють, є
{\textstyle H_{0}:a_{r}=a_{f}{\text{і}}b_{r}=b_{f}}.
Спершу для кожної з груп обчислюють коваріаційну матрицю 2 × 2 для оцінок параметрів, які позначують через {\textstyle S_{r}} та {\textstyle S_{f}} для референтної та фокусної груп відповідно. Ці коваріаційні матриці обчислюють шляхом обернення інформаціних матриць.
Далі різниці між оціненими параметрами формують у вектор 2 × 1, позначуваний через
{\textstyle V'=(a_{r}-a_{f},b_{r}-b_{f})}.
Потім оцінюють коваріаційну матрицю {\textstyle S} шляхом додавання {\textstyle S_{r}} та {\textstyle S_{f}}.
Використовуючи цю інформацію, обчислюють статистику Вальда наступним чином:
{\displaystyle \chi ^{2}={V'}S^{-1}V}
що оцінюють при 2 ступенях вільності.

#### Перевірка співвідношенням правдоподібностей
Перевірка співвідношенням правдоподібностей — це ще один метод на основі ТВЗ для оцінювання ДФЗ. Ця процедура передбачає порівняння співвідношення двох моделей. У моделі {\textstyle M_{c}} параметри завдання фіксують як рівні або інваріантні між референтною та фокусною групами. У моделі {\textstyle M_{v}} параметри завдання можуть вільно змінюватися. Функцію правдоподібності під {\textstyle M_{c}} позначують через {\textstyle L_{c}}, тоді як функцію правдоподібності під {\textstyle M_{v}} позначують через {\textstyle L_{v}}. Завдання, які фіксують як рівні, слугують якірними завданнями для цієї процедури, тоді як підозрюваним на ДФЗ завданням дозволено вільно варіюватися.
Завдяки використанню якірних завдань та дозволу параметрам інших завдань варіюватися, можливо одночасно оцінювати ДФЗ для декількох завдань. Проте, якщо співвідношення правдоподібностей вказує на потенційне ДФЗ, необхідний подальший покроковий аналіз кожного завдання, щоби визначити, які саме завдання, якщо не всі, містять ДФЗ.
Співвідношення правдоподібностей двох моделей обчислюють як
{\displaystyle G^{2}=2\ln \left[L_{v}/L_{c}\right]}
Альтернативно, це співвідношення можливо виразити як
{\displaystyle G^{2}=-2\ln \left[L_{c}/L_{v}\right]}
де {\textstyle L_{v}} та {\textstyle L_{c}} міняються місцями, і знак їхнього логарифму змінюється на протилежний.
{\textstyle G^{2}} наближено підпорядковується розподілу хі-квадрат, особливо для великих вибірок. Тому його оцінюють відповідно до ступенів вільності, що відповідають кількості обмежень, необхідних для виведення обмеженої моделі з вільної. Наприклад, якщо використовують модель 2ПЛ і обом параметрам {\textstyle a} та {\textstyle b} дозволено варіюватися в моделі {\textstyle M_{v}}, але ці самі параметри незмінні в моделі {\textstyle M_{c}}, то це співвідношення оцінюють при 2 ступенях вільності.

### Логістична регресія
Методи виявляння ДФЗ за допомогою логістичної регресії передбачають окремий аналіз для кожного завдання. Незалежні змінні, які включають до аналізу, — це групова приналежність, змінна зіставляння за здібністю (зазвичай загальна оцінка в тесті) та член взаємодії між цими двома. Цільовою залежною змінною є ймовірність або правдоподібність правильної відповіді чи схвалення завдання. Оскільки цільовий результат виражають через імовірності, відповідною процедурою є метод максимальної правдоподібності. Цей набір змінних можливо виразити наступним регресійним рівнянням:
{\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}M+\beta _{2}G+\beta _{3}MG}
де {\textstyle \beta _{0}} відповідає відтину або ймовірності відгуку, коли {\textstyle M} та {\textstyle G} дорівнюють 0, а інші коефіцієнти {\textstyle \beta _{s}} відповідають ваговим коефіцієнтам для кожної незалежної змінної. Перша незалежна змінна, {\textstyle M}, це змінна зіставляння, яку використовують для зіставлення респондентів за рівнем здібностей, у цьому випадку за загальною оцінкою в тесті, подібно до процедури Ментела — Гензеля. Змінну групової приналежності позначують через {\textstyle G} і в контексті регресії подають за допомогою змінних фіктивного кодування. Останній член {\textstyle MG} відповідає взаємодії між двома вищезгаданими змінними.
Для цієї процедури змінні вводять ієрархічно. Відповідно до структури наведеного вище регресійного рівняння, змінні вводять у такій послідовності: змінна зіставлення {\textstyle M}, змінна групування {\textstyle G} та змінна взаємодії {\textstyle MG}. Визначення ДФЗ здійснюють шляхом оцінювання отриманої статистики хі-квадрат із 2 ступенями вільності. Додатково перевіряють статистичну значущість оцінок параметрів.
Ці результати логістичної регресії вказуватимуть на ДФЗ, якщо респонденти, зіставлені за здібністю, мають статистично значущі відмінності у ймовірності правильної відповіді на завдання, й відтак відмінні криві логістичної регресії. І навпаки, якщо криві для обох груп збігаються, то завдання вважають неупередженим, й відтак ДФЗ відсутнє. Що ж до однорідного й неоднорідного ДФЗ, якщо параметри змінних відтину й зіставлення для обох груп не рівні, це свідчить про однорідне ДФЗ. Проте, якщо параметр взаємодії ненульовий, це є ознакою неоднорідного ДФЗ.

## Аспекти

### Розмір вибірки
Перший аспект, який слід враховувати, стосується розміру вибірки, зокрема щодо референтної та фокусної груп. Перед проведенням будь-якого аналізу зазвичай уже відома інформація про кількість осіб у кожній з груп, наприклад, кількість чоловіків і жінок або представників різних етнічних/расових груп. Проте головне питання полягає в тому, чи достатня кількість осіб у кожній з груп для забезпечення належної статистичної потужності для встановлення ДФЗ. У деяких випадках, наприклад, щодо етнічної приналежності, може спостерігатися нерівність розмірів груп, коли, наприклад, білі становлять значно більшу вибірку порівняно з кожною окремою етнічною групою. Тому в таких випадках може бути доцільним модифікувати або коригувати дані, щоби порівнювані щодо ДФЗ групи були насправді рівними чи ближчими за розміром.
Загальноприйнятою практикою для вирівнювання диспропорцій розмірів референтної та фокусної груп є фіктивне кодування або перекодування. В такому випадку всі небілі етнічні групи може бути об'єднано в одну, щоби створити відносно рівні вибірки для референтної та фокусної груп. Це дозволяє провести аналіз ДФЗ у форматі порівняння «більшість/меншість». Якщо такі модифікації не буде зроблено, а процедуру оцінювання ДФЗ буде проведено на нерівних вибірках, можливо, статистичної потужності буде недостатньо для виявлення ДФЗ, навіть якщо воно справді існує між групами.
Ще одним аспектом, пов'язаним із розміром вибірки, є вибір статистичної процедури для виявляння ДФЗ. Окрім аспекту розмірів референтної та фокусної груп, необхідно також враховувати певні характеристики самої вибірки, щоби вона відповідала припущенням кожної статистичної перевірки, яку використовують для виявляння ДФЗ.
Наприклад, застосування підходів ТВЗ може вимагати значно більших вибірок порівняно з процедурою Ментела — Гензеля. Це важливо, оскільки дослідження розміру груп може спрямовувати вибір до тієї чи іншої процедури. У підході логістичної регресії особливу увагу слід приділяти важільним значенням та викидам, які необхідно проаналізувати перед виявлянням ДФЗ. Крім того, як і з будь-яким аналізом, необхідно дотримуватися припущень статистичних перевірок. Деякі процедури стійкіші до незначних порушень припущень, тоді як інші — менш стійкі. Тому перед застосуванням будь-яких процедур ДФЗ слід дослідити характер розподілу відповідей вибірки.

### Завдання
При виявлянні ДФЗ необхідно визначити кількість завдань, які підлягатимуть аналізу. Стандарту, скільки завдань слід використовувати для виявляння ДФЗ, не існує, оскільки це залежить від конкретного дослідження. У деяких випадках доцільно перевіряти на ДФЗ усі завдання, тоді як в інших це може бути непотрібним. Якщо є обґрунтовані підстави підозрювати ДФЗ лише в окремих завданнях, доцільніше перевіряти саме їх, а не весь набір. Проте часто складно просто припустити, які завдання можуть бути проблемними. З цієї причини зазвичай рекомендують перевіряти на ДФЗ всі тестові завдання одночасно. Це забезпечуватиме інформацію про всі завдання, проливаючи світло як на проблемні завдання, так і на ті, що функціонують подібно як для референтної, так і для фокусної групи.
Щодо статистичних перевірок, деякі процедури, як-от правдоподібнісна перевірка ТВЗ, потребують використання якірних завдань. У такому випадку деякі завдання фіксують як рівні для обох груп, тоді як підозрюваним на ДФЗ завданням дозволяють вільно варіюватися. У цій ситуації лише частину завдань буде ідентифіковано як такі, що мають ДФЗ, тоді як решта слугуватиме контрольною групою для виявлення ДФЗ. Після встановлення завдань із ДФЗ можливо також проаналізувати і якірні завдання, зафіксувавши первинно встановлені завдання з ДФЗ і дозволивши первинно якірним завдання варіюватися.
Таким чином, тестування всіх завдань одночасно може бути ефективнішим підходом. Втім, як зазначено вище, залежно від застосованої процедури можливе використання різних методів відбору завдань для перевірки на ДФЗ.
Окрім визначення кількості завдань, які використовують для виявлення ДФЗ, важливим є також встановлення загальної кількості завдань у самому тесті або вимірювальному інструменті. Як зазначає Зумбо (1999), мінімальна рекомендована кількість завдань становить 20. Обґрунтування цього мінімуму безпосередньо пов'язане з формуванням критеріїв зіставлення. Як зазначено в попередніх розділах, як метод для зіставлення респондентів за рівнем здібностей зазвичай використовують загальну оцінку в тесті. Її зазвичай поділяють на 3—5 рівнів здібності ({\textstyle k}), які відтак використовують для зіставлення респондентів за здібністю перед процедурами аналізу ДФЗ. Використання щонайменше 20 завдань забезпечує більшу варіативність у розподілі оцінок, що сприяє створенню змістовніших груп за рівнем здібності.
Хоча психометричні характеристики тесту повинно бути оцінено ще до його використання, важливо, щоби його валідність і надійність були достатніми. Завдання тесту повинні точно відображати досліджуваний конструкт, щоби забезпечити виведення змістовних груп за рівнем здібності. Звісно, не слід роздувати коефіцієнти надійності просто додаванням надмірних завдань. Головне — забезпечити валідний і надійний вимірювальний інструмент із достатньою кількістю завдань для формування змістовних груп зіставлення. Більше інформації про сучасні підходи до структурної валідації та точніші й змістовніші методи оцінювання надійності пропонують Ґадерманн зі співавт. (2012), Ревелль і Зінбарґ (2009), та Джон і Сото (2007).

### Збалансовування статистики й міркування
Як і в усіх психологічних дослідженнях і психометричних оцінюваннях, статистика відіграє ключову роль, але в жодному разі не повинна бути єдиною основою для ухвалення рішень та формування висновків. При оцінюванні завдань на ДФЗ критично важливе раціональне судження. Наприклад, залежно від статистичної процедури, яку використовують для виявлення ДФЗ, можливе отримання різних результатів. Деякі процедури точніші, тоді як інші — не такі точні. Наприклад, процедура Ментела — Гензеля вимагає від дослідника побудови рівнів здібності на основі загальних оцінок за тестом, тоді як ТВЗ ефективніше розташовує респондентів уздовж континууму латентної риси чи здібності. Таким чином, одна процедура може вказувати на ДФЗ у певних завданнях, тоді як інші — ні.
Ще одним питанням є те, що іноді ДФЗ може бути виявлене, але не завжди є очевидне пояснення, чому воно має місце. У цьому контексті особливо важливим стає раціональне судження. Особливо в плані розуміння, чому виникає однорідне та неоднорідне ДФЗ. Дослідник мусить використовувати здоровий глузд для осмислення результатів аналізу ДФЗ. Недостатньо просто констатувати, що завдання функціонує по-різному для різних груп; необхідно надати якісне обґрунтування того, чому це відбувається.
Однорідне ДФЗ виникає, коли одна група має стабільну перевагу над іншою на всіх рівнях здібності. Такий тип упередженості часто можливо усунути шляхом використання окремих тестових норм для різних груп, щоби забезпечити справедливість оцінювання. Неоднорідне ДФЗ, з іншого боку, є складнішим випадком, оскільки перевага змінюється залежно від рівня здібності респондентів. До неоднорідного ДФЗ можуть докладатися такі чинники як соціально-економічний статус, культурні відмінності, мовні бар'єри та нерівність у доступі до знань. Виявлення та усунення неоднорідного ДФЗ вимагає глибшого розуміння когнітивних процесів, що лежать в основі виконання тестових завдань, і може потребувати спеціальних втручань для забезпечення справедливих практик оцінювання.
У дослідженнях ДФЗ поширеним є виявлення окремих завдань із ДФЗ, що вказує на потенційні проблеми, які потребують уважного вивчення. Проте наявність ДФЗ у певних завданнях не означає автоматично, що упередженим є весь тест. Натомість це сигналізує, що конкретні завдання можуть бути упередженими й потребують уваги для збереження цілісності й справедливості тесту для всіх респондентів. Встановлення завдань із ДФЗ пропонує можливість перегляду, потенційного коригування чи вилучення проблемних завдань, що сприяє забезпеченню рівноправного оцінювання. Тому аналіз ДФЗ слугує цінним інструментом для аналізу завдань, особливо коли його доповнюють якісним дослідженням спричинювальних чинників.

## Статистичне програмне забезпечення
Нижче наведено поширені статистичні програми, здатні виконувати процедури, розглянуті в цій статті. Перейшовши за посиланням на перелік статистичних пакетів, можна ознайомитися з повним переліком відкритого, безкоштовного та комерційного статистичного програмного забезпечення.
Процедура Ментела — Гензеля
- SPSS
- SAS(інші мови)
- Stata
- R (наприклад, пакет difR[35])
- Systat(інші мови)
- Lertap 5(інші мови)

Процедури на основі ТВЗ
- BILOG-MG(інші мови)
- MULTILOG(інші мови)
- PARSCALE(інші мови)
- TESTFACT(інші мови)
- EQSIRT
- R (наприклад, пакети difR[35] та mirt[36])
- IRTPRO

Логістична регресія
- SPSS
- SAS(інші мови)
- Stata
- R (наприклад, пакет difR[35])
- Systat(інші мови)

title: Диференційоване функціонування завдань

wikitext:
'''Диференційо́ване''' ('''відмі́нне''') '''функціонува́ння завда́ння'''<ref>{{cite journal |last=Лісова |first=Т. В. |title=Методи та програмні засоби дослідження валідності тестових результатів для груп тестованих з певними індивідуальними особливостями |journal=Інформаційні технології і засоби навчання |language=uk |year=2015 |volume=50 |issue=6 |pages=165-180 |url=http://nbuv.gov.ua/UJRN/ITZN_2015_50_6_16}}</ref> ('''ДФЗ''', {{lang-en|differential item functioning, DIF}}) — це статистична властивість [[тестове завдання|тестового завдання]], яка вказує, наскільки ймовірно, що [[респондент]]и з різних груп, які мають схожі здібності, відповідатимуть на це завдання по-різному. Воно проявляється тоді, коли респонденти з різних груп, маючи порівнянний рівень навичок, мають нерівну ймовірність правильної відповіді на запитання. Існує два основні типи ДФЗ: '''однорі́дне ДФЗ''' ({{lang-en|uniform DIF}}), коли одна група постійно має перевагу над іншою, та '''неоднорі́дне ДФЗ''' ({{lang-en|nonuniform DIF}}), коли перевага змінюється залежно від рівня здібності респондента.<ref>{{Cite web |title=National Council on Measurement in Education |language=en |url=http://www.ncme.org/ncme/NCME/Resource_Center/Glossary/NCME/Resource_Center/Glossary1.aspx?hkey=4bb87415-44dc-4088-9ed9-e8515326a061#anchorD |archive-url=https://web.archive.org/web/20170722194028/http://www.ncme.org/ncme/NCME/Resource_Center/Glossary/NCME/Resource_Center/Glossary1.aspx?hkey=4bb87415-44dc-4088-9ed9-e8515326a061#anchorD |archive-date=2017-07-22 |url-status=dead}}</ref>

Наявність ДФЗ потребує аналізу й оцінки, проте не завжди означає упередженість ({{lang-en|bias}}). Аналіз ДФЗ дає змогу виявити неочікувану поведінку завдань у тесті. ДФЗ не визначається лише різними ймовірностями вибору певної відповіді серед респондентів з різних груп. Натомість, воно проявляється тоді, коли респонденти з різних груп, маючи ''однакову істинну здібність в основі'', демонструють різні ймовірності надавати певну відповідь. Навіть за наявності в тесті однорідного зміщення ({{lang-en|bias}}), розробники тестів іноді вдаються до припущень, що зміщення ДФЗ в різних завданнях можуть взаємно нівелюватися, через необхідність великої роботи для їх усунення, компрометуючи етичність тесту та закріплюючи системні упередження.<ref>{{Cite journal |last1=De Leo |first1=Joseph A. |last2=Van Dam |first2=Nicholas T. |last3=Hobkirk |first3=Andréa L. |last4=Earleywine |first4=Mitch |date=2011-04-01 |title=Examining bias in the impulsive sensation seeking (ImpSS) Scale using Differential Item Functioning (DIF) – An item response analysis |url=https://www.academia.edu/download/44665197/Examining_bias_in_the_impulsive_sensatio20160412-8739-3fpvof.pdf |journal=Personality and Individual Differences |language=en |volume=50 |issue=5 |pages=570–576 |doi=10.1016/j.paid.2010.11.030 |issn=0191-8869}}</ref>

Поширеними методами оцінювання ДФЗ є [[процедура Ментела — Гензеля]] ({{lang-en|Mantel-Haenszel procedure}}), [[логістична регресія]], методи на основі [[теорія відгуку завдання|теорії відгуку завдання]] (ТВЗ, {{lang-en|item response theory, IRT}}) та методи на основі {{li|підтверджувальний факторний аналіз|підтверджувального факторного аналізу|Q5160137}} (ПФА, {{lang-en|confirmatory factor analysis, CFA}}).<ref>{{Cite journal |last=Zumbo |first=B.D. |year=2007 |title=Three generations of differential item functioning (DIF) analyses: Considering where it has been, where it is now, and where it is going |journal=Language Assessment Quarterly |language=en |volume=4 |pages=223–233 |doi=10.1080/15434300701375832}}</ref>

== Опис ==
ДФЗ стосується відмінностей у функціонуванні завдань між групами, часто демографічними, які зіставлені за латентною рисою або, загальніше, за характеристикою, яку вимірюють ці завдання чи тест.<ref name="Camilli2006">{{Cite book |last=Camilli |first=G. |year=2006 |chapter=Test fairness |editor-last=Brennan |editor-first=R. L. |title=Educational Measurement |language=en |edition=4th |pages=220–256 |location=Westport, CT |publisher=American Council on Education |isbn=978-0-275-98125-9 |chapter-url=https://www.researchgate.net/profile/Gregory-Camilli/publication/265086461_Test_fairness/links/578e4ae908ae81b4466ec0f8/Test-fairness.pdf}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Holland |first1=P. W. |last2=Wainer |first2=H. |year=1993 |title=Differential Item Functioning |language=en |location=Hillsdale, NJ |publisher=Lawrence Erlbaum |doi=10.4324/9780203357811 |isbn=0805809724}}</ref> Важливо зазначити, що при аналізі завдань на ДФЗ ці групи мають бути зіставлені за вимірюваною характеристикою, інакше можливе некоректне виявлення ДФЗ.

Щоби сформувати загальне розуміння ДФЗ або зміщення вимірювання ({{lang-en|measurement bias}}), розгляньмо такий приклад, запропонований Остерліндом та Еверсоном (2009).<ref>{{Cite book |last1=Osterlind |first1=S. J. |last2=Everson |first2=H. T. |year=2009 |title=Differential Item Functioning |language=en |location=Thousand Oaks, CA |publisher=Sage Publishing |isbn=9781412954945}}</ref> У цьому випадку <math display=inline>Y</math> позначує відгук певного тестового завдання, який визначається вимірюваним латентним {{li|Конструкт (філософія)|конструктом|Q659390}}. Латентний конструкт, що нас цікавить, позначують через тета (<math display=inline>\theta</math>), де <math display=inline>Y</math> є покажчиком <math display=inline>\theta</math>, який можливо подати у термінах [[розподіл імовірності|розподілу ймовірності]] <math display=inline>Y</math> за <math display=inline>\theta</math> за допомогою виразу <math display=inline>f(Y)|\theta</math>. Отже, відгук <math display=inline>Y</math> обумовлено латентною рисою (<math display=inline>\theta</math>).

Оскільки ДФЗ аналізує відмінності в умовних імовірностях <math display=inline>Y</math> між групами, позначмо ці групи як «[[референтна група|референтну]]» ({{lang-en|"reference"}}) та «фокусну» ({{lang-en|"focal"}}). Хоча сама назва не має значення, типова практика в літературі полягає в тому, щоби позначувати референтною ту групу, яка за підозрою має перевагу, тоді як фокусна група — це та, яку цей тест очікувано ставитиме в невигідне становище.<ref name="Camilli2006" /> Отже, за функційної залежності <math display=inline>f(Y)|\theta</math> і за припущення ідентичності розподілів [[похибка вимірювання|похибки вимірювання]] для референтної та фокусної груп можливо зробити висновок, що за [[нульова гіпотеза|нульової гіпотези]]
<math display=block>f(Y=1|\theta, G=r) = f(Y=1|\theta, G=f)</math>
де <math display=inline>G</math> відповідає змінній групування, <math display=inline>r</math> — референтна група, а <math display=inline>f</math> — фокусна.

Це рівняння подає випадок, коли ДФЗ відсутнє. У ньому відсутність ДФЗ визначається тим, що [[умовний розподіл імовірності]] <math display=inline>Y</math> не залежить від групової приналежності. Для ілюстрації розгляньмо завдання з варіантами відповіді <math display=inline>0</math> і <math display=inline>1</math>, де <math display=inline>Y = 0</math> вказує на неправильну відповідь, а <math display=inline>Y = 1</math> — на правильну. Ймовірність відповісти на завдання правильно однакова для учасників обох груп. Це вказує на відсутність ДФЗ чи упередження завдання, оскільки учасники референтної та фокусної груп із однаковою здібністю чи характеристикою в основі мають однакову ймовірність відповісти правильно. Отже, немає упередженості або невигідного становища для однієї з груп відносно іншої.

Розгляньмо випадок, коли умовна ймовірність <math display=inline>Y</math> не однакова для референтної й фокусної груп. Іншими словами, учасники з різних груп, що мають однаковий рівень характеристики чи здібності, мають відмінні розподіли ймовірності <math display=inline>Y</math>. При контролі <math display=inline>\theta</math> спостерігається явна залежність між груповою приналежністю та успішністю в завданні. Для [[дихотомія|дихотомних]] завдань це означає, що коли фокусна й референтна групи перебувають на одному рівні <math display=inline>\theta</math>, ймовірність правильної відповіді або схвалення в завданні різна. Отже, група з вищою умовною ймовірністю правильно відповісти на завдання є тією, якій це завдання дає перевагу. Це свідчить про те, що тестове завдання упереджене й функціонує по-різному для цих груп, тобто проявляє ДФЗ.

Важливо розрізняти ДФЗ чи упередженість вимірювання та звичайні групові відмінності. У той час як групові відмінності вказують на різні розподіли оцінок за <math display=inline>Y</math>, ДФЗ чітко передбачає обумовленість за <math display=inline>\theta</math>. Наприклад, розгляньмо наступне рівняння:
<math display=block>p(Y=1|G=g)\neq p(Y=1)</math>
Це вказує на обумовленість оцінки респондента групуванням, тобто наявність інформації про групову належність змінює ймовірність правильної відповіді. Отже, якщо групи різняться за <math display=inline>\theta</math>, а успішність залежить від <math display=inline>\theta</math>, то наведене рівняння вказуватиме на упередженість завдання навіть за відсутності ДФЗ. Саме тому в літературі з вимірювань загальновизнано, що відмінності за <math display=inline>Y</math>, обумовлені лише груповою приналежністю, недостатні для встановлення упередженості.<ref>{{Cite journal |last=Ackerman |first=T. |year=1992 |title=A didactic explanation of item bias, item impact, and item validity from a multidimensional perspective |journal=Journal of Educational Measurement |language=en |volume=29 |pages=674–691 |doi=10.1111/j.1745-3984.1992.tb00368.x |url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED333014.pdf}}</ref><ref>{{Cite book |last=Lord |first=F. M. |year=1980 |title=Applications of Item Response Theory to Practical Testing Problems |language=en |location=Hillsdale, NJ |publisher=Lawrence Erlbaum |doi=10.4324/9780203056615 |isbn=0-89859-006-X |url=https://dokumen.pub/applications-of-item-response-theory-to-practical-testing-problems-089859006x-9780898590067.html |ref={{SfnRef|Лорд|1980}}}}</ref><ref name="MillsapEverson1993">{{Cite journal |last1=Millsap |first1=R. E. |last2=Everson |first2=H. T. |year=1993 |title=Methodological review: Statistical approaches for assessing measurement bias |journal=Applied Psychological Measurement |language=en |volume=17 |issue=4 |pages=297–334 |url=https://conservancy.umn.edu/bitstream/handle/11299/116371/1/v17n4p297.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20240424062637/https://conservancy.umn.edu/bitstream/handle/11299/116371/1/v17n4p297.pdf |archive-date=24 квітня 2024 |url-status=dead}}</ref>

Насправді, відмінності між групами за <math display=inline>\theta</math> чи здібностями поширені й становлять основу для численних досліджень. Щоби встановити упередженість або ДФЗ, групи мають бути зіставлені за <math display=inline>\theta</math>, а потім повинні продемонструвати диференційовані ймовірності за <math display=inline>Y</math> як функцію групової приналежності.

== Форми ==
'''Однорідне ДФЗ''' ({{lang-en|uniform DIF}}) — найпростіший тип ДФЗ, коли величина умовної залежності залишається відносно незмінною впродовж усього континууму латентної риси (<math display=inline>\theta</math>). Відповідне завдання стабільно надає перевагу одній групі на всіх рівнях здібності <math display=inline>\theta</math>.<ref>{{Cite journal |last=Walker |first=C. |year=2011 |title=What's the DIF? Why differential item functioning analyses are an important part of instrument development and validation |journal=Journal of Psychoeducational Assessment |language=en |volume=29 |pages=364–376 |doi=10.1177/0734282911406666}}</ref> У межах [[теорія відгуку завдання|теорії відгуку завдання]] (ТВЗ) це спостерігається тоді, коли обидві [[характеристична крива завдання|характеристичні криві завдання]] (ХКЗ, {{lang-en|item characteristic curves, ICC}}) мають однакові параметри розрізнювальності, проте відрізняються за параметрами складності (тобто <math display=inline>a_r = a_f</math> та <math display=inline>b_r < b_f</math>), як зображено на рисунку 1.<ref>{{Cite journal |authorlink=Гідеон Мелленберг |last=Mellenbergh |first=G. J. |year=1982 |title=Contingency table models for assessing item bias |journal=Journal of Educational Statistics |language=en |volume=7 |pages=105–118 |doi=10.3102/10769986007002105}}</ref>

Натомість, '''неоднорідне ДФЗ''' ({{lang-en|nonuniform DIF}}) є цікавішим випадком. На відміну від стабільної переваги, яку завдання надає референтній групі на всьому континуумі здібності, умовна залежність зміщується та змінює напрямок у різних місцях континууму <math display=inline>\theta</math>.<ref>{{Cite journal |last1=Walker |first1=C. M. |last2=Beretvas |first2=S. N. |last3=Ackerman |first3=T. A. |year=2001 |title=An examination of conditioning variables used in computer adaptive testing for DIF |journal=Applied Measurement in Education |language=en |volume=14 |pages=3–16 |doi=10.1207/S15324818AME1401_02}}</ref> Наприклад, завдання може надавати референтній групі незначну перевагу на нижньому кінці континууму, але значно більшу на верхньому. Крім того, на відміну від однорідного ДФЗ, у випадку неоднорідного ДФЗ завдання може водночас відрізнятися для двох груп за розрізнювальністю та за складністю (тобто <math display=inline>a_r \neq a_f</math> та <math display=inline>b_r < b_f</math>).

Ще складнішим випадком є '''«перехресне» неоднорідне ДФЗ''' ({{lang-en|"crossing" nonuniform DIF}}). Як показано на рисунку 2, таке явище виникає, коли завдання надає перевагу референтній групі на одному кінці континууму <math display=inline>\theta</math>, а фокусній групі — на іншому. Відмінності між ХКЗ вказують на те, що респонденти з цих двох груп, які мають однаковий рівень здібності, мають відмінні ймовірності правильно відповісти на завдання. Якщо криві відрізняються, але не перетинаються, це свідчить про однорідне ДФЗ. Проте, якщо ХКЗ перетинаються в якійсь точці шкали <math display=inline>\theta</math>, має місце неоднорідне ДФЗ.

{{gallery |align=center |width=462 |height=426 |noborder=yes
|File:Uniform DIF curve uk.png |''Рисунок 1.'' ХКЗ для однорідного ДФЗ
|File:Nonuni DIF ICC uk.png |''Рисунок 2.'' ХКЗ для неоднорідного ДФЗ
}}

== Процедури для виявляння ДФЗ ==

=== Процедура Ментела — Гензеля ===
Однією з поширених процедур для виявляння ДФЗ є підхід Ментела — Гензеля (МГ, {{lang-en|Mantel-Haenszel, MH}}).<ref>{{Cite journal |last1=Mantel |first1=N. |last2=Haenszel |first2=W. |year=1959 |title=Statistical aspects of the analysis of data from retrospective studies of disease |journal=Journal of the National Cancer Institute |language=en |volume=22 |pages=719–748 |url=https://www.medicine.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios602/b-d-II-ch-1-2-3/MantelandHaenszel-1959.pdf}}</ref> Процедура МГ — це підхід на основі таблиці спряженості [[критерій хі-квадрат|критерію хі-квадрат]], який аналізує відмінності між референтною та фокусною групами для всіх завдань тесту, одне за одним.<ref>{{Cite journal |last1=Marascuilo |first1=L. A. |last2=Slaughter |first2=R. E. |year=1981 |title=Statistical procedures for identifying possible sources of item bias based on 2 x 2 statistics |journal=Journal of Educational Measurement |language=en |volume=18 |issue=4 |pages=229–248 |doi=10.1177/014662169301700401}}</ref> Континуум здібності, визначений загальними тестовими оцінками, розділяють на <math display=inline>k</math> інтервалів, що потім слугує основою для зіставляння учасників обох груп.<ref name="HollandThayer1988">{{Cite book |last1=Holland |first1=P. W. |last2=Thayer |first2=D. T. |year=1988 |chapter=Differential item performance and the Mantel-Haenszel procedure |editor1-first=H. |editor1-last=Wainer |editor2-first=H. I. |editor2-last=Braun |title=Test Validity |language=en |pages=129–145 |location=Hillsdale, NJ |publisher=Erlbaum |isbn=9780203056905 |chapter-url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED272577.pdf}}</ref> На кожному з <math display=inline>k</math> інтервалів використовують [[таблиця спряженості|таблицю спряженості]] 2 × 2, щоби порівняти обидві групи на окремому завданні. Рядки таблиці спряженості відповідають груповій приналежності (референтна чи фокусна група), а стовпці — правильній чи неправильній відповіді. Наступна таблиця подає загальний вигляд для одного завдання на <math display=inline>k</math>-тому інтервалі здібності.

{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;"
|+ Досліджуване завдання
|-
! {{Diagonal split header|Група|Результат}} !! Правильно (1) !! Неправильно (0) !! Разом
|-
! Референтна
| <math display=inline>A_k</math> || <math display=inline>B_k</math> || <math display=inline>A_k + B_k</math>
|-
! Фокусна
| <math display=inline>C_k</math> || <math display=inline>D_k</math> || <math display=inline>C_k + D_k</math>
|-
! Разом
| <math display=inline>A_k + C_k</math> || <math display=inline>B_k + D_k</math> || <math display=inline>A_k + B_k + C_k + D_k</math>
|}

''Примітка.'' <math display=inline>A</math>, <math display=inline>B</math>, <math display=inline>C</math> і <math display=inline>D</math> відповідають спостережуваним частотам у відповідних клітинках. Індекс <math display=inline>k</math> відповідає інтервалу здібності.

==== Співвідношення шансів ====
Наступним кроком в розрахунку статистики МГ є використання даних із таблиці спряженості для отримання [[співвідношення шансів]] цих двох груп щодо досліджуваного завдання на певному інтервалі <math display=inline>k</math>. Це виражають через <math display=inline>p</math> і <math display=inline>q</math>, де <math display=inline>p</math> позначує [[співвідношення|частку]] правильних відповідей, а <math display=inline>q</math> — частку неправильних відповідей як для референтної (<math display=inline>R</math>), так і для фокусної (<math display=inline>F</math>) груп. У процедурі МГ отримуване співвідношення шансів позначують через <math display=inline>\alpha</math>, що може набувати значень від <math display=inline>0</math> до <math display=inline>\infty</math>. Значення <math display=inline>\alpha = 1.0</math> вказує на відсутність ДФЗ, тобто подібну успішність обох груп. Значення, більше за <math display=inline>1.0</math>, свідчить, що референтна група перевершила фокусну групу, або сприйняла завдання як менш складне порівняно з нею. З іншого боку, якщо отримане значення менше за <math display=inline>1.0</math>, це вказує, що завдання було менш складним для фокусної групи.<ref name="MillsapEverson1993" />

З використанням змінних із наведеної вище таблиці спряженості розрахунок виглядає так:
<math display=block>\alpha = \frac{p_{R_k} / q_{R_k}}{p_{F_k} / q_{F_k}} = \frac{(A_k / (A_k + B_k)) / (B_k / (A_k + B_k))}{(C_k / (C_k + D_k)) / (D_k / (C_k + D_k))} = \frac{A_k / B_k}{C_k / D_k} = \frac{A_{k}D_{k}}{B_{k}C_{k}}</math>

Наведений вище розрахунок стосується окремого завдання на конкретному інтервалі здібностей. Сукупнісну оцінку <math display=inline>\alpha</math> можливо розширити, щоби вона відображала загальне співвідношення шансів над усіма інтервалами здібності <math display=inline>k</math> для певного завдання. Загальний {{li|оцінювач співвідношення||Q7295738}} шансів позначують через <math display=inline>\alpha_{MH}</math> і обчислюють за формулою
<math display=block>\alpha_{MH} = \frac{\sum(A_{k}D_{k} / N_k)}{\sum(B_{k}C_{k} / N_k)}</math>
для всіх значень <math display=inline>k</math>, де <math display=inline>N_k</math> — загальний розмір вибірки на <math display=inline>k</math>-му інтервалі.

Отримане значення <math display=inline>\alpha_{MH}</math> часто стандартизують за допомогою логарифмічного перетворення, центруючи його навколо 0.<ref>{{Cite book |last1=Dorans |first1=N. J. |last2=Holland |first2=P. W. |year=1993 |chapter=DIF detection and description: Mantel-Haenszel and standardization |editor1-first=P. W. |editor1-last=Holland |editor2-first=H. |editor2-last=Wainer |title=Differential item functioning |language=en |pages=35–66 |location=Hillsdale, NJ |publisher=Erlbaum |isbn=0805809724 |chapter-url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED387526.pdf}}</ref> Новий перетворений оцінювач <math display=inline>{MH}_{D-DIF}</math> обчислюють так:
<math display=block>{MH}_{D-DIF} = -2.35 \ln \alpha_{MH}</math>
Відтак, отримане значення 0 вказуватиме на відсутність ДФЗ. Важливо зазначити, що знак «мінус» у цьому рівнянні змінює інтерпретацію значень, менших або більших за 0. Менші за 0 значення вказують на перевагу референтної групи, тоді як більші за 0 значення вказують на перевагу фокусної групи.

=== Теорія відгуку завдання ===
[[Теорія відгуку завдання]] (ТВЗ, {{lang-en|item response theory, IRT}}) — ще один широко використовуваний метод для оцінювання ДФЗ. ТВЗ дозволяє докладно аналізувати відгуки окремих завдань тесту або вимірювального інструменту. Як зазначено раніше, ДФЗ досліджує ймовірність правильної відповіді або схвалення завдання, залежно від латентної риси чи здібності. Оскільки ТВЗ аналізує [[монотонна залежність|монотонний]] зв'язок між відповідями та латентною рисою чи здібністю, цей підхід добре підходить для дослідження ДФЗ.<ref>{{Cite journal |last1=Steinberg |first1=L. |last2=Thissen |first2=D. |year=2006 |title=Using effect sizes for research reporting: Examples using item response theory to analyze differential item functioning |journal=Psychological Methods |language=en |volume=11 |issue=4 |pages=402–415 |doi=10.1037/1082-989X.11.4.402}}</ref>

Три основні переваги використання ТВЗ для виявляння ДФЗ:<ref>{{Cite book |last1=Camilli |first1=G. |last2=Shepard |first2=L. |year=1994 |title=Methods for identifying biased test items |language=en |location=Thousand Oaks, CA |publisher=Sage |isbn=978-0-8039-4415-2}}</ref>
* Порівняно з [[класична теорія тестування|класичною теорією тестування]], оцінки [[Параметр (математика)|параметрів]] у ТВЗ менш залежні від характеристик вибірки.
* Статистичні властивості завдань можливо виразити з більшою точністю, що підвищує точність інтерпретації ДФЗ між двома групами.
* Ці статистичні властивості завдань можливо виражати графічно, що покращує інтерпретовність і розуміння того, як завдання функціонують по-різному для різних груп.

Щодо ДФЗ, оцінки параметрів завдань обчислюють та аналізують графічно за допомогою [[характеристична крива завдання|характеристичних кривих завдання]] (ХКЗ, {{lang-en|item characteristic curves, ICC}}), також відомих як [[функція відгуку завдання|функції відгуку завдання]] (ФВЗ, {{lang-en|item response functions, IRF}}). Після огляду ХКЗ й виникнення підозри на ДФЗ застосовують статистичні процедури для перевірки відмінностей між оцінками параметрів.

ХКЗ подають математичні функції, що описують зв'язок між положенням на континуумі латентної риси та ймовірністю вибору певної відповіді.<ref>{{Cite journal |last1=Reise |first1=S. P. |last2=Ainsworth |first2=A. T. |last3=Haviland |first3=M. G. |year=2005 |title=Item response theory: Fundamentals, applications, and promise in psychological research |journal=Current Directions in Psychological Science |language=en |volume=14 |pages=95–101 |doi=10.1111/j.0963-7214.2005.00342.x}}</ref> На рис. 3 проілюстровано цей зв'язок у вигляді [[логістична функція|логістичної функції]]. Респонденти, що мають нижчий рівень латентної риси чи менші здібності, мають нижчу ймовірність правильної відповіді чи схвалення завдання, особливо якщо його складність зростає. Відтак, респонденти з вищими значеннями латентної риси чи здібності мають вищу ймовірність правильної відповіді чи схвалення завдання. Наприклад, в оцінюванні депресії респонденти з високим рівнем депресії матимуть більшу ймовірність схвалення відповідного твердження, ніж ті, хто має нижчий рівень депресії. Аналогічно, респонденти з вищими математичними здібностями мають вищу ймовірність правильної відповіді на математичне завдання порівняно з тими, в кого ці здібності нижчі.

Ще один важливий аспект ХКЗ стосується [[точка перегину|точки перегину]]. Це точка на кривій, де ймовірність певної відповіді дорівнює 0,5, а також де значення [[нахил]]у кривої максимальне.<ref>{{Cite journal |last1=Edelen |first1=M. O. |last2=Reeve |first2=B. B. |year=2007 |title=Applying item response theory (IRT) modeling to questionnaire development, evaluation, and refinement |journal=Quality of Life Research |language=en |volume=16 |pages=5–18 |doi=10.1007/s11136-007-9198-0 |url=https://www.researchgate.net/profile/Maria-Edelen/publication/6432794_Applying_Item_Response_Theory_IRT_modeling_to_questionnaire_development_evaluation_and_refinement/links/09e415092a186a0ccb000000/Applying-Item-Response-Theory-IRT-modeling-to-questionnaire-development-evaluation-and-refinement.pdf}}</ref> Точка перегину вказує, де ймовірність правильної відповіді або схвалення завдання стає вищою за 50 %, за винятком випадків, коли параметр <math display=inline>c</math> більший за 0, що тоді зміщує точку перегину на <math display=inline>1 + c / 2</math> (докладний опис наведено нижче). Точка перегину визначається складністю завдання, що відповідає значенням на континуумі здібності чи латентної риси.<ref>{{Cite book |last=DeMars |first=C. |year=2010 |title=Item response theory |language=en |location=New York |publisher=Oxford Press |isbn=978-0-19-537703-3}}</ref> Тож для простого завдання ця точка перегину може перебувати нижче за шкалою здібностей, тоді як для складного завдання — вище, за цією же шкалою.

{{gallery |align=center |width=582 |height=489 |noborder=yes
|File:ICC slope ip uk.png |''Рисунок 3.'' ХКЗ із точкою перегину та лінією нахилу
}}

Перш ніж представити статистичні процедури для перевірки відмінностей у параметрах завдань, важливо спершу надати загальне розуміння різних моделей оцінювання параметрів, та пов'язаних з ними параметрів. До них належать одно-, дво- та трипараметрові логістичні (ПЛ, {{lang-en|PL}}) моделі. Усі ці моделі виходять із наявності однієї латентної риси або здібності. Всі три моделі містять параметр складності завдання ({{lang-en|item difficulty}}), позначуваний через ''b''. У моделях 1ПЛ та 2ПЛ параметр ''b'' відповідає точці перегину на шкалі здібності, як зазначено вище. У випадку моделі 3ПЛ точка перегину відповідає <math display=inline>1 + c / 2</math>, де <math display=inline>c</math> — нижня асимптота (розглянута нижче). Теоретично значення параметра складності можуть варіюватися від -∞ до +∞; проте на практиці вони зазвичай не виходять за межі ±3. Вищі значення свідчать про складніші тестові завдання. Завдання з низькими значеннями <math display=inline>b</math> прості.<ref>{{Cite journal |last=Harris |first=D. |year=1989 |title=Comparison of 1-, 2-, 3-parameter IRT models |journal=Educational Measurement: Issues and Practice |language=en |volume=8 |pages=35–41 |doi=10.1111/j.1745-3992.1989.tb00313.x |url=https://learnlab.org/wiki/images/2/22/Harris-article.pdf}}</ref>

Ще одним оцінюваним параметром є параметр розрізнювальності ({{lang-en|discrimination}}), позначуваний через <math display=inline>a</math>. Цей параметр стосується здатності завдання розрізняти респондентів за рівнем їхньої здібності. Параметр <math display=inline>a</math> оцінюють у моделях 2ПЛ та 3ПЛ. У випадку моделі 1ПЛ цей параметр роблять рівним для всіх груп. У контексті ХКЗ параметр <math display=inline>a</math> це нахил у точці перегину. Як було зазначено раніше, нахил у цій точці максимальний. Значення параметра <math display=inline>a</math>, подібно до параметра <math display=inline>b</math>, можуть варіюватися від -∞ до +∞; проте типові значення зазвичай не перевищують 2. У цьому випадку вищі значення свідчать про сильніше розрізнювання між респондентами.<ref>{{Cite book |last=Baker |first=F. B. |year=2001 |title=The basics of item response theory |language=en |publisher=ERIC Clearinghouse on Assessment and Evaluation |isbn=1-886047-03-0 |url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED458219.pdf}}</ref>

Модель 3ПЛ містить додатковий параметр, відомий як ''відгадуваність'' ({{lang-en|guessing}}) або параметр псевдошансу ({{lang-en|pseudochance parameter}}), позначуваний через <math display=inline>c</math>. Він відповідає нижній [[асимптота|асимптоті]], що по суті враховує можливість того, що респондент може правильно відповісти на завдання середньої або високої складності, навіть якщо його рівень здібності низький. Значення параметра <math display=inline>c</math> варіюються в межах від 0 до 1, проте зазвичай не перевищують 0,3.<ref>{{Cite book |last=Birnbaum |first=A. |year=1968 |chapter=Some latent trait models and their use in inferring an examinee's ability |editor1-first=F. M. |editor1-last=Lord |editor2-first=M. R. |editor2-last=Novick |title=Statistical Theories of Mental Test Scores |language=en |location=Reading, MA |publisher=Addison-Wesley |pages=395–479 |isbn=9780394347714}}</ref>

При застосуванні статистичних процедур для оцінювання ДФЗ особливе зацікавлення становлять параметри <math display=inline>a</math> та <math display=inline>b</math> (розрізнювальність і складність). Проте припустімо, що використано модель 1ПЛ, у якій параметри <math display=inline>a</math> зафіксовано як рівні для обох груп, залишаючи лише оцінювання параметрів <math display=inline>b</math>. Після аналізу ХКЗ виявляється очевидна різниця в параметрах <math display=inline>b</math> між групами. З використанням методу, подібного до [[t-критерій Стьюдента|''t''-критерію Стьюдента]], наступним кроком є визначення, чи є ця різниця в складності статистично значущою. За нульової гіпотези:
<math display=inline>H_0: b_r = b_f</math>
{{harvtxt|Лорд|1980}} пропонує легко обчислювану й [[нормальний розподіл|нормально розподілену]] {{li|статистика критерію|статистику критерію|Q1461038}}:
<math display=block>d = \frac{b_r - b_f}{\text{SE} (b_r - b_f)}</math>
[[Стандартна похибка|Стандартну похибку]] ({{lang-en|standard error, SE}}) різниці між параметрами ''b'' обчислюють як
<math display=inline>\sqrt{ \left [ \text{SE}(b_r) \right ] ^2 + \left [ \text{SE}(b_f) \right ] ^2}</math>

==== Статистика Вальда ====
Проте в більшості випадків модель 2ПЛ чи 3ПЛ доречніша за допасовування до даних моделі 1ПЛ, й відтак на наявність ДФЗ слід перевіряти обидва параметри <math display=inline>a</math> та <math display=inline>b</math>. {{harvtxt|Лорд|1980}} запропонував інший метод для перевірки відмінностей у параметрах <math display=inline>a</math> та <math display=inline>b</math>, у якому параметри <math display=inline>c</math> фіксують як рівні для обох груп. Ця перевірка видає {{li|статистика Вальда|статистику Вальда|Q748664}}, яка підпорядковується [[розподіл хі-квадрат|розподілу хі-квадрат]]. У цьому випадку нульовою гіпотезою, яку перевіряють, є
<math display=inline>H_0 : a_r = a_f \text{і} b_r = b_f</math>.

Спершу для кожної з груп обчислюють [[коваріаційна матриця|коваріаційну матрицю]] 2 × 2 для оцінок параметрів, які позначують через <math display=inline>S_r</math> та <math display=inline>S_f</math> для референтної та фокусної груп відповідно. Ці коваріаційні матриці обчислюють шляхом обернення [[інформаційна матриця|інформаціних матриць]].
Далі різниці між оціненими параметрами формують у вектор 2 × 1, позначуваний через
<math display=inline>V' = (a_r - a_f, b_r - b_f)</math>.
Потім оцінюють коваріаційну матрицю <math display=inline>S</math> шляхом додавання <math display=inline>S_r</math> та <math display=inline>S_f</math>.
Використовуючи цю інформацію, обчислюють статистику Вальда наступним чином:
<math display=block>\chi^2 = {V'}S^{-1}V</math>
що оцінюють при 2 [[ступені вільності|ступенях вільності]].

==== Перевірка співвідношенням правдоподібностей ====
[[Перевірка співвідношенням правдоподібностей]] — це ще один метод на основі ТВЗ для оцінювання ДФЗ. Ця процедура передбачає порівняння співвідношення двох моделей. У моделі <math display=inline>M_c</math> параметри завдання фіксують як рівні або інваріантні між референтною та фокусною групами. У моделі <math display=inline>M_v</math> параметри завдання можуть вільно змінюватися.<ref>{{Cite journal |last1=Thissen |first1=D. |last2=Steinberg |first2=L. |last3=Gerrard |first3=M. |year=1986 |title=Beyond group differences: The concept of bias |journal=Psychological Bulletin |language=en |volume=99 |pages=118–128 |doi=10.1037/0033-2909.99.1.118}}</ref> [[Функція правдоподібності|Функцію правдоподібності]] під <math display=inline>M_c</math> позначують через <math display=inline>L_c</math>, тоді як функцію правдоподібності під <math display=inline>M_v</math> позначують через <math display=inline>L_v</math>. Завдання, які фіксують як рівні, слугують якірними завданнями для цієї процедури, тоді як підозрюваним на ДФЗ завданням дозволено вільно варіюватися.

Завдяки використанню якірних завдань та дозволу параметрам інших завдань варіюватися, можливо одночасно оцінювати ДФЗ для декількох завдань.<ref>{{Cite book |title=IRTPRO: User Guide |language=en |year=2011 |location=Lincolnwood, IL |publisher=Scientific Software International, Inc. |url=https://www.bockytech.com.tw/PDF-File/IRTPRO.pdf}}</ref> Проте, якщо співвідношення правдоподібностей вказує на потенційне ДФЗ, необхідний подальший покроковий аналіз кожного завдання, щоби визначити, які саме завдання, якщо не всі, містять ДФЗ.

Співвідношення правдоподібностей двох моделей обчислюють як
<math display=block>G^2 = 2 \ln \left [ L_v / L_c \right]</math>
Альтернативно, це співвідношення можливо виразити як
<math display=block>G^2 = - 2 \ln \left [ L_c / L_v \right ]</math>
де <math display=inline>L_v</math> та <math display=inline>L_c</math> міняються місцями, і знак їхнього логарифму змінюється на протилежний.

<math display=inline>G^2</math> наближено підпорядковується [[розподіл хі-квадрат|розподілу хі-квадрат]], особливо для великих вибірок. Тому його оцінюють відповідно до ступенів вільності, що відповідають кількості обмежень, необхідних для виведення обмеженої моделі з вільної.<ref>{{Cite book |last1=Thissen |first1=D. |last2=Steinberg |first2=L. |last3=Wainer |first3=H. |year=1993 |chapter=Detection of differential item functioning using the parameters of item response models |editor1-first=P. W. |editor1-last=Holland |editor2-first=H. |editor2-last=Wainer |title=Differential item functioning |language=en |pages=67–113 |location=Hillsdale, NJ |publisher=Lawrence Erlbaum |isbn=0805809724 |chapter-url=https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.4324/9780203357811-6/detection-differential-item-functioning-using-parameters-item-response-models-david-thissen-lynne-steinberg-howard-wainer |chapter-url-access=subscription}}</ref> Наприклад, якщо використовують модель 2ПЛ і обом параметрам <math display=inline>a</math> та <math display=inline>b</math> дозволено варіюватися в моделі <math display=inline>M_v</math>, але ці самі параметри незмінні в моделі <math display=inline>M_c</math>, то це співвідношення оцінюють при 2 ступенях вільності.

=== Логістична регресія ===
Методи виявляння ДФЗ за допомогою [[логістична регресія|логістичної регресії]] передбачають окремий аналіз для кожного завдання. Незалежні змінні, які включають до аналізу, — це групова приналежність, змінна зіставляння за здібністю (зазвичай загальна оцінка в тесті) та член взаємодії між цими двома. Цільовою залежною змінною є ймовірність або правдоподібність правильної відповіді чи схвалення завдання. Оскільки цільовий результат виражають через імовірності, відповідною процедурою є [[метод максимальної правдоподібності]].<ref>{{Cite book |last=Bock |first=R. D. |year=1975 |title=Multivariate statistical methods |language=en |location=New York |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-006305-1 |url=https://archive.org/details/multivariatestat00bock}}</ref> Цей набір змінних можливо виразити наступним регресійним рівнянням:
<math display=block>Y = \beta_0 + \beta_{1} M + \beta_{2} G + \beta_{3} MG</math>
де <math display=inline>\beta_0</math> відповідає {{li|y-відтин|відтину|Q287239}} або ймовірності відгуку, коли <math display=inline>M</math> та <math display=inline>G</math> дорівнюють 0, а інші коефіцієнти <math display=inline>\beta_s</math> відповідають ваговим коефіцієнтам для кожної незалежної змінної. Перша незалежна змінна, <math display=inline>M</math>, це змінна зіставляння, яку використовують для зіставлення респондентів за рівнем здібностей, у цьому випадку за загальною оцінкою в тесті, подібно до процедури Ментела — Гензеля. Змінну групової приналежності позначують через <math display=inline>G</math> і в контексті регресії подають за допомогою змінних [[фіктивне кодування|фіктивного кодування]]. Останній член <math display=inline>MG</math> відповідає взаємодії між двома вищезгаданими змінними.

Для цієї процедури змінні вводять ієрархічно. Відповідно до структури наведеного вище регресійного рівняння, змінні вводять у такій послідовності: змінна зіставлення <math display=inline>M</math>, змінна групування <math display=inline>G</math> та змінна взаємодії <math display=inline>MG</math>. Визначення ДФЗ здійснюють шляхом оцінювання отриманої статистики хі-квадрат із 2 ступенями вільності. Додатково перевіряють статистичну значущість оцінок параметрів.

Ці результати логістичної регресії вказуватимуть на ДФЗ, якщо респонденти, зіставлені за здібністю, мають статистично значущі відмінності у ймовірності правильної відповіді на завдання, й відтак відмінні криві логістичної регресії. І навпаки, якщо криві для обох груп збігаються, то завдання вважають неупередженим, й відтак ДФЗ відсутнє. Що ж до однорідного й неоднорідного ДФЗ, якщо параметри змінних відтину й зіставлення для обох груп не рівні, це свідчить про однорідне ДФЗ. Проте, якщо параметр взаємодії ненульовий, це є ознакою неоднорідного ДФЗ.<ref>{{Cite journal |last1=Swaminathan |first1=H. |last2=Rogers |first2=H. J. |year=1990 |title=Detecting differential item functioning using logistic regression procedures |journal=Journal of Educational Measurement |language=en |volume=27 |pages=361–370 |doi=10.1111/j.1745-3984.1990.tb00754.x}}</ref>

== Аспекти ==

=== Розмір вибірки ===
Перший аспект, який слід враховувати, стосується розміру вибірки, зокрема щодо референтної та фокусної груп. Перед проведенням будь-якого аналізу зазвичай уже відома інформація про кількість осіб у кожній з груп, наприклад, кількість чоловіків і жінок або представників різних етнічних/расових груп. Проте головне питання полягає в тому, чи достатня кількість осіб у кожній з груп для забезпечення належної [[статистична потужність|статистичної потужності]] для встановлення ДФЗ. У деяких випадках, наприклад, щодо етнічної приналежності, може спостерігатися нерівність розмірів груп, коли, наприклад, білі становлять значно більшу вибірку порівняно з кожною окремою етнічною групою. Тому в таких випадках може бути доцільним модифікувати або коригувати дані, щоби порівнювані щодо ДФЗ групи були насправді рівними чи ближчими за розміром.

Загальноприйнятою практикою для вирівнювання диспропорцій розмірів референтної та фокусної груп є [[фіктивне кодування]] або перекодування. В такому випадку всі небілі етнічні групи може бути об'єднано в одну, щоби створити відносно рівні вибірки для референтної та фокусної груп. Це дозволяє провести аналіз ДФЗ у форматі порівняння «більшість/меншість». Якщо такі модифікації не буде зроблено, а процедуру оцінювання ДФЗ буде проведено на нерівних вибірках, можливо, статистичної потужності буде недостатньо для виявлення ДФЗ, навіть якщо воно справді існує між групами.

Ще одним аспектом, пов'язаним із розміром вибірки, є вибір статистичної процедури для виявляння ДФЗ. Окрім аспекту розмірів референтної та фокусної груп, необхідно також враховувати певні характеристики самої вибірки, щоби вона відповідала припущенням кожної статистичної перевірки, яку використовують для виявляння ДФЗ.

Наприклад, застосування підходів [[теорія відгуку завдання|ТВЗ]] може вимагати значно більших вибірок порівняно з процедурою Ментела — Гензеля. Це важливо, оскільки дослідження розміру груп може спрямовувати вибір до тієї чи іншої процедури. У підході логістичної регресії особливу увагу слід приділяти [[важільність|важільним значенням]] та [[викид (статистика)|викидам]], які необхідно проаналізувати перед виявлянням ДФЗ. Крім того, як і з будь-яким аналізом, необхідно дотримуватися припущень статистичних перевірок. Деякі процедури стійкіші до незначних порушень припущень, тоді як інші — менш стійкі. Тому перед застосуванням будь-яких процедур ДФЗ слід дослідити характер розподілу відповідей вибірки.

=== Завдання ===
При виявлянні ДФЗ необхідно визначити кількість завдань, які підлягатимуть аналізу. Стандарту, скільки завдань слід використовувати для виявляння ДФЗ, не існує, оскільки це залежить від конкретного дослідження. У деяких випадках доцільно перевіряти на ДФЗ усі завдання, тоді як в інших це може бути непотрібним. Якщо є обґрунтовані підстави підозрювати ДФЗ лише в окремих завданнях, доцільніше перевіряти саме їх, а не весь набір. Проте часто складно просто припустити, які завдання можуть бути проблемними. З цієї причини зазвичай рекомендують перевіряти на ДФЗ всі тестові завдання одночасно. Це забезпечуватиме інформацію про всі завдання, проливаючи світло як на проблемні завдання, так і на ті, що функціонують подібно як для референтної, так і для фокусної групи.

Щодо статистичних перевірок, деякі процедури, як-от правдоподібнісна перевірка ТВЗ, потребують використання якірних завдань. У такому випадку деякі завдання фіксують як рівні для обох груп, тоді як підозрюваним на ДФЗ завданням дозволяють вільно варіюватися. У цій ситуації лише частину завдань буде ідентифіковано як такі, що мають ДФЗ, тоді як решта слугуватиме контрольною групою для виявлення ДФЗ. Після встановлення завдань із ДФЗ можливо також проаналізувати і якірні завдання, зафіксувавши первинно встановлені завдання з ДФЗ і дозволивши первинно якірним завдання варіюватися.

Таким чином, тестування всіх завдань одночасно може бути ефективнішим підходом. Втім, як зазначено вище, залежно від застосованої процедури можливе використання різних методів відбору завдань для перевірки на ДФЗ.

Окрім визначення кількості завдань, які використовують для виявлення ДФЗ, важливим є також встановлення загальної кількості завдань у самому тесті або вимірювальному інструменті. Як зазначає Зумбо (1999),<ref>{{cite book |last=Zumbo |first=B.D. |year=1999 |title=A Handbook on the Theory and Methods of Differential Item Functioning (DIF) |language=en | location=Ottawa, Canada |publisher=Directorate of Human Resources Research and Evaluation, {{li|Штаб національної оборони (Канада)|NDHQ|Q1769283}} |url=https://www.researchgate.net/publication/242099921_A_Handbook_on_the_Theory_and_Methods_of_Differential_Item_Functioning_DIF}}</ref> мінімальна рекомендована кількість завдань становить 20. Обґрунтування цього мінімуму безпосередньо пов'язане з формуванням критеріїв зіставлення. Як зазначено в попередніх розділах, як метод для зіставлення респондентів за рівнем здібностей зазвичай використовують загальну оцінку в тесті. Її зазвичай поділяють на 3—5 рівнів здібності (<math display=inline>k</math>), які відтак використовують для зіставлення респондентів за здібністю перед процедурами аналізу ДФЗ. Використання щонайменше 20 завдань забезпечує більшу варіативність у розподілі оцінок, що сприяє створенню змістовніших груп за рівнем здібності.

Хоча психометричні характеристики тесту повинно бути оцінено ще до його використання, важливо, щоби його [[валідність тесту|валідність]] і [[надійність (психометрія)|надійність]] були достатніми. Завдання тесту повинні точно відображати досліджуваний конструкт, щоби забезпечити виведення змістовних груп за рівнем здібності. Звісно, не слід роздувати коефіцієнти надійності просто додаванням надмірних завдань. Головне — забезпечити валідний і надійний вимірювальний інструмент із достатньою кількістю завдань для формування змістовних груп зіставлення. Більше інформації про сучасні підходи до структурної валідації та точніші й змістовніші методи оцінювання надійності пропонують Ґадерманн зі співавт. (2012),<ref>{{Cite journal |last1=Gadermann |first1=A. M. |last2=Guhn |first2=M. |last3=Zumbo |first3=B. D. |year=2012 |title=Estimating ordinal reliability for Likert-type and ordinal item response data: A conceptual, empirical, and practical guide |journal=Practical Assessment, Research & Evaluation |language=en |volume=17 |issue=3 |pages=1–13 |doi=10.7275/n560-j767 |url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ977577.pdf |doi-access=free}}</ref> Ревелль і Зінбарґ (2009),<ref>{{Cite journal |last1=Revelle |first1=W. |last2=Zinbarg |first2=R. E. |year=2009 |title=Coefficients alpha, beta, omega, and the GLB: Comments on Sijtsma |journal=Psychometrika |language=en |volume=74 |issue=1 |pages=145–154 |doi=10.1007/s11336-008-9102-z |url=https://personality-project.org/revelle/publications/revelle.zinbarg.08.pdf}}</ref> та Джон і Сото (2007).<ref>{{Cite book |last1=John |first1=O. P. |last2=Soto |first2=C. J. |year=2007 |chapter=The importance of being valid: Reliability and the process of construct validation |editor1-first=R. W. |editor1-last=Robins |editor2-first=R. C. |editor2-last=Fraley |editor3-first=R. F. |editor3-last=Krueger |title=Handbook of research methods in personality psychology |language=en |pages=461–494 |location=New York, NY |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-59385-111-8 |chapter-url=https://www.researchgate.net/publication/232525744_The_importance_of_being_valid_Reliability_and_the_process_of_construct_validation |url=http://www.personpsy.org/uploadfiles/file/books/Richard%20W.%20Robins,%20R.%20Chris%20Fraley,%20Robert%20F.%20Krueger%20-%20Handbook%20of%20Research%20Methods%20in%20Personality%20Psychology%20(2007).pdf}}</ref>

=== Збалансовування статистики й міркування ===
Як і в усіх {{li|психологічне дослідження|психологічних дослідженнях|Q7256388}} і психометричних оцінюваннях, [[статистика]] відіграє ключову роль, але в жодному разі не повинна бути єдиною основою для ухвалення рішень та формування висновків. При оцінюванні завдань на ДФЗ критично важливе раціональне судження. Наприклад, залежно від статистичної процедури, яку використовують для виявлення ДФЗ, можливе отримання різних результатів. Деякі процедури точніші, тоді як інші — не такі точні. Наприклад, процедура Ментела — Гензеля вимагає від дослідника побудови рівнів здібності на основі загальних оцінок за тестом, тоді як ТВЗ ефективніше розташовує респондентів уздовж континууму латентної риси чи здібності. Таким чином, одна процедура може вказувати на ДФЗ у певних завданнях, тоді як інші — ні.

Ще одним питанням є те, що іноді ДФЗ може бути виявлене, але не завжди є очевидне пояснення, чому воно має місце. У цьому контексті особливо важливим стає раціональне судження. Особливо в плані розуміння, чому виникає однорідне та неоднорідне ДФЗ.<ref name="HollandThayer1988" /> Дослідник мусить використовувати здоровий глузд для осмислення результатів аналізу ДФЗ. Недостатньо просто констатувати, що завдання функціонує по-різному для різних груп; необхідно надати якісне обґрунтування того, чому це відбувається.

Однорідне ДФЗ виникає, коли одна група має стабільну перевагу над іншою на всіх рівнях здібності. Такий тип упередженості часто можливо усунути шляхом використання окремих тестових норм для різних груп, щоби забезпечити справедливість оцінювання. Неоднорідне ДФЗ, з іншого боку, є складнішим випадком, оскільки перевага змінюється залежно від рівня здібності респондентів. До неоднорідного ДФЗ можуть докладатися такі чинники як соціально-економічний статус, культурні відмінності, мовні бар'єри та нерівність у доступі до знань. Виявлення та усунення неоднорідного ДФЗ вимагає глибшого розуміння когнітивних процесів, що лежать в основі виконання тестових завдань, і може потребувати спеціальних втручань для забезпечення справедливих практик оцінювання.

У дослідженнях ДФЗ поширеним є виявлення окремих завдань із ДФЗ, що вказує на потенційні проблеми, які потребують уважного вивчення. Проте наявність ДФЗ у певних завданнях не означає автоматично, що упередженим є весь тест. Натомість це сигналізує, що конкретні завдання можуть бути упередженими й потребують уваги для збереження цілісності й справедливості тесту для всіх респондентів. Встановлення завдань із ДФЗ пропонує можливість перегляду, потенційного коригування чи вилучення проблемних завдань, що сприяє забезпеченню рівноправного оцінювання. Тому аналіз ДФЗ слугує цінним інструментом для аналізу завдань, особливо коли його доповнюють якісним дослідженням спричинювальних чинників.

== Статистичне програмне забезпечення ==
Нижче наведено поширені статистичні програми, здатні виконувати процедури, розглянуті в цій статті. Перейшовши за посиланням на {{li|перелік статистичних пакетів||Q494735}}, можна ознайомитися з повним переліком відкритого, безкоштовного та комерційного статистичного програмного забезпечення.

'''Процедура Ментела — Гензеля'''
* ''[[SPSS]]''
* ''{{li|SAS (програмне забезпечення)|SAS|Q2003932}}''
* ''[[Stata]]''
* ''[[R (мова програмування)|R]]'' (наприклад, пакет ''difR''<ref name="difR" />)
* ''{{li|SYSTAT (статистичний пакет)|Systat|Q117882}}''
* ''{{li|Lertap 5||Q132862713}}''

'''Процедури на основі ТВЗ'''
* ''{{li|BILOG-MG||Q132862841}}''
* ''{{li|MULTILOG||Q132862853}}''
* ''{{li|PARSCALE||Q132862860}}''
* ''{{li|TESTFACT||Q132862870}}''
* ''EQSIRT''
* ''[[R (мова програмування)|R]]'' (наприклад, пакети ''difR''<ref name="difR" /> та ''mirt''<ref name="mirt" />)
* ''IRTPRO''

'''Логістична регресія'''
* ''[[SPSS]]''
* ''{{li|SAS (програмне забезпечення)|SAS|Q2003932}}''
* ''[[Stata]]''
* ''[[R (мова програмування)|R]]'' (наприклад, пакет ''difR''<ref name="difR" />)
* ''{{li|SYSTAT (статистичний пакет)|Systat|Q117882}}''

== Див. також ==
* {{li|Інваріантність вимірювання||Q6804207}}

== Примітки ==
{{reflist|refs=
<ref name="difR">{{cite journal|last1=Magis|first1=David|last2=Béland|first2=Sébastien|last3=Tuerlinckx|first3=Francis|last4=De Boeck|first4=Paul|title=A general framework and an R package for the detection of dichotomous differential item functioning|journal=Behavior Research Methods|language=en|date=2010|volume=42|issue=3|pages=847–862|doi=10.3758/BRM.42.3.847|pmid=20805607|doi-access=free}}</ref>
<ref name="mirt">{{cite journal|last1=Chalmers|first1=R. P.|title=mirt: A Multidimensional Item Response Theory Package for the R Environment|journal=Journal of Statistical Software|language=en|date=2012|volume=48|issue=6|pages=1–29|doi=10.18637/jss.v048.i06|doi-access=free}}</ref>
}}

[[Категорія:Психометрія]]
[[Категорія:Освітнє оцінювання]]


text:
# Наварро (округ, Аргентина)
Округ Нава́рро (ісп. Navarro) — адміністративно-територіальна одиниця 2-ого рівня у провінції Буенос-Айрес в центральній Аргентині. Адміністративний центр округу — Наварро (ісп. Navarro).
Населення округу становить 17054 особи (2010). Площа — 1630 кв. км.

## Історія
Округ заснований у 1798 році.

## Населення
У 2010 році населення становило 17054 особи. З них чоловіків — 8471, жінок — 8583.

## Політика
Округ належить до 1-ого виборчого сектору провінції Буенос-Айрес.

wikiname: ukwiki

title: Наварро (округ, Аргентина)

in_language: uk

wikitext:
{{Otherplaces|Наварро}}
{{Адміністративна одиниця
|назва             = Наварро
|місцева_назва     = Navarro
|розташування        = Argentina - Buenos Aires - Navarro.svg
|розташування_підпис = Розташування на карті провінції Буенос-Айрес
|розташування_розмір = 250px
|тип_центра        = адміністративний центр
|центр             = Наварро
|країна            = Аргентина
|тип_регіону       = провінція
|регіон            = Буенос-Айрес
|тип_підрозділів   = муніципалітети
|підрозділи        =
|офіційна_мова     = іспанська мова
|населення         = 17054 (2010)
|щільність_населення    = 10,46
|площа             = 1630
|часовий_пояс      = [[Аргентинський час]] ([[UTC−3]])

|тип_заснування = заснований
|заснований = 1798

|титул_голови_уряду   = індендант
|голова_уряду         = Santiago Alejandro Maggiotti (Frente de Todos)
|тип_коду_iso    = INDEC
|код_iso         = 06574/ 060574
|тип_скорочення  = Код IFAM
|скорочення      = BUE087
}}

'''Округ Нава́рро''' ({{lang-es|Navarro}}) — адміністративно-територіальна одиниця 2-ого рівня у [[Буенос-Айрес (провінція)|провінції Буенос-Айрес]] в центральній [[Аргентина|Аргентині]]. Адміністративний центр округу — [[Наварро (місто)|Наварро]] ({{lang-es|Navarro}}).

Населення округу становить 17054 особи (2010)<ref>{{cita web |url=https://www.indec.gob.ar/ftp/censos/2010/CuadrosDefinitivos/P1-P_Buenos_Aires.xls|title=Cuadro P1-P. Provincia de Buenos Aires. Población total y variación intercensal absoluta y relativa por partido. Años 2001-2010 |year=2011|author=INDEC|format=PDF|accessdate=1 жовтня 2020}}.</ref>. Площа — 1630 кв. км.

== Історія ==

Округ заснований у [[1798]] році<ref>{{cita web
|url = http://www.bapro.com.ar/citab/estadisticas/01%20GENERALIDADES/0104%20CREACION%20PARTIDOS%20.pdf
|title = Fechas de creación de partidos y localidades cabeceras de la provincia de Buenos Aires
|accessdate= 7 серпня 2010
|author = Banco de la Provincia de Buenos Aires
|format=PDF
}}</ref><!-- Коли призначили першого мера -->.

== Населення ==

{{Historical populations
|width = 10em
|shading = off
|percentages = on
|align = left
|1869 |6347
|1881 |8062
|1895 |8628
|1914 |11234
|1947 |13557
|1960 |12763
|1970 |12472
|1980 |12197
|1991 |13764
|2001 |15797
|2010 |17054
|footnote=Джерело: [http://www.ec.gba.gov.ar/Estadistica/Poblacion%20por%20sexo%20Censos1869-2010.xls Dirección Provincial de Estadística de Buenos Aires]
}}

У 2010 році населення становило 17054 особи. З них чоловіків — 8471, жінок — 8583<ref>{{cita web|url=http://www.ec.gba.gov.ar/Estadistica/Poblacion%20por%20sexo%20Censos1869-2010.xls|title=Población de la provincia de Buenos Aires registrada en los Censos Nacionales y en el Censo Provincial de 1881, por partido según sexo|author=Dirección Provincial de Estadística de Buenos Aires|format=XLS|accessdate=16 лютого 2013|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160303200855/http://www.ec.gba.gov.ar/Estadistica/Poblacion%20por%20sexo%20Censos1869-2010.xls|archivedate=3 березня 2016}}</ref>.

== Політика ==

Округ належить до [[Виборчі сектори провінції Буенос-Айрес|1-ого виборчого сектору]] провінції Буенос-Айрес.

== Примітки ==

{{reflist|1}}

{{Буенос-Айрес (провінція)}}

{{Argentina-geo-stub}}

[[Категорія:Округи провінції Буенос-Айрес]]
[[Категорія:Засновані в Південній Америці 1798]]
[[Категорія:Засновані в Аргентині 1881]]

title: Navarro

Герб: Прапор

адміністративний центр: Наварро

Країна: Аргентина

провінція: Буенос-Айрес

Офіційна мова: іспанська мова

Часовий пояс: Аргентинський час (UTC−3)


text:
# Ґаурікунд
Ґаурікунд (англ. Gaurikund або Gauri Kund, гінді ऋषिकेश) — невеличке селище в Гімалаях, в індійському штаті Уттаракханд. Селище розташоване на кінці ґрунтової дороги на маршруті, яким паломники та туристи направляються до священного містечка Кедарнатх та храмів Панч-Кедар. Постійне населення міста незначне, але улітку тут постійно перебуває велика кількість відвідувачів, що зупиняються по дорозі. Ґаурікунд і сам є місцем паломництва, а у місті є гаряче джерело, заради якого до нього прибувають деякі відвідувачі.
Легенди зв'язують Ґаурікунд з дружиною Шиви, Парваті, також відомій як Ґаурі. За місцевою легендою, з метою завоювати любов Шиви, Парваті займалася різноманітними релігійними обрядами та вправами. Саме тут вона займалася цим, і саме тут Шива визнав свою любов до неї. Вони одружилися у селищі Тріюґінараян неподалік.
Інша пов'язана з селищем легенда розповідає про те, як Ганеша отримав слонячу голову. Коли Парваті купалася в гарячому джерелі, вона створила Ганешу з піни на своєму тілі, вдихнула в нього життя та поставила сторожити себе. Коли Шива прибув до містечка, Ганеша спробував зупинити його. Не звиклий до такого відношення до себе, Шива відсік голову Ганеші. Але Парваті не могла примиритися з втратою сина і змусила Шиву повернути хлопчика до життя. Але Шива зумів лише приставити до тіла голову слона, що надало Ганеші вигляду, під яким його знають зараз.

title: Ґаурікунд

wikitext:
{{Infobox Settlement
 | official_name = Ґаурікунд
| native_name = ''Gaurikund''
 | nickname =
 | motto =
 | image_skyline =
 | image_flag =
 | image_seal =
 | image_dot_map =
 | dot_mapsize =
 | dot_x =
 | dot_y =
 | dot_map_caption =
 | pushpin_map_caption = Розташування міста на мапі штату [[Уттаракханд]]
 | pushpin_map = Уттаракханд
 | subdivision_type = Країна
 | subdivision_type1 = Штат
 | subdivision_type2 = Округ
 | subdivision_name = [[Індія]]
 | subdivision_name1 = [[Уттаракханд]]
 | subdivision_name2 = [[Деградун (округ)|Деградун]]
 | established_title =
 | established_date =
 | established_title2 =
 | established_date2 =
 | government_type =
 | leader_title =
 | leader_name =
 | area_magnitude =
 | area_total_sq_mi =
 | area_total_km2 =
 | area_land_sq_mi =
 | area_land_km2 =
 | area_water_sq_mi =
 | area_water_km2 =
 | area_urban_sq_mi =
 | area_urban_km2 =
 | area_metro_km2 =
 | area_metro_sq_mi =
 | population_as_of= 2001
 | population_footnotes =
 | population_total =
 | population_urban =
 | population_metro =
 | population_density_sq_mi =
 | population_density_km2 =
 | timezone = [[UTC+5:30]]
 | utc_offset =
 | timezone_DST =
 | utc_offset_DST =
 | latd = 30 | latm = 39 | lats =  | latNS = N
 | longd = 79 | longm = 1 | longs =  | longEW = E
 | elevation_footnotes=
 | elevation_ft =
 | elevation_m = 2000
 | website =
 | footnotes =
}}
'''Ґаурікунд''' ({{lang-en|Gaurikund}} або ''Gauri Kund'', {{lang-hi|ऋषिकेश}}) — невеличке селище в [[Гімалаї|Гімалаях]], в [[індія|індійському]] штаті [[Уттаракханд]]. Селище розташоване на кінці ґрунтової дороги на маршруті, яким паломники та туристи направляються до священного містечка [[Кедарнатх (місто)|Кедарнатх]] та храмів [[Панч-Кедар]]. Постійне населення міста незначне, але улітку тут постійно перебуває велика кількість відвідувачів, що зупиняються по дорозі. Ґаурікунд і сам є місцем паломництва, а у місті є гаряче джерело, заради якого до нього прибувають деякі відвідувачі.

Легенди зв'язують Ґаурікунд з дружиною [[Шива|Шиви]], [[Парваті]], також відомій як Ґаурі. За місцевою легендою, з метою завоювати любов Шиви, Парваті займалася різноманітними релігійними обрядами та вправами. Саме тут вона займалася цим, і саме тут Шива визнав свою любов до неї. Вони одружилися у селищі [[Тріюґінараян]] неподалік.

Інша пов'язана з селищем легенда розповідає про те, як [[Ганеша]] отримав слонячу голову. Коли Парваті купалася в гарячому джерелі, вона створила Ганешу з піни на своєму тілі, вдихнула в нього життя та поставила сторожити себе. Коли Шива прибув до містечка, Ганеша спробував зупинити його. Не звиклий до такого відношення до себе, Шива відсік голову Ганеші. Але Парваті не могла примиритися з втратою сина і змусила Шиву повернути хлопчика до життя. Але Шива зумів лише приставити до тіла голову слона, що надало Ганеші вигляду, під яким його знають зараз.

== Посилання ==
* [http://members.virtualtourist.com/m/a0c0c/10c2e2/ Gaurikund] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080519203159/http://members.virtualtourist.com/m/a0c0c/10c2e2/ |date=19 травня 2008 }} ''virtual Tourist''
* [http://personal.carthage.edu/jlochtefeld/picturepages/pilggaurikund.html Gauri Kund] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090130031339/http://personal.carthage.edu/jlochtefeld/picturepages/pilggaurikund.html |date=30 січня 2009 }} ''James G. Lochtefeld''

{{India-geo-stub}}

[[Категорія:Міста штату Уттаракханд]]

title: Координати: 30°39′ пн. ш. 79°1′ сх. д. / 30.650° пн. ш. 79.017° сх. д.

Країна: Індія

Штат: Уттаракханд

Округ: Деградун

ҐаурікундРозташування міста на мапі штату Уттаракханд


text:
# Монторіо-Романо
Монторіо-Романо (італ. Montorio Romano) — муніципалітет в Італії, у регіоні Лаціо,  метрополійне місто Рим-Столиця.
Монторіо-Романо розташоване на відстані близько 38 км на північний схід від Рима.
Населення — 2004 особи (2014).
Щорічний фестиваль відбувається 6 листопада. Покровитель — San Leonardo.

## Демографія
Населення за роками:

Станом на 1 січня 2023 року в муніципалітеті офіційно проживав 231 іноземець з 20 країн, серед них 81 громадянин країн Євросоюзу та 7 громадян України.

## Сусідні муніципалітети
- Монтефлавіо
- Монтелібретті
- Мориконе
- Нерола
- Скандрилья

title: Монторіо-Романо

wikitext:
{{Комуна Італії
 | назва         = Монторіо-Романо
 | місцева_назва = Montorio Romano
 | герб          =
 | регіон        = LAZ <!-- Лише 3-літерний КОД -->
 | провінція     = RM <!-- Лише 2-літерний КОД -->
 | latd   = 42
 | latm   = 8
 | lats   = 0
 | longd  = 12
 | longm  = 48
 | longs  = 0
 | висота = 575
 | населення     = 1929
 | рік_насел     = 01-01-2023
 | площа         = 23,03
 | густота       = 82,5
 | поштові_індекси  = 00010
 | телефонний_код = 0774
 | код_ISTAT     = 058066
 | покровитель   = San Leonardo
 | мер           = Domenico Di Bartolomeo
 | обраний       = 30/05/2006
 | www           =
}}

'''Монторіо-Романо''' ({{lang-it|Montorio Romano}}) — [[муніципалітет]] в [[Італія|Італії]], у регіоні [[Лаціо]],  [[Рим-Столиця (метрополійне місто)|метрополійне місто Рим-Столиця]].

Монторіо-Романо розташоване на відстані<ref>Фізичні відстані та напрямки розраховані за координатами муніципалітетів</ref> близько 38 км на північний схід від [[Рим|Рима]].

Населення — {{formatnum:2004}} {{МНОЖИНА:2004|особа|особи|осіб}} (2014)<ref name="dem1">{{cite web |url=http://www.demo.istat.it/bil2014/index.html |title=Демографічний баланс 2014 року та населення на 31 грудня |publisher=[[ISTAT]] |accessdate=25 грудня 2014 |archive-date=26 червня 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150626150429/http://demo.istat.it/bil2014/index.html }}{{ref-it}}</ref>.
Щорічний фестиваль відбувається 6 листопада. Покровитель — San Leonardo.

== Демографія ==
{{Демографія/Montorio Romano}}
{{Іноземці в Італії | назва=Монторіо-Романо | дата=1 січня 2023 року
 | всього=231 | країн=20 | Укр=7 | ЄС=81 | таблиця= | країна1=[[Румунія|Румунії]]
 | примітка=<ref>{{cite web| url=https://demo.istat.it/app/?i=RCS&l=en
  | title=Resident population by sex, municipality and citizenship | language=англ.
  | trans_title=Постійне населення за статтю, муніципалітетом і громадянством
  | publisher=[[ISTAT]]| accessdate=12 червня 2024}}</ref>
}}

== Сусідні муніципалітети ==

* [[Монтефлавіо]]
* [[Монтелібретті]]
* [[Мориконе]]
* [[Нерола]]
* [[Скандрилья]]

== Див. також ==
* [[Список муніципалітетів метрополійного міста Рим-Столиця]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Italy-geo-stub}}
{{Провінція Рим}}
{{Noimg}}

title: Монторіо-Романо · Montorio Romano

Країна: Італія

Регіон: Лаціо

Провінція: Рим

title: Розміщення

Розміщення: Commune

title: Влада

Мер: Domenico Di Bartolomeo (30/05/2006)