text:
# Sachem
Sachem – nowela autorstwa Henryka Sienkiewicza, opublikowana na łamach dziennika „Słowo” w 1883 (po powrocie pisarza z podróży po Stanach Zjednoczonych). W 1889 wydana została w Pismach Henryka Sienkiewicza (tom XIX).

## Opis fabuły
Nowela opisuje losy indiańskiej osady o nazwie Chiavatta zniszczonej przez bezwzględnych białych (Niemców). Na jej miejscu powstała miejscowość Antylopa, w której życie toczyło się niezwykle przyjemnie, mieszkańcy jednak nie mieli świadomości, że ich siedziba położona jest na zgliszczach osady Indian. Pewnego dnia do Antylopy przyjechał z przedstawieniem cyrk. Miał w nim wystąpić sachem – wódz plemienia Czarnych Węży żyjącego niegdyś w Chiavatcie, ostatni z potomków wodza Czarnych Węży. Kiedy nadszedł czas występu wodza, zaczął on nieoczekiwanie śpiewać pieśń wojenną, lecz nie w języku indiańskim a niemieckim, był bowiem od dziecka wychowywany przez niemieckich pracowników cyrku. Widzowie zaczęli się bać, bowiem pieśń początkowo opisująca szczęśliwe życie Chiavatty, przekształciła się w opowieść o masakrze która się tam wydarzyła – Niemcy nocą zakradli się do Chiavatty i wymordowali wszystkich jej mieszkańców: kobiety, dzieci i starców, z wyjątkiem wojowników, którzy poszli na polowanie i jednego małego chłopca, który dziedziczył tron po Czarnym Sępie.
Wszyscy wpadli w panikę, słysząc koniec pieśni brzmiący: Z całego pokolenia zostało jedno dziecko. Było ono małe i słabe, ale przysięgło duchowi ziemi, że się zemści. Że ujrzy trupy białych mężów, niewiast, dzieci – pożogę, krew! i widząc, jak sachem wskakuje na drewnianego kozła stojącego pod żyrandolem z lampami naftowymi i unosi drąg jakby w zamiarze strącenia żyrandola i spalenia całego cyrku. Kiedy sachem nagle zniknął z pola widzenia, wśród zaskoczonej widowni zapadła śmiertelna cisza. Po chwili jednak pojawił się znowu, tym razem z blaszaną miską, prosząc o zapłatę za występ. Cała scena była w programie przedstawienia. Zebrani z ulgą zaczęli wrzucać pieniądze do miski.

title: Sachem

wikitext:
{{Książka infobox
 |tytuł             = Sachem
 |tytuł oryginalny  =
 |grafika           =
 |opis grafiki      =
 |alt grafiki       =
 |autor             = [[Henryk Sienkiewicz]]
 |tematyka          =
 |typ utworu        = [[nowela]]
 |data powstania    =
 |miejsce wydania   =
 |język             = [[Język polski|polski]]
 |data wydania      = 1883
 |wydawca           =
 |poprzednia        =
 |następna          =
 |commons           =
 |wikiźródła        = Sachem
 |wikicytaty        =
}}
'''Sachem''' – [[nowela]] autorstwa [[Henryk Sienkiewicz|Henryka Sienkiewicza]], opublikowana na łamach dziennika „[[Słowo (dziennik warszawski)|Słowo]]” w 1883 (po powrocie pisarza z podróży po [[Stany Zjednoczone|Stanach Zjednoczonych]]). W 1889 wydana została w ''Pismach Henryka Sienkiewicza'' (tom XIX)<ref name="hernas">{{Cytuj | tytuł = [[Literatura polska. Przewodnik encyklopedyczny]] | redaktor = [[Julian Krzyżanowski]], [[Czesław Hernas]] | wolumin = II. N–Ż | miejsce = Warszawa | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | data = 1985 | isbn = 8301053690 | s = 331, 357–358}}</ref>.

== Opis fabuły ==
Nowela opisuje losy [[Indianie|indiańskiej]] osady o nazwie Chiavatta zniszczonej przez bezwzględnych białych (Niemców). Na jej miejscu powstała miejscowość Antylopa, w której życie toczyło się niezwykle przyjemnie, mieszkańcy jednak nie mieli świadomości, że ich siedziba położona jest na zgliszczach osady Indian. Pewnego dnia do Antylopy przyjechał z przedstawieniem [[cyrk (rozrywka)|cyrk]]. Miał w nim wystąpić [[wódz indiański|sachem – wódz]] plemienia Czarnych Węży żyjącego niegdyś w Chiavatcie, ostatni z potomków wodza Czarnych Węży. Kiedy nadszedł czas występu wodza, zaczął on nieoczekiwanie śpiewać pieśń wojenną, lecz nie w języku indiańskim a niemieckim, był bowiem od dziecka wychowywany przez niemieckich pracowników cyrku. Widzowie zaczęli się bać, bowiem pieśń początkowo opisująca szczęśliwe życie Chiavatty, przekształciła się w opowieść o masakrze która się tam wydarzyła – Niemcy nocą zakradli się do Chiavatty i wymordowali wszystkich jej mieszkańców: kobiety, dzieci i starców, z wyjątkiem wojowników, którzy poszli na polowanie i jednego małego chłopca, który dziedziczył tron po Czarnym Sępie.

Wszyscy wpadli w panikę, słysząc koniec pieśni brzmiący: ''Z całego pokolenia zostało jedno dziecko. Było ono małe i słabe, ale przysięgło duchowi ziemi, że się zemści. Że ujrzy trupy białych mężów, niewiast, dzieci – pożogę, krew!'' i widząc, jak sachem wskakuje na drewnianego kozła stojącego pod żyrandolem z lampami naftowymi i unosi drąg jakby w zamiarze strącenia żyrandola i spalenia całego cyrku. Kiedy sachem nagle zniknął z pola widzenia, wśród zaskoczonej widowni zapadła śmiertelna cisza. Po chwili jednak pojawił się znowu, tym razem z blaszaną miską, prosząc o zapłatę za występ. Cała scena była w programie przedstawienia. Zebrani z ulgą zaczęli wrzucać pieniądze do miski.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Henryk Sienkiewicz ''Nowele amerykańskie'', wyd. PIW, 1955

== Linki zewnętrzne ==
* {{wolnelektury|Sachem|sienkiewicz-sachem}}

{{Henryk Sienkiewicz}}

[[Kategoria:Twórczość Henryka Sienkiewicza]]
[[Kategoria:Polskie nowele]]
[[Kategoria:Literatura z gatunku western]]
[[Kategoria:Utwory literackie z 1889]]

title: Sachem

Autor: Henryk Sienkiewicz

Typ utworu: nowela

Język: polski


text:
# Nika Gilauri
Nikoloz „Nika” Gilauri (gruz. ნიკოლოზ (ნიკა) გილაური, ur. 14 lutego 1975 w Tbilisi) – gruziński polityk, minister energetyki (2004–2007), minister finansów (2007–2009) oraz wicepremier Gruzji (2008-2009). Premier Gruzji od 6 lutego 2009 do 4 lipca 2012.

## Życiorys
Nika Gilauri studiował międzynarodowe stosunki gospodarcze na Państwowym Uniwersytecie Tbilisi. W 1998 ukończył naukę języka angielskiego w Bournemouth College w Wielkiej Brytanii. W 1999 ukończył finanse i ekonomię na Uniwersytecie w Limerick w Irlandii. Od 1999 do 2000 studiował w Temple University w Filadelfii. W 2000 uzyskał tytuł magistra zarządzania międzynarodowym biznesem.
Równolegle do studiów, w 1999 rozpoczął pracę w Dublin International Financial Centre jako menedżer ds. zarządzania majątkiem. W 2000 został konsultantem finansowym ds. projektów oszczędzania energii w Philadelphia Small Business Development Centre. W 2001 został doradcą finansowym w gruzińskiej firmie Telecom, a rok później konsultantem finansowym ds. gruzińskiego rynku energetycznego dla hiszpańskiej korporacji Iberdrola. W latach 2003–2004 był konsultantem irlandzkiej kompanii ESB w ramach kontraktu z Gruzińskim Państwowym Systemem Elektrycznym.

## Kariera polityczna
Po rewolucji róż, 17 lutego 2004 objął w nowo utworzonym rządzie Zuraba Żwanii stanowisko ministra energetyki. 30 sierpnia 2007 objął funkcję ministra finansów. 9 grudnia 2008 otrzymał nominację na stanowisko pierwszego wicepremiera w rządzie Grigola Mgalobliszwilego.
30 stycznia 2009 premier Mgalobliszwili ogłosił swoją rezygnację ze stanowiska z powodów zdrowotnych i na swego następcę wyznaczył Nikę Gilauriego. Tego samego dnia prezydent Micheil Saakaszwili powierzył Gilauriemu urząd premiera Gruzji. 6 lutego kandydaturę Gilauriego zatwierdził parlament. W głosowaniu nowego premiera poparło 106 parlamentarzystów, a 8 było przeciw.
30 czerwca 2012 prezydent Saakaszwili ogłosił rezygnację Gilauriego ze stanowiska szefa rządu, desygnując jednocześnie na to stanowisko ministra spraw wewnętrznych Iwane Merabiszwiliego. Zdaniem komentatorów zmiany w rządzie miały stanowić nowe otwarcie przed zaplanowanymi na październik wyborami parlamentarnymi. Nowy rząd zaprzysiężony został 4 lipca 2012 i zapowiedział skupienie się na sprawach bezrobocia, rolnictwa i opieki zdrowotnej. Nika Gilauri objął stanowisko prezesa państwowej spółki JSC Partnership Fund.

wikiname: plwiki

title: Nika Gilauri

in_language: pl

wikitext:
{{Polityk infobox
 |polityk = Nika Gilauri
 |imię i nazwisko org = {{k|ka|ნიკა გილაური}}
 |pełne imię i nazwisko = Nikoloz Gilauri
 |grafika = Gruzijas premjerministra Nika Gilauri oficiālā vizīte Latvijā (3925915108).jpg
 |data urodzenia = [[14 lutego]] [[1975]]
 |miejsce urodzenia = [[Tbilisi]]
 |data śmierci =
 |miejsce śmierci =
 |funkcja = [[Premierzy Gruzji|Premier Gruzji]]
 |partia = ''bezpartyjny''
 |od = [[6 lutego]] [[2009]]
 |do = [[4 lipca]] [[2012]]
 |poprzednik = [[Grigol Mgalobliszwili]]
 |następca = [[Iwane Merabiszwili]]
 |www =
 |commons = Category:Nika Gilauri
 |quote =
}}
[[Plik:Clinton & Gilauri (Oct 06, 2010).jpg|thumb|240px|Nika Gilauri i [[Hillary Clinton]]. (2010)]]
'''Nikoloz „Nika” Gilauri''' (gruz. ნიკოლოზ (ნიკა) გილაური, ur. [[14 lutego]] [[1975]] w [[Tbilisi]]) – [[Gruzja|gruziński]] polityk, minister energetyki (2004–2007), minister finansów (2007–2009) oraz wicepremier Gruzji (2008-2009). [[Premierzy Gruzji|Premier Gruzji]] od 6 lutego 2009 do 4 lipca 2012.

== Życiorys ==
Nika Gilauri studiował międzynarodowe stosunki gospodarcze na Państwowym Uniwersytecie Tbilisi. W 1998 ukończył naukę języka angielskiego w Bournemouth College w [[Wielka Brytania|Wielkiej Brytanii]]. W 1999 ukończył finanse i ekonomię na Uniwersytecie w [[Limerick]] w [[Irlandia|Irlandii]]. Od 1999 do 2000 studiował w [[Temple University]] w [[Filadelfia|Filadelfii]]. W 2000 uzyskał tytuł magistra zarządzania międzynarodowym biznesem.

Równolegle do studiów, w 1999 rozpoczął pracę w Dublin International Financial Centre jako menedżer ds. zarządzania majątkiem. W 2000 został konsultantem finansowym ds. projektów oszczędzania energii w Philadelphia Small Business Development Centre. W 2001 został doradcą finansowym w gruzińskiej firmie Telecom, a rok później konsultantem finansowym ds. gruzińskiego rynku energetycznego dla hiszpańskiej korporacji Iberdrola. W latach 2003–2004 był konsultantem irlandzkiej kompanii ESB w ramach kontraktu z Gruzińskim Państwowym Systemem Elektrycznym.

== Kariera polityczna ==
Po [[rewolucja róż|rewolucji róż]], 17 lutego 2004 objął w nowo utworzonym rządzie [[Zurab Żwania|Zuraba Żwanii]] stanowisko ministra energetyki. 30 sierpnia 2007 objął funkcję ministra finansów. 9 grudnia 2008 otrzymał nominację na stanowisko pierwszego wicepremiera w rządzie [[Grigol Mgalobliszwili|Grigola Mgalobliszwilego]].

30 stycznia 2009 premier Mgalobliszwili ogłosił swoją rezygnację ze stanowiska z powodów zdrowotnych i na swego następcę wyznaczył Nikę Gilauriego<ref>[http://news.bbc.co.uk/2/hi/europe/7861453.stm ''„Georgia PM resigns over illness”''], BBC News, 30 stycznia 2009.</ref>. Tego samego dnia [[prezydenci Gruzji|prezydent]] [[Micheil Saakaszwili]] powierzył Gilauriemu urząd premiera Gruzji<ref>[https://archive.is/20130503234206/http://www.tvn24.pl/12691,1584011,0,1,gruzja-ma-nowego-premiera,wiadomosc.html ''„Gruzja ma nowego premiera”''], TVN24.pl, 30 stycznia 2009.</ref>. 6 lutego kandydaturę Gilauriego zatwierdził parlament. W głosowaniu nowego premiera poparło 106 parlamentarzystów, a 8 było przeciw<ref>[https://archive.is/20120718081524/http://rustavi2.com/news/news_text.php?id_news=30108&pg=1&im=main&ct=0&wth= ''„Reshuffled Georgian government approved”''], Rustavi 2, 6 lutego 2009.</ref>.

30 czerwca 2012 prezydent Saakaszwili ogłosił rezygnację Gilauriego ze stanowiska szefa rządu, desygnując jednocześnie na to stanowisko ministra spraw wewnętrznych [[Iwane Merabiszwili]]ego. Zdaniem komentatorów zmiany w rządzie miały stanowić nowe otwarcie przed zaplanowanymi na październik [[Wybory parlamentarne w Gruzji w 2012 roku|wyborami parlamentarnymi]]. Nowy rząd zaprzysiężony został 4 lipca 2012 i zapowiedział skupienie się na sprawach bezrobocia, rolnictwa i opieki zdrowotnej. Nika Gilauri objął stanowisko prezesa państwowej spółki JSC Partnership Fund<ref>{{cytuj stronę |url = https://old.civil.ge/eng/article.php?id=24947 |tytuł = Incoming PM Merabishvili Names Priorities |data = 30 czerwca 2012 |opublikowany = civil.ge |język = en |data dostępu = 2012-06-08}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = https://old.civil.ge/eng/article.php?id=24965 |tytuł = Reshuffled Cabinet and its New Program Confirmed |data = 4 lipca 2012 |opublikowany = civil.ge |język = en |data dostępu = 2012-06-08}}</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj stronę | url = http://government.gov.ge/index.php?lang_id=GEO&sec_id=21 | tytuł = Nota biograficzna na stronie Rządu Gruzji | opublikowany = government.gov.ge | archiwum = https://web.archive.org/web/20110721025924/http://government.gov.ge/index.php?lang_id=GEO&sec_id=21 | zarchiwizowano = 2011-07-21}} {{lang|ka}}
* [https://old.civil.ge/eng/article.php?id=20353 Biografia], civil.ge {{lang|en}}
* [http://www.kavkaz-uzel.ru/articles/149853/ Biografia], www.kavkaz-uzel.ru {{lang|ru}}

{{Premierzy Gruzji}}

{{Kontrola autorytatywna}}

{{SORTUJ:Gilauri, Nika}}
[[Kategoria:Premierzy Gruzji]]
[[Kategoria:Gruzińscy ministrowie]]
[[Kategoria:Urodzeni w 1975]]
[[Kategoria:Ludzie urodzeni w Tbilisi]]
[[Kategoria:Wicepremierzy Gruzji]]

title: Nika Gilauriნიკა გილაური

Pełne imię i nazwisko: Nikoloz Gilauri

Data i miejsce urodzenia: 14 lutego 1975 · Tbilisi

Okres: od 6 lutego 2009 · do 4 lipca 2012

Przynależność polityczna: bezpartyjny

Poprzednik: Grigol Mgalobliszwili

Następca: Iwane Merabiszwili


text:
# Proszowski Potok
Potok Proszowski – potok, dopływ Raby. Wypływa w Puszczy Niepołomickiej w Kłaju na wysokości około 210 m n.p.m. Spływa w kierunku wschodnim. Na większej części swojego biegu płynie po południowej stronie Puszczy Niepołomickiej wzdłuż autostrady A4, zbliża się do puszczy przy rezerwacie przyrody Dębina. Potem wypływa na bezleśne obszary miejscowości Proszówki, dwukrotnie przepływa pod autostradą A4 i w miejscowości Krzyżanowice na wysokości około 185 m uchodzi do Raby jako jej lewy dopływ.

title: Proszowski Potok

wikitext:
{{Rzeka infobox
 | nazwa               = Potok Proszowski
 | zdjęcie             = Potok Proszowicki a1.jpg
 | opis zdjęcia        =
 | kontynent           = Europa
 | państwo             = POL
 | lokalizacja         = [[Podgórze Bocheńskie]]
 | rodzaj cieku        = potok
 | rzędowość           = 3
 | długość             =
 | spadek              =
 | powierzchnia zlewni =
 | średni przepływ     =
 | miejsce przepływu   =
 | źródło: miejsce     =
 | źródło: wysokość    = ok. 210 m n.p.m.
 | źródło: współrzędne =
 | ujście: recypient   = [[Raba (dopływ Wisły)|Raba]]
 | ujście: miejsce     = [[Krzyżanowice (województwo małopolskie)|Krzyżanowice]]
 | ujście: wysokość    = ok. 185 m n.p.m.
 | ujście: współrzędne = 50°00'45"N 20°26'26"E
 | mapa                =
 | opis mapy           =
 | kod mapy            = PL-MA
 | szlak               =
 | commons             = Category:Proszowski Potok
}}
'''Potok Proszowski''' – potok, dopływ [[Raba (dopływ Wisły)|Raby]]<ref>{{Hydronimy1|s=222}}</ref>. Wypływa w [[Puszcza Niepołomicka|Puszczy Niepołomickiej]] w [[Kłaj]]u na wysokości około 210 m n.p.m. Spływa w kierunku wschodnim. Na większej części swojego biegu płynie po południowej stronie Puszczy Niepołomickiej wzdłuż [[autostrada A4 (Polska)|autostrady A4]], zbliża się do puszczy przy [[Rezerwat przyrody Dębina (województwo małopolskie)|rezerwacie przyrody Dębina]]. Potem wypływa na bezleśne obszary miejscowości [[Proszówki]], dwukrotnie przepływa pod [[Autostrada A4 (Polska)|autostradą A4]] i w miejscowości [[Krzyżanowice (województwo małopolskie)|Krzyżanowice]] na wysokości około 185 m uchodzi do Raby jako jej lewy dopływ<ref name=geoportal>{{cytuj stronę|url=http://mapy.geoportal.gov.pl/imap/|tytuł=Geoportal. Mapa topograficzna i satelitarna|data dostępu=2017-04-08}}</ref>.
[[Plik:Proszowski Potok PN1.jpg|mały|240px|lewo|Proszowski Potok w Puszczy Niepołomickiej]]
== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Dorzecze Raby]]

title: Potok Proszowski

Kontynent: Europa

Państwo: Polska

Lokalizacja: Podgórze Bocheńskie

Recypient: Raba

Miejsce: Krzyżanowice


text:
# Dom Menory
Dom Menory (hebr. מגדל מנורה, Migdal Menora) – biurowiec położony w Centrum Finansowym w osiedlu Lew ha-Ir w mieście Tel Awiw, w Izraelu.
Budynek został wzniesiony przez firmę ubezpieczeniową Hassneh Insurance Company w południowej części Centrum Finansowego Tel Awiwu w 1966. W latach 90. XX wieku firma przeszła przez proces upadłości. Budynek kupiła wówczas inna firma ubezpieczeniowa Menorah Insurance Company, od której pochodzi obecna nazwa biurowca.

## Dane techniczne
Budynek ma 16 kondygnacji i wysokość 63 metrów.
Wieżowiec wybudowano w stylu architektonicznym określanym jako brutalizm. Wzniesiono go z betonu. Elewacja jest wykonana w kolorach jasnoszarym i jasnym brązie.
Budynek jest wykorzystywany jako biurowiec dużej firmy ubezpieczeniowej.

title: Dom Menory

wikitext:
{{Budynek infobox
 |nazwa                 = Dom Menory
 |nazwa oryginalna      =
 |zabytek               =
 |zdjęcie               =
 |opis zdjęcia          =
 |alt zdjęcia           =
 |państwo               = ISR
 |miejscowość           = [[Tel Awiw-Jafa|Tel Awiw]]
 |adres                 = 115 Lord Alenby Street,<br />Tel Aviv
 |typ budynku           =
 |styl architektoniczny =
 |architekt             = Yaski-Alexandroni Architects
 |inwestor              =
 |wysokość całkowita    =
 |wysokość do dachu     = 63 m
 |kondygnacje           = 16
 |powierzchnia użytkowa =
 |rozpoczęcie budowy    =
 |ukończenie budowy     = [[1966]]
 |przebudowy            =
 |zniszczono            =
 |odbudowano            =
 |pierwszy właściciel   =
 |kolejni właściciele   =
 |właściciel            =
 |plan budynku          =
 |kod mapy              = Tel Awiw
 |współrzędne           = 32°3′45″N 34°46′25″E
 |commons               =
 |www                   =
}}
'''Dom Menory''' ([[język hebrajski|hebr.]] מגדל מנורה, ''Migdal Menora'') – [[biurowiec]] położony w Centrum Finansowym w osiedlu [[Lew ha-Ir]] w mieście [[Tel Awiw-Jafa|Tel Awiw]], w [[Izrael]]u.

Budynek został wzniesiony przez firmę ubezpieczeniową ''Hassneh Insurance Company'' w południowej części Centrum Finansowego Tel Awiwu w [[1966]]. W [[lata 90. XX wieku|latach 90. XX wieku]] firma przeszła przez [[upadłość|proces upadłości]]. Budynek kupiła wówczas inna firma ubezpieczeniowa ''Menorah Insurance Company'', od której pochodzi obecna nazwa biurowca<ref name="Emporis">{{cytuj stronę| url = https://www.emporis.com/buildings/104799/menora-house-tel-aviv-yaffo-israel | tytuł = Menora House | data dostępu = 2010-06-17 | autor = | opublikowany = | praca = Emporis.com | data = | język = en}}</ref>.

== Dane techniczne ==
Budynek ma 16 [[kondygnacja|kondygnacji]] i wysokość 63 [[metr]]ów<ref name="Emporis"/>.

Wieżowiec wybudowano w stylu architektonicznym określanym jako [[brutalizm]]. Wzniesiono go z [[beton]]u. Elewacja jest wykonana w kolorach jasnoszarym i jasnym brązie.

Budynek jest wykorzystywany jako biurowiec dużej firmy ubezpieczeniowej.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę| archiwum=https://archive.is/jK9ti|url = http://sketchup.google.com/3dwarehouse/details?mid=fe4c69e0401f42f5239646804337df70 | tytuł = Menora House | data dostępu = 2010-06-17| autor = | opublikowany = | praca = Galeria 3D Google | data = | język = en}}

[[Kategoria:Wieżowce poniżej 100 metrów w Tel Awiwie]]
[[Kategoria:Obiekty administracyjne i biurowe w Tel Awiwie]]
[[Kategoria:Centrum finansowe Tel Awiwu]]
[[Kategoria:Architektura brutalizmu w Izraelu]]

title: Dom Menory

Państwo: Izrael

Miejscowość: Tel Awiw

Adres: 115 Lord Alenby Street, · Tel Aviv

Architekt: Yaski-Alexandroni Architects


text:
# Biszr al-Chasawina
Biszr al-Chasawina, arab. بشر الخصاونة (ur. 27 stycznia 1969) – jordański dyplomata i polityk, doradca jordańskiego króla Abd Allaha II ibn Husajna w dziedzinie komunikacji i koordynacji działań Królewskiego Dworu Haszymidów. Był ministrem ds. prawnych w latach 2017–2018, jak też ministrem spraw zagranicznych Jordanii w latach 2016–2017. Al-Chasawina pracował jako ambasador Jordanii w Egipcie, Francji, Kenii, Etiopii, Unii Afrykańskiej, Lidze Państw Arabskich i UNESCO. Był też głównym koordynatorem i dyrektorem biura procesu i negocjacji pokojowych w Jordanii.

## Życiorys
Ma dyplom licencjata Uniwersytetu Jordańskiego w dziedzinie nauk prawnych. Ukończył również studia na temat kontr-radykalizacji i antyterroryzmu na National Defense University i w dziedzinie polityki publicznej na Harvardzie, w szkole John F. Kennedy School of Government. Studia magisterskie odbył w londyńskiej School of Oriental and African Studies, ukończywszy je z dyplomem w dziedzinie stosunków międzynarodowych, dyplomacji i ekonomii. Kolejny dyplom magistra i doktora, tym razem w dziedzinie prawa międzynarodowego, zdobył na London School of Economics.
Od 12 października 2020 do 15 września 2024 sprawował urząd premiera Jordanii.
Odznaczony Orderem Gwiazdy Jordanu III klasy oraz Orderami Niepodległości Jordanii I i II klasy.

title: Biszr al-Chasawina

wikitext:
{{Polityk infobox
 | polityk             = Biszr al-Chasawina
 | grafika             =
 | data urodzenia      = [[27 stycznia]] [[1969]]
 | miejsce urodzenia   =
 | data śmierci        =
 | miejsce śmierci     =
 | funkcja             = [[Premierzy Jordanii|Premier Jordanii]]
 | partia              =
 | od                  = 12 października 2020
 | do                  = 15 września 2024
 | poprzednik          = [[Umar ar-Razzaz]]
 | następca            = [[Jafar Hassan]]
 | imię i nazwisko     =
 | opis grafiki        =
 | commons             = Bisher Al-Khasawneh
 | quote               =
 | news                =
}}
'''Biszr al-Chasawina''', {{W języku|ar|بشر الخصاونة}} (ur. [[27 stycznia]] [[1969]]) – [[Jordania|jordański]] dyplomata i polityk, doradca jordańskiego króla [[Abd Allah II ibn Husajn|Abd Allaha II ibn Husajna]] w dziedzinie komunikacji i koordynacji działań Królewskiego Dworu Haszymidów<ref>[http://petra.gov.jo/Include/InnerPage.jsp?ID=15149&lang=en&name=en_news petra.gov.jo].</ref><ref>[http://jordanembassyus.org/news/king-stresses-importance-private-sector-enhancing-trust-economy Ambasada Jordanu w Stanach Zjednoczonych].</ref>. Był ministrem ds. prawnych w latach 2017–2018<ref>{{Cytuj stronę|url=https://2017.worldscienceforum.org/participants/al-khasawneh-bisher-16255|tytuł=WorldScience Forum|opublikowany=2017.worldscienceforum.org|archiwum=https://web.archive.org/web/20190603200222/https://2017.worldscienceforum.org/participants/al-khasawneh-bisher-16255|zarchiwizowano=2019-06-03}}</ref>, jak też ministrem spraw zagranicznych Jordanii w latach 2016–2017<ref name="jordantimes">{{cytuj stronę|url=http://www.jordantimes.com/news/local/cabinet-reshuffle-sees-5-new-ministers-7-out|tytuł=Cabinet reshuffle sees 5 new ministers in, 7 out|data dostępu=2019-06-03}}</ref>. Al-Chasawina pracował jako ambasador Jordanii w [[Egipt|Egipcie]], [[Francja|Francji]]<ref>[http://petra.gov.jo/Include/InnerPage.jsp?ID=11173&lang=en&name=en_news Petra Jordan].</ref>, [[Kenia|Kenii]], [[Etiopia|Etiopii]], [[Unia Afrykańska|Unii Afrykańskiej]], [[Liga Państw Arabskich|Lidze Państw Arabskich]] i [[UNESCO]]. Był też głównym koordynatorem i dyrektorem biura procesu i negocjacji pokojowych w Jordanii<ref>[https://books.google.com/books?id=C4yHDAAAQBAJ&pg=PA104&lpg=PA104&dq=bisher+al+khasawneh&source=bl&ots=JAQpEQfl5g&sig=ACfU3U05GU5eqxtbUt8K42EVT7NKVxCDUg&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwi-5YiBk87iAhWC1aYKHXMeAAs4ChDoATAJegQIBxAB The External Dimension of EU Justice and Home Affairs].</ref>.

== Życiorys ==
Ma dyplom licencjata [[Uniwersytet Jordański|Uniwersytetu Jordańskiego]] w dziedzinie nauk prawnych. Ukończył również studia na temat kontr-radykalizacji i antyterroryzmu na [[National Defense University]] i w dziedzinie polityki publicznej na Harvardzie, w szkole [[John F. Kennedy School of Government]]. Studia magisterskie odbył w londyńskiej [[SOAS, Uniwersytet Londyński|School of Oriental and African Studies]], ukończywszy je z dyplomem w dziedzinie stosunków międzynarodowych, dyplomacji i ekonomii. Kolejny dyplom magistra i doktora, tym razem w dziedzinie prawa międzynarodowego, zdobył na [[London School of Economics]]<ref>[https://www.jordantimes.com/sites/default/files/users/emrani/profilesnewministers2016_0.pdf Jordan Times].</ref>.

Od 12 października 2020<ref>{{cytuj stronę|tytuł=Jordan's King Abdullah appoints palace aide Bisher al Khasawneh PM|url=https://www.reuters.com/article/jordan-government-primeminister/jordans-king-abdullah-appoints-palace-aide-bisher-al-khasawneh-pm-idUSL1N2GY1I6}}</ref> do 15 września 2024<ref>{{Cytuj |tytuł = Jordan's king appoints new PM after general election |data = 2024-09-15 |data dostępu = 2024-09-16 |opublikowany = France 24 |url = https://www.france24.com/en/live-news/20240915-jordan-s-king-appoints-new-pm-after-general-election |język = en}}</ref> sprawował urząd [[premierzy Jordanii|premiera Jordanii]].

Odznaczony Orderem Gwiazdy Jordanu III klasy oraz Orderami Niepodległości Jordanii I i II klasy.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Premierzy Jordanii}}{{Kontrola autorytatywna}}

{{SORTUJ:Chasawina, Biszr al-}}
[[Kategoria:Absolwenci London School of Economics]]
[[Kategoria:Absolwenci Uniwersytetu Jordańskiego]]
[[Kategoria:Jordańscy dyplomaci]]
[[Kategoria:Jordańscy ministrowie]]
[[Kategoria:Jordańscy politycy]]
[[Kategoria:Ludzie urodzeni w Nowym Jorku]]
[[Kategoria:Premierzy Jordanii]]
[[Kategoria:Urodzeni w 1969]]

title: Biszr al-Chasawina

Data urodzenia: 27 stycznia 1969

Okres: od 12 października 2020 · do 15 września 2024

Poprzednik: Umar ar-Razzaz

Następca: Jafar Hassan


text:
# Przestrzeń Focka
Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta {\displaystyle {\mathcal {H}}} – przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}} oraz jej iloczynów tensorowych {\displaystyle {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}},} {\displaystyle {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}},} itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:
- pełną przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
- symetryczną (dla bozonów),
- antysymetryczną (dla fermionów).

Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.
W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako zmienne losowe.
Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Focka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932 dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka.

## Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
Niech {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in {\mathcal {H}}} oraz {\displaystyle S_{n}} oznacza grupę permutacji zbioru {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}.}
Definicja 1.
Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}} nazywamy element przestrzeni tensorowej {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}={\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}},} taki że
{\displaystyle u_{1}\vee u_{2}\vee \ldots \vee u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)}}
Definicja 2.
Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}} nazywamy element przestrzeni tensorowej {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}={\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}},} taki że
{\displaystyle u_{1}\wedge u_{2}\wedge \ldots \wedge u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma }u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)},}
gdzie {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} – znak permutacji {\displaystyle \sigma } (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).
Definicja 3.
n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}} nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},} generowanej przez wektory {\displaystyle u_{1}\vee \ldots \vee u_{n},} gdzie {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}} przebiegają całą przestrzeń {\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Definicja 4.
n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}} nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},} generowanej przez wektory {\displaystyle u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n},} gdzie {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}} przebiegają całą przestrzeń {\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Oznaczenia:
{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n}} – n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}.}
{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}} – n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}.}
Iloczyny tensorowe symetryczny {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n}} oraz antysymetryczny {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}} tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}} przestrzeni Hilberta.

## Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja
Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:
(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},} tzn.
A. Jeżeli {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to
A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes 2}\equiv {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}}
zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).
B. Analogicznie przestrzeń
{\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}=\underbrace {{\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}} _{n{\rm {-razy}}}}
zawiera stany układu {\displaystyle n} cząstek tego samego typu.
C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n},n=2,3,\dots } są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla {\displaystyle n=1,2,\dots } cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}} poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

## Definicja przestrzeni Focka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznej
Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta {\displaystyle {\mathcal {H}}} zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli
- pełną przestrzenią Focka (inne nazwy: wolna przestrzeń Focka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest przestrzeń

{\displaystyle \Phi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus {\mathcal {H}}\oplus ({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})\oplus \dots }
Inne oznaczenia: {\displaystyle \Gamma _{f},} bądź {\displaystyle \Gamma _{fr}.}
- symetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Focka) nad {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest przestrzeń

{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\vee n}.}
Inne oznaczenia: {\displaystyle \Gamma _{s}.}
- antysymetryczną przestrzenią Focka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Focka) nad {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest przestrzeń

{\displaystyle \Psi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathcal {H}}^{\wedge n}.}
Inne oznaczenia: {\displaystyle \Gamma _{s}.}
Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.
W każdym z powyższych przypadków {\displaystyle n}-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu {\displaystyle n}cząstek.
Każdy element {\displaystyle f} pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci
{\displaystyle f=(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n},\dots ),}
(często dla skrócenia zapisu pisze się {\displaystyle f=\sum _{n\geqslant 0}f_{n},} bądź {\displaystyle f=\bigoplus _{n\geqslant 0}f_{n}}), gdzie {\displaystyle f_{n}} jest elementem przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\otimes n}} (odpowiednio, {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\vee n},} {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\wedge n}}) oraz
{\displaystyle \|f\|^{2}=\sum _{n\geqslant 0}\|f_{n}\|^{2}<\infty .}
Wektor
{\displaystyle \left(1,0,0,\dots \right)} (zapisywany często w postaci sumy prostej {\displaystyle 1\oplus 0\oplus 0\oplus \dots })
nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem {\displaystyle \Omega ,} bądź {\displaystyle {\textbf {1}}.}
Przestrzeń liniowa {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})} generowana przez wektory postaci {\displaystyle u^{\otimes n},} gdzie {\displaystyle n} przebiega zbiór liczb naturalnych, a {\displaystyle u} przestrzeń {\displaystyle {\mathcal {H}},} tj.
{\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})={\text{Lin}}\left\{u^{\otimes n}\colon n\geqslant 0,u\in {\mathcal {H}}\right\},}
jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).} Przestrzeń {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})} nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

## Przestrzeń Focka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta
Dla każdego elementu {\displaystyle u} przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}} wzór:
{\displaystyle \varepsilon (u):=\left(1,u,{\frac {u^{\otimes 2}}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {u^{\otimes n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}
określa element przestrzeni {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})\subseteq \Phi ({\mathcal {H}}),} nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora {\displaystyle u.} W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym {\displaystyle \varepsilon (0).}
Jeżeli {\displaystyle u} i {\displaystyle v} należą do {\displaystyle {\mathcal {H}},} to
{\displaystyle \left\langle \varepsilon (u),\varepsilon (v)\right\rangle =e^{\left\langle u,v\right\rangle }.}
Dla dowolnego podzbioru {\displaystyle S} przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}} symbol {\displaystyle {\mathcal {E}}(S)} oznacza podprzestrzeń
{\displaystyle {\mathcal {E}}(S):={\text{Lin}}\left\{\varepsilon (u)\colon u\in S\right\}.}
W szczególności, gdy {\displaystyle S={\mathcal {H}}} można pisać krótko {\displaystyle {\mathcal {E}}(S)={\mathcal {E}}.} Zbiór {\displaystyle \left\{\varepsilon (u)\colon u\in {\mathcal {H}}\right\}} jest liniowo niezależny. Co więcej, {\displaystyle {\mathcal {E}}} jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).}
Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta
Jeżeli {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1},} {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} są przestrzeniami Hilberta, to
{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2})=\Gamma ({\mathcal {H}}_{1})\otimes \Gamma ({\mathcal {H}}_{2}),}
przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})=e^{\mathcal {H}},} to powyższy wzór przybiera postać
{\displaystyle e^{{\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}}=e^{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes e^{{\mathcal {H}}_{2}},}
co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

## Baza przestrzeni Focka
Jeżeli {\displaystyle {\mathcal {H}}} jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz {\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest jej bazą ortonormalną, to zbiory
- {\displaystyle \left\{\left.\Omega ,e_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{n}}\right|i_{j}=1,2,\dots ,\ j=1,2,\dots ,n,\ n=1,2,\dots \right\},}
- {\displaystyle \left\{\Omega ,\left.\left({\frac {n!}{r_{1}!\dots r_{k}!}}\right)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}^{r_{1}}\vee e_{i_{2}}^{r_{2}}\vee \ldots \vee e_{i_{k}}^{r_{k}}\right|r_{1}+\ldots +r_{k}=n,\ 1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k},\ k,n=1,2,\dots \right\},}
- {\displaystyle \left\{\left.\Omega ,(n!)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}\right|1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n},n=1,2,\dots \right\},}

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni {\displaystyle \Phi ({\mathcal {H}}),} {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})} i {\displaystyle \Psi ({\mathcal {H}}).} Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

## Operatory na przestrzeni Focka
Niech {\displaystyle u} będzie ustalonym elementem przestrzeni {\displaystyle {\mathcal {H}}.}

### Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka
Funkcje
{\displaystyle a_{0}(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}}),}
{\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}})}
dane wzorami
{\displaystyle a_{0}(u)\varepsilon (v)=\left\langle u,v\right\rangle \varepsilon (v),}
{\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\varepsilon (v)={\frac {d}{dt}}\left.\varepsilon (v+tu)\right|_{t=0}}
można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na {\displaystyle {\mathcal {E}}} w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór {\displaystyle {\mathcal {E}}} jest liniowo niezależny.
Podprzestrzeń {\displaystyle {\mathcal {E}}} jest gęsta w {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}),} tak więc {\displaystyle a_{0}(u)^{*}} i {\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)^{*}} są operatorami domkniętymi.
Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:
{\displaystyle a_{0}^{\dagger }(u)\subseteq a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}^{\dagger }(u)}}=a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}(u)}}=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}},
przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.
Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności
{\displaystyle a(u):=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}}
oraz
{\displaystyle a^{*}(u):=a_{0}(u)^{*}.}
Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})} jest ich dziedziną istotną (podobnie jak {\displaystyle {\mathcal {E}},} na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:
{\displaystyle a(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n}}\left\langle u,v\right\rangle v^{\otimes (n-1)}}
oraz
{\displaystyle a^{*}(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n+1}}P^{(n+1)}(u\otimes v^{\otimes n}).}
Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni {\displaystyle n} do {\displaystyle n-1} cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni {\displaystyle n{\text{-}}} do {\displaystyle (n+1)}-cząstkowej.
Maksymalną dziedziną, na jakiej są one zdefiniowane (jako domknięte operatory wzajemnie sprzężone), jest odpowiednio: dla operatora anihilacji
{\displaystyle D(a(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\},}
oraz dla operatora kreacji
{\displaystyle D(a^{*}(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}\|a^{*}(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}
Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):
{\displaystyle [a(u),a^{*}(v)]=\left\langle u,v\right\rangle I,}
{\displaystyle \{a(u),a(v)\}=\{a^{*}(u),a^{*}(v)\}=0}
gdzie {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} oznacza komutator operatorów, a {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.
Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,
{\displaystyle \sup _{\|h\|=1}\|a(u)h\|\geqslant \sup _{v\in {\mathcal {H}}}\|a(u)e^{-{\frac {\|v\|^{2}}{2}}}\varepsilon (v)\|=\sup _{v\in {\mathcal {H}}}|\left\langle u,v\right\rangle |=\infty .}
W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – {\displaystyle a_{\left\langle u\right|}^{-}} i kreacji – {\displaystyle a_{\left|u\right\rangle }^{+},} przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do {\displaystyle {\mathcal {H}}.}

### Operator liczby cząstek
Operator liczby cząstek {\displaystyle N} na {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}})} określony jest w następujący sposób:
{\displaystyle N\colon D(N)\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\to \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n\geqslant 0},}
gdzie:
{\displaystyle D(N):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}.}
Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na {\displaystyle \Gamma ({\mathcal {H}}).} Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek {\displaystyle {\sqrt {N}}.}
Zbiór {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}})} jest dziedziną istotną operatora {\displaystyle N,} tzn. jest domknięciem obcięcia operatora {\displaystyle N} do zbioru {\displaystyle \Gamma _{00}({\mathcal {H}}).} W szczególności, dla dowolnej funkcji {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C} ,} operator {\displaystyle f(N)} jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:
{\displaystyle D(f(N)):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geqslant 0}n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\},}
{\displaystyle f(N)u=(f(n)u_{n})_{n\geqslant 0}.}

## Przykłady
Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych
Dla każdej liczby naturalnej {\displaystyle n\geqslant 0} iloczyn tensorowy {\displaystyle \mathbb {C} ^{\otimes n}} można w naturalny sposób utożsamić z {\displaystyle \mathbb {C} ,} skąd
{\displaystyle \Gamma (\mathbb {C} )=\Phi (\mathbb {C} )=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \ldots =\ell ^{2}.}
Dla każdej liczby zespolonej {\displaystyle z} wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci
{\displaystyle \varepsilon (z)=\left(1,z,{\frac {z^{2}}{\sqrt {2!}}},\dots ,{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}},\dots \right)}
i należy do przestrzeni {\displaystyle \ell ^{2}.}
Niech {\displaystyle \mu } będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni {\displaystyle L^{2}(\mu )} rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:
{\displaystyle e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}(x),}
gdzie {\displaystyle H_{n}} jest wielomianem Hermite’a stopnia {\displaystyle n.}
Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm {\displaystyle U\colon \Gamma (\mathbb {C} )\to L^{2}(\mu ),} że
{\displaystyle [Ue(z)](x)=e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}},\,z\in \mathbb {C} .}
Przestrzeń Focka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej
Niech {\displaystyle B=\{B(t)\colon t\geqslant 0\}} będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną {\displaystyle \mathbb {B} } na przestrzeni funkcji ciągłych {\displaystyle C([0,\infty )).} Dla dowolnej funkcji zespolonej {\displaystyle f,} będącej elementem przestrzeni {\displaystyle L^{2}(\lbrack 0,\infty ))} (z miarą Lebesgue’a), niech
oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu {\displaystyle B.} Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm
{\displaystyle U\colon \Gamma (L^{2}([0,\infty )))\to L^{2}(\mathbb {B} ),}
który spełnia warunek
{\displaystyle [Ue(f)](B)=\exp {\left(\int _{0}^{\infty }fdB-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }f(t)^{2}dt\right)}.}
Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku.

title: Przestrzeń Focka

wikitext:
'''Przestrzeń Focka nad przestrzenią Hilberta''' <math>\mathcal{H}</math> – [[przestrzeń Hilberta]], która jest [[Suma prosta przestrzeni liniowych#lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta|sumą prostą]] przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni <math>\mathcal{H}</math> oraz jej [[iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta|iloczynów tensorowych]] <math>\mathcal{H} \otimes \mathcal{H},</math> <math>\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}\otimes \mathcal{H},</math> itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na [[Cząstki identyczne|nieodróżnialność]] cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Focka:
* ''pełną'' przestrzeń Focka (dla cząstek odróżnialnych),
* ''symetryczną'' (dla [[Bozony|bozonów]]),
* ''antysymetryczną'' (dla [[Fermiony|fermionów]]).

Wektor przestrzeni Focka prezentuje stan [[Układ kwantowy|układu kwantowego]] cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją [[Stan kwantowy|stanów kwantowych]] układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą [[Operatory kreacji i anihilacji|operatorów kreacji i anihilacji]].

W [[Teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] elementy przestrzeni Focka interpretuje się jako [[Zmienna losowa|zmienne losowe]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Meyer |imię = Paul-André |tytuł = Quantum Probability for Probabilists |strony = 59 |rozdział = Fock Space |miejsce = Berlin |wydawca = Springer |rok = 1995 |isbn = 3-540-60270-4 |język = en}}</ref>.

Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka [[Władimir Fock|Władimira A. Focka]], który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932<ref>{{cytuj pismo |autor = V. Fock |tytuł = Konfigurationsraum und zweite Quantelung |czasopismo = Zeitschrift für Physik |wolumin = 75 |numer = 9/10 |strony = 622–647 |rok = 1932 |doi = 10.1007/BF01344458}}</ref> dla [[przestrzeń Lp|funkcji całkowalnych z kwadratem]] na prostej z [[miara Lebesgue’a|miarą Lebesgue’a]]. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka<ref>{{cytuj pismo |autor = J.M. Cook |tytuł = The Mathematics of Second Quantization |czasopismo = [[Transactions of the American Mathematical Society]] |wolumin = 74 |numer = 2 |strony = 222–245 |rok = 1953 |doi = 10.1073/pnas.37.7.417}}</ref>.

== Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ==
Niech <math>u_1, \dots, u_n \in \mathcal{H}</math> oraz <math>S_n</math> oznacza [[grupa permutacji|grupę permutacji]] zbioru <math>\{1,2,\dots,n\}.</math>

'''Definicja 1.'''

Iloczynem tensorowym '''symetrycznym''' elementów <math>u_1,\dots,u_n</math> nazywamy element przestrzeni tensorowej <math>\mathcal{H}^{\otimes n}=\mathcal{H}\otimes\ldots\otimes \mathcal{H},</math> taki że
: <math>u_1 \vee u_2\vee \ldots \vee u_n := \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)}</math>

'''Definicja 2.'''

Iloczynem tensorowym '''antysymetrycznym''' elementów <math>u_1,\dots,u_n</math> nazywamy element przestrzeni tensorowej <math>\mathcal{H}^{\otimes n}=\mathcal{H}\otimes\ldots\otimes \mathcal{H},</math> taki że
: <math>u_1 \wedge u_2 \wedge \ldots \wedge u_n := \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon_\sigma u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)},</math>

gdzie <math>\epsilon_\sigma</math> – [[Permutacja#Znak permutacji|znak permutacji]] <math>\sigma</math> (co w tym kontekście oznacza również [[symbol Leviego-Civity]]).

'''Definicja 3.'''

'''''n-tym symetrycznym''''' ''iloczynem tensorowym przestrzeni'' <math>\mathcal{H}</math> nazywamy [[Domknięcie (topologia)|domknięcie]] [[podprzestrzeń liniowa|'''podprzestrzeni''' liniowej]] zawartej w przestrzeni <math>\mathcal{H}^{\otimes n},</math> generowanej przez wektory <math>u_1 \vee \ldots \vee u_n,</math> gdzie <math>u_1,\dots,u_n</math> przebiegają całą przestrzeń <math>\mathcal{H}.</math>

'''Definicja 4.'''

'''''n-tym antysymetrycznym''''' ''iloczynem tensorowym przestrzeni'' <math>\mathcal{H}</math> nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni <math>\mathcal{H}^{\otimes n},</math> generowanej przez wektory <math>u_1 \wedge \ldots \wedge u_n,</math> gdzie <math>u_1,\dots,u_n</math> przebiegają całą przestrzeń <math>\mathcal{H}.</math>

'''Oznaczenia:'''

<math>\mathcal{H}^{\vee n}</math> – ''n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni'' <math>\mathcal{H}.</math>

<math>\mathcal{H}^{\wedge n}</math> – ''n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni'' <math>\mathcal{H}.</math>

Iloczyny tensorowe symetryczny <math>\mathcal{H}^{\vee n}</math> oraz antysymetryczny <math>\mathcal{H}^{\wedge n}</math> tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego <math>\mathcal{H}^{\otimes n}</math> przestrzeni Hilberta.

== Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja ==
Konstrukcja przestrzeni Focka przebiega następująco:

('''1''') Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe <math>\mathcal{H}^{\otimes n},</math> tzn.

A. Jeżeli <math>\mathcal{H}</math> jest [[Przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to

A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
: <math>\mathcal{H}^{\otimes 2} \equiv \mathcal{H} \otimes \mathcal{H}</math>

zawiera stany układu składającego się z dwóch '''cząstek tego samego typu''' (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).

B. Analogicznie przestrzeń
: <math>\mathcal{H}^{\otimes n} = \underbrace{\mathcal{H} \otimes \ldots\otimes \mathcal{H}}_{n \rm{- razy}}</math>

zawiera stany układu <math>n</math> cząstek tego samego typu.

C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie <math>\mathcal{H}^{\otimes n}, n=2,3,\dots</math> są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku [[Bozony|bozonów]], np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku [[Fermiony|fermionów]], np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla <math>n = 1,2,\dots</math> cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe <math>\mathcal{H}^{\otimes n}</math> poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

== Definicja przestrzeni Focka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznej ==
'''Przestrzenią Focka pełną/symetryczną/antysymetryczną''' nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta <math>\mathcal{H}</math> zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli
* ''pełną przestrzenią Focka'' (inne nazwy: ''wolna przestrzeń Focka'', ''przestrzeń Maxwella-Boltzmana'') nad <math>\mathcal{H}</math> jest przestrzeń
: <math>\Phi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geqslant 0} \mathcal{H}^{\otimes n}= \mathbb{C} \oplus \mathcal{H} \oplus (\mathcal{H} \otimes \mathcal{H})\oplus \dots</math>

Inne oznaczenia: <math>\Gamma_f,</math> bądź <math>\Gamma_{fr}.</math>
* ''symetryczną przestrzenią Focka'' (inna nazwa: ''bozonowa przestrzeń Focka'') nad <math>\mathcal{H}</math> jest przestrzeń
: <math>\Gamma(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geqslant 0} \mathcal{H}^{\vee n}.</math>

Inne oznaczenia: <math>\Gamma_s.</math>
* ''antysymetryczną przestrzenią Focka'' (inna nazwa: ''fermionowa przestrzeń Focka'') nad <math>\mathcal{H}</math> jest przestrzeń
: <math>\Psi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geqslant 0} \mathcal{H}^{\wedge n}.</math>

Inne oznaczenia: <math>\Gamma_s.</math>

Symbol [[suma prosta przestrzeni liniowych|sumy prostej]], użyty powyżej, oznacza [[Suma prosta przestrzeni liniowych#lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta|sumę prostą przestrzeni Hilberta]]. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków <math>n</math>-ty składnik sumy prostej nazywany jest ''podprzestrzenią stanów (wektorów) układu <math>n</math>''cząstek.

Każdy element <math>f</math> pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Focka jest postaci
: <math>f= (f_0, f_1, \dots, f_n, \dots),</math>

(często dla skrócenia zapisu pisze się <math>f= \sum_{n \geqslant 0} f_n,</math> bądź <math>f= \bigoplus_{n \geqslant 0} f_n</math>), gdzie <math>f_n</math> jest elementem przestrzeni <math>\mathcal{H}^{\otimes n}</math> (odpowiednio, <math>\mathcal{H}^{\vee n},</math> <math>\mathcal{H}^{\wedge n}</math>) oraz
: <math>\|f\|^2= \sum_{n \geqslant 0} \|f_n\|^2 < \infty.</math>

Wektor
: <math>\left(1,0,0, \dots \right)</math> (zapisywany często w postaci sumy prostej <math>1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus \dots</math>)

nazywany jest ''wektorem próżni'' (stanem próżni) i oznaczany symbolem <math>\Omega,</math> bądź <math>\textbf{1}.</math>

[[Podprzestrzeń liniowa|Przestrzeń liniowa]] <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H})</math> [[podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|generowana]] przez wektory postaci <math>u^{\otimes n},</math> gdzie <math>n</math> przebiega zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], a <math>u</math> przestrzeń <math>\mathcal{H},</math> tj.
: <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H}) = \text{Lin}\left\{u^{\otimes n} \colon n \geqslant 0, u \in \mathcal{H}\right\},</math>

jest [[zbiór gęsty|gęstą]] podprzestrzenią przestrzeni <math>\Gamma(\mathcal{H}).</math> Przestrzeń <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H})</math> nazywana jest ''przestrzenią skończonej liczby cząstek''.

== Przestrzeń Focka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta ==
Dla każdego elementu <math>u</math> przestrzeni <math>\mathcal{H}</math> wzór:
: <math>\varepsilon(u) := \left(1, u, \frac{u^{\otimes 2}}{\sqrt{2}}, \dots, \frac{u^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}, \dots\right)</math>

określa element przestrzeni <math>\Gamma(\mathcal{H}) \subseteq \Phi(\mathcal{H}),</math> nazywany ''wektorem wykładniczym'' (bądź ''eksponencjalnym'') wektora <math>u.</math> W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym <math>\varepsilon(0).</math>

Jeżeli <math>u</math> i <math>v</math> należą do <math>\mathcal{H},</math> to
: <math>\left\langle \varepsilon(u), \varepsilon(v) \right\rangle = e^{\left\langle u, v \right\rangle}.</math>

Dla dowolnego podzbioru <math>S</math> przestrzeni <math>\mathcal{H}</math> symbol <math>\mathcal{E}(S)</math> oznacza podprzestrzeń
: <math>\mathcal{E}(S):= \text{Lin} \left\{\varepsilon(u) \colon u \in S \right\}.</math>

W szczególności, gdy <math>S = \mathcal{H}</math> można pisać krótko <math>\mathcal{E}(S)=\mathcal{E}.</math> Zbiór <math>\left\{\varepsilon(u) \colon u \in \mathcal{H} \right\}</math> jest [[liniowa niezależność|liniowo niezależny]]. Co więcej, <math>\mathcal{E}</math> jest [[zbiór gęsty|gęstą]] podprzestrzenią przestrzeni <math>\Gamma(\mathcal{H}).</math>

; Przestrzeń Focka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta
Jeżeli <math>\mathcal{H}_1,</math> <math>\mathcal{H}_2</math> są przestrzeniami Hilberta, to
: <math>\Gamma(\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2)= \Gamma(\mathcal{H}_1) \otimes \Gamma(\mathcal{H}_2),</math>

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do [[izomorfizm]]u. Jeżeli przyjąć notację <math>\Gamma(\mathcal{H}) = e^{\mathcal{H}},</math> to powyższy wzór przybiera postać
: <math>e^{\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2}= e^{\mathcal{H}_1} \otimes e^{\mathcal{H}_2},</math>

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Focka bywa nazywana czasem ''wykładniczą przestrzenią Hilberta'' (nazwa pojęcia ''wykładnicza przestrzeń Hilberta'' pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa<ref>{{cytuj pismo |autor = H. Araki |autor2 = J.E. Woods |tytuł = Complete Boolean algebras of type I factors |czasopismo = Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences |wolumin = 2 |numer = 2 |strony = 157–242 |rok = 1966 |doi = 10.2977/prims/1195195888}}</ref> i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Focka w kontekście [[algebra Boole’a|algebr Boole’a]] [[rzut (algebra liniowa)|operatorów rzutu]] na przestrzeniach Hilberta).

== Baza przestrzeni Focka ==
Jeżeli <math>\mathcal{H}</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkową]] przestrzenią Hilberta oraz <math>(e_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest jej [[Baza ortonormalna|bazą ortonormalną]], to zbiory
* <math>\left\{\left. \Omega, e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n} \right| i_j=1,2, \dots,\ j=1,2, \dots, n,\ n=1,2, \dots \right\},</math>
* <math>\left\{\Omega, \left. \left(\frac{n!}{r_1!\dots r_k!}\right)^{\frac{1}{2}} e_{i_1}^{r_1} \vee e_{i_2}^{r_2} \vee\ldots \vee e_{i_k}^{r_k} \right| r_1+\ldots + r_k=n,\ 1 \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k,\ k, n = 1,2, \dots \right\},</math>
* <math>\left\{ \left. \Omega, (n!)^{\frac{1}{2}} e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge\ldots \wedge e_{i_n} \right| 1 \leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_n, n = 1,2, \dots \right\},</math>

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni <math>\Phi(\mathcal{H}),</math> <math>\Gamma(\mathcal{H})</math> i <math>\Psi(\mathcal{H}).</math> Wszystkie opisane wyżej bazy są [[zbiór przeliczalny|przeliczalne]], a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Focka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

== Operatory na przestrzeni Focka ==
Niech <math>u</math> będzie ustalonym elementem przestrzeni <math>\mathcal{H}.</math>

=== Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka ===
{{osobny artykuł|Operatory kreacji i anihilacji}}
Funkcje
: <math>a_0(u) \colon \{\varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H}\} \to \Gamma(\mathcal{H}),</math>
: <math>a_0^\dagger(u) \colon \{\varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H}\} \to \Gamma(\mathcal{H})</math>

dane wzorami
: <math>a_0(u)\varepsilon(v) = \left\langle u, v \right\rangle \varepsilon(v),</math>
: <math>a_0^\dagger(u)\varepsilon(v) = \frac{d}{dt} \left.\varepsilon(v+tu)\right|_{t=0}</math>

można, zgodnie z [[Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie|twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie]], przedłużyć do [[przekształcenie liniowe|operatorów liniowych]] określonych na <math>\mathcal{E}</math> w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór <math>\mathcal{E}</math> jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń <math>\mathcal{E}</math> jest gęsta w <math>\Gamma(\mathcal{H}),</math> tak więc <math>a_0(u)^*</math> i <math>a_0^\dagger(u)^*</math> są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:
: <math>a_0^\dagger(u) \subseteq a_0(u)^*, \quad \overline{a_0^\dagger(u)}= a_0(u)^*, \quad \overline{a_0(u)} = a_0^\dagger(u)^*</math><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Lindsay |imię = J. Martin |tytuł = Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1) |strony = 2007 |rozdział = Spaces and Operators |miejsce = Berlin |wydawca = Springer-Verlag |rok = 2005 |isbn = 978-3540244066 |język = en}}</ref>,

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania [[wykres funkcji|wykresów operatorów]].

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności
: <math>a(u) := a_0^\dagger(u)^*</math>

oraz
: <math>a^*(u) :=a_0(u)^*.</math>

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H})</math> jest ich dziedziną istotną (podobnie jak <math>\mathcal{E},</math> na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:
: <math>a(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n} \left\langle u, v \right\rangle v^{\otimes (n-1)}</math>

oraz
: <math>a^*(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n+1} P^{(n+1)}(u \otimes v^{\otimes n}).</math>

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni <math>n</math> do <math>n-1</math> cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni <math>n\text{-}</math> do <math>(n+1)</math>-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną, na jakiej są one zdefiniowane (jako domknięte operatory wzajemnie sprzężone), jest odpowiednio<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Meyer |imię = Paul-André |tytuł = Quantum Probability for Probabilists |strony = 61 |rozdział = Fock Space |miejsce = Berlin |wydawca = Springer |rok = 1995 |isbn = 3-540-60270-4 |język = en}}</ref>: dla operatora anihilacji
: <math>D(a(u)):= \left\{f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geqslant 0} \| a(u)f_n \|^2 < \infty \right\},</math>

oraz dla operatora kreacji
: <math>D(a^*(u)):= \left\{f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geqslant 0} \| a^*(u)f_n \|^2 < \infty \right\}.</math>

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR ([[język angielski|ang.]] ''canonical commutation relations'' i ''canonical anticommutation relations''):
: <math>[a(u), a^*(v)]=\left\langle u, v \right\rangle I,</math>
: <math>\{a(u), a(v)\}=\{a^*(u), a^*(v)\}=0</math>

gdzie <math>[\cdot, \cdot]</math> oznacza [[Komutator (matematyka)|komutator]] operatorów, a <math>\{\cdot, \cdot\}</math> ich [[Komutator (matematyka)#Antykomutator|antykomutator]]. Relacja CAR jest związana z tzw. [[Reguła Pauliego|regułą Pauliego]] mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Focka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,
: <math>\sup_{\|h\|=1} \|a(u)h\| \geqslant \sup_{v \in \mathcal{H}} \| a(u) e^{- \frac{\|v\|^2}{2}}\varepsilon(v) \| = \sup_{v \in \mathcal{H}}|\left\langle u, v \right\rangle |= \infty.</math>

W literaturze używana bywa również [[notacja Diraca]] w kontekście operatorów anihilacji – <math>a^-_{\left\langle u \right|}</math> i kreacji – <math>a^+_{\left|u \right\rangle},</math> przy czym wektor „bra” jest elementem [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeni sprzężonej]] do <math>\mathcal{H}.</math>

=== Operator liczby cząstek ===
{{osobny artykuł|Operator liczby cząstek}}

Operator liczby cząstek <math>N</math> na <math>\Gamma(\mathcal{H})</math> określony jest w następujący sposób:
: <math>N \colon D(N) \subset \Gamma(\mathcal{H}) \to \Gamma(\mathcal{H}),\ \ Nu= (nu_n)_{n \geqslant 0},</math>

gdzie:
: <math>D(N):= \left\{u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geqslant 0} n^2 \|u_n\|^2 < \infty \right\}.</math>

[[Operator liczby cząstek]] jest [[operator dodatni|operatorem dodatnim]] (w szczególności, jest on [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem samosprzężonym]]) na <math>\Gamma(\mathcal{H}).</math> Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek <math>\sqrt{N}.</math>

Zbiór <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H})</math> jest dziedziną istotną operatora <math>N,</math> tzn. jest domknięciem obcięcia operatora <math>N</math> do zbioru <math>\Gamma_{00}(\mathcal{H}).</math> W szczególności, dla dowolnej funkcji <math>f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{C},</math> operator <math>f(N)</math> jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:
: <math>D(f(N)):= \left\{u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geqslant 0} n^2 |f(n)|^2\|u_n\|^2 < \infty \right\},</math>
: <math>f(N)u= (f(n)u_n)_{n \geqslant 0}.</math>

== Przykłady ==
; Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych
Dla każdej [[liczby naturalne]]j <math>n\geqslant 0</math> iloczyn tensorowy <math>\mathbb{C}^{\otimes n}</math> można w naturalny sposób utożsamić z <math>\mathbb{C},</math> skąd
: <math>\Gamma(\mathbb{C}) = \Phi(\mathbb{C}) = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} \oplus \ldots = \ell^2.</math>

Dla każdej liczby zespolonej <math>z</math> wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci
: <math>\varepsilon(z)=\left(1, z, \frac{z^2}{\sqrt{2!}}, \dots, \frac{z^n}{\sqrt{n!}}, \dots \right)</math>

i należy do przestrzeni <math>\ell^2.</math>

Niech <math>\mu</math> będzie standardowym [[Rozkład normalny|rozkładem normalnym (Gaussa)]] na prostej. W [[przestrzeń Lp|przestrzeni]] <math>L^2(\mu)</math> rozważa się tzw. [[Funkcja tworząca|funkcję tworzącą]], zdefiniowaną przy pomocy [[Wielomiany Hermite’a|wielomianów Hermite’a]]:
: <math>e^{zx-\frac{1}{2}z^2}= \sum_{n \geqslant 0} \frac{z^n}{n!}H_n(x),</math>

gdzie <math>H_n</math> jest wielomianem Hermite’a [[stopień wielomianu|stopnia]] <math>n.</math>

Istnieje dokładnie jeden taki [[Izometria|izometryczny]] [[izomorfizm]] <math>U \colon \Gamma(\mathbb{C}) \to L^2(\mu),</math> że
: <math>[Ue(z)](x)=e^{zx-\frac{1}{2}z^2},\, z\in \mathbb{C}.</math>

; Przestrzeń Focka nad [[Przestrzeń funkcyjna|przestrzenią funkcji]] całkowalnych z kwadratem na półprostej
Niech <math>B=\{B(t) \colon t \geqslant 0\}</math> będzie standardowym [[Proces Wienera|procesem Wienera]] ([[Ruchy Browna|ruchem Browna]]) z odpowiadającą mu [[Przestrzeń probabilistyczna|miarą probabilistyczną]] <math>\mathbb{B}</math> na przestrzeni [[Funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] <math>C([0,\infty)).</math> Dla dowolnej funkcji zespolonej <math>f,</math> będącej elementem [[przestrzeń Lp|przestrzeni <math>L^2(\lbrack 0,\infty))</math>]] (z [[Miara Lebesgue’a|miarą Lebesgue’a]]), niech

oznacza jej [[Całka Paleya-Wienera|całkę stochastyczną Wienera]] względem procesu <math>B.</math> Istnieje wówczas dokładnie jeden [[Izometria|izometryczny]] [[izomorfizm]]
: <math>U \colon \Gamma(L^2([0,\infty))) \to L^2(\mathbb{B}),</math>

który spełnia warunek
: <math>[Ue(f)](B)= \exp{\left(\int_0^\infty f dB - \frac{1}{2} \int_0^\infty f(t)^2 dt \right)}.</math>

Związek pomiędzy [[Proces gaussowski|procesami gaussowskimi]] a przestrzenią Focka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku<ref>{{cytuj pismo |autor = I.E. Segal |tytuł = Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs |czasopismo = Centre Nationale de Recherche Scientifique |miejsce = Paryż |strony = 57–103 |rok = 1959}}</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Parthasarathy |imię = Kalyanapuram Rangachari |tytuł = An Introduction to Quantum Stochastic Calculus |strony = 123–134 |rozdział = Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces |miejsce = Berlin |wydawca = Springer |rok = 1992 |isbn = 3764326972 |język = en}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lindsay |imię = J. Martin |tytuł = Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1) |strony = 201–210 |rozdział = Spaces and Operators |miejsce = Berlin |wydawca = Springer-Verlag |rok = 2005 |isbn = 978-3540244066 |język = en}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Reed |imię = Michael |nazwisko2 = Simon |imię2 = Barry |tytuł = Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis |strony = 53–54 |rozdział = Hilbert Spaces |miejsce = Berlin |wydawca = Academic Press |rok = 1980 |isbn = 978-0125850506 |język = en}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Reed |imię = Michael |nazwisko2 = Simon |imię2 = Barry |tytuł = Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness |strony = 207–209 |rozdział = Self-adjointness |wydawca = Academic Press |rok = 1975 |isbn = 0125850026 |język = en}}

[[Kategoria:Przestrzenie Hilberta]]