text:
# دائرة
الدَّائرَة، في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ: شكلٌ مُستوٍ (مُسطًّح)، وهي محلُّ هندسيُّ، نِقاطُه في سطح مستوٍ، متساويةُ الأبعاد عن نقطةٍ داخلية ثابتة يُقال لها: المركز. تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النِقاطِ مُحيطَ الدائرةِ أو «المُحيطَ» اختصاراً. وتلك النُّقطةُ الثابتةُ: مركزَ الدائرةِ. وتُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. عرَّفها الأولون كالشريف الجرجاني في «التعريفات»، والبوزجاني، وابن سينا أنها: شكلٌ مُسطَّح (سطحٌ)، يُحيطُ به خطٌّ واحدٌ [خط مستدير؛ قوسيٌّ، وهو المحيط]، في داخله نقطةٌ كل الخطوطِ المستقيمةِ الخارجةِ منها (من هذه النقطة) إليه (إلى المحيط) متساويةٌ، وتسمى تلك النقطة: مركزَ الدائرة، وذلك الخط: مُحيطَها، وتلك الخطوط (المستقيمة): أنصافَ أقطارها. وقيل: الدائرة: أن تُثبت احد طرفَي خط مستقيم، فتُديرَه (دورةً تامةً) حتى يعود إلى وضعه الأول، فتحدُثَ الدائرة. والدائرةُ قِطْعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قِطْع مخروطي معدوم الاختلافِ المركزيّ؛ فالدائرة قِطْعٌ مخروطيٌّ، من قطع المخروط بمستوٍ يوازي قاعدتَهِ. وعُرِّفتِ الدائرةُ أيضًا أنها مُضلَّع مُنتظِم لا نهاية لأضلاعه.
ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي {\displaystyle \pi } أو ط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة {\displaystyle \pi } عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك. قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة {\displaystyle \pi } بدقةٍ عاليةٍ. وحَاولَ المِصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مِساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مِساحةُ الدائرةِ بضرب {\displaystyle \pi } في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.
وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.
تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات. تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.

## مصطلحات أساسية
|  | هذهِ المقالةُ مُدَعَّمةٌ بِصوَرٍ ورُسومٍ تَوضِيحيةٍ تُرافِقُ بعضَ التَّعاريفِ والمُعادلاتِ الرِِّياضيَّة. فضلاً، تأكَّد من ظُهورِ الصوَرِ. |

يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة {\displaystyle O} ونصف قطرها {\displaystyle r} رياضيَّاً بالرموز: «{\displaystyle C(O,r)}» و«{\displaystyle \odot C}» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة {\displaystyle O}» للإشارة إليها. ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د»
| المصطلح | التّعريف                                                            | الترميز العربي | التّرميز اللاتيني                       | ملاحظة       |
| ------- | ------------------------------------------------------------------ | -------------- | -------------------------------------- | ------------ |
| مركز    | نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.      | م              | {\displaystyle O} أو {\displaystyle M} | [ ملاحظة 3 ] |
| محيط    | مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز. | مح             | {\displaystyle C_{O}}                  | [ ملاحظة 4 ] |
| مساحة   | منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة.                                 | م              | {\displaystyle A}                      | [ ملاحظة 5 ] |
| نصف قطر | أو الشعاع: قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.  | نق             | {\displaystyle r}                      | [ ملاحظة 6 ] |
| وتر     | قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.                   |                |                                        |              |
| قطر     | وتر مار بمركز الدائرة.                                             | ق              | {\displaystyle d}                      | [ ملاحظة 7 ] |

| الجزء   | التّعريف                                     | الرمز | صورة |
| ------- | ------------------------------------------- | ----- | ---- |
| قوس     | جزء متّصل من محيط الدائرة.                   | ︵    |      |
| قطاع    | مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما. | ⌔     |      |
| قطعة    | مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.            | ⌓     |      |
| قرص     | مساحة تحصرها دائرة.                         |       |      |
| نصف قرص | مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.            |       |      |

## التعريف
تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...». وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle) إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».
وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

### تعريف إقليدس
عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:
| دائرة | الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً | دائرة |

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:
تعريف إقليدس في نظرية المجموعات — إذا وقعت النقطة {\displaystyle O} على المستوى {\displaystyle E} فإن الدائرة {\displaystyle C} التي مركزها {\displaystyle O} ونصف قطرها {\displaystyle r} هي مجموعة جميع النقاط {\displaystyle M}التي تنتمي إلى المستوى {\displaystyle E}، وتبعد عن النقطة {\displaystyle O} مسافةً مقدارها {\displaystyle r}.
ويمكن صياغة التعريف السابق رياضيَّاً بالشكل التالي:
{\displaystyle C(O,r)=\left\{M\in E~:~{\overline {OM}}=r\right\}}

### تعريف أبولونيوس
أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ {\displaystyle A,B} نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها {\displaystyle A,B} هي المحل الهندسي لجميع النقاط {\displaystyle P} التي تُحقِّقُ أنَّ:

{\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}النسبة التبادلية لدائرة
تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين {\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {BD}}} أو لرباعية النقاط {\displaystyle A,B,C,D} المتسامتة على الترتيب: {\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}} حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.}. إذا كانت النقاط {\displaystyle A,C,B} مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط {\displaystyle P} التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.{\displaystyle |[A,B;C,P]|=1.\ }. بمعنىً آخر: {\displaystyle P} هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط {\displaystyle A,C,B} إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية {\displaystyle [A,B;C,P]} مساوياً للواحد.
تُعرّفُ النقطة {\displaystyle D} على أنّها المرافق التوافقي للنقطة {\displaystyle C} بالنسبة لـ{\displaystyle A} و{\displaystyle B}. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي {\displaystyle -1}. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية. النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ. في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط {\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}} «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي {\displaystyle -1}). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها {\displaystyle P} يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.

#### تعريف الدائرة المعممة
في حال ما كانت {\displaystyle C} منتصف القطعة {\displaystyle {\overline {AB}}} فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط {\displaystyle P} التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم. هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.

### تأويل لانهائي
بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius) يُرمز إليه بالرمز {\displaystyle r} أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius) يُرمز إليه بالرمز {\displaystyle R} باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية: {\displaystyle {\begin{aligned}C=\lim _{n\to \infty }2rn\tan {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi r\\=\lim _{n\to \infty }2Rn\sin {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi R\end{aligned}}}والمساحة، عبر العلاقة:{\displaystyle {\begin{aligned}A=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\tan {({\pi }{n})}=\pi r^{2}\\=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {({\tfrac {2\pi }{n}})}=\pi R^{2}\end{aligned}}}والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.

### الدائرة بوصفها حالة حدية
تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر. البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: {\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1} حيث أنَّ {\displaystyle n,a,b} أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه {\displaystyle a=b}. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما {\displaystyle n=2}.

#### القطوع المخروطية
تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر ({\displaystyle e=0}) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.

### استيفاء المساحة
تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.
ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.
بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.
غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:
{\displaystyle 4\pi A\leq L^{2}}
وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع {\displaystyle R} هو {\displaystyle \pi R^{2}} ومُحيطُ الدائرةِ هو {\displaystyle 2\pi r} بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان {\displaystyle 4\pi R^{2}}. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز. لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:
{\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}
تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ {\displaystyle Q\leq 1} بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط{\displaystyle {\frac {L^{2}}{A}}} هي على الأقل {\displaystyle 4\pi } لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي: {\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.}. إذا كان {\displaystyle C} منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:
{\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}
حيث أن {\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}} ترمز إلى طول {\displaystyle C} والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان {\displaystyle C} منحنى ثابت العرض.

### دوائر بإعادة تعريف المسافة
تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-{\displaystyle p} (بالإنجليزية: p-norm)، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:
{\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون {\displaystyle p=2}، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:
{\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}
في هندسة سيارة الأجرة، تكون {\displaystyle p=2}. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع {\displaystyle r} في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع {\displaystyle 2r}. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.

## النَّتائِجُ التَّحليليَّة
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة {\displaystyle r={\frac {d}{2}}}. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة. وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.

### المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبةπ{\displaystyle \pi }
يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها. ويُرمز لهذه النسبة بـ«{\displaystyle \pi }» أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة {\displaystyle \pi } وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:{\displaystyle {\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}}في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة {\displaystyle \pi }، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة {\displaystyle \pi }:
{\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}\approx 3.14}{\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}على الرغم من تعريف {\displaystyle {\pi }} الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى {\displaystyle {\pi }} تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني {\displaystyle {\pi }} منذ منتصف القرن الثامن عشر. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي، {\displaystyle {\pi }} لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة {\displaystyle a/b}. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب {\displaystyle {\pi }}. كما أن {\displaystyle {\pi }} عدد متسامٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ{\displaystyle {\pi }} إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية. تعلق الثابت {\displaystyle {\pi }} بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

### المِساحَةُ
تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ {\displaystyle \pi }. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه {\displaystyle \pi r} وعَرْضُه {\displaystyle r}. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:
{\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r\cdot r=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}}

## الأقْواسُ
يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ {\displaystyle 360^{\circ }}. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:
| الدرجة                                                                                | الراديان                                                                                |
| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|                                                                                |                                                                                |
| يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه {\displaystyle {\frac {1}{360}}}من قياس الدائرة كاملةً. | يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية {\displaystyle r}. |

 كانت {\displaystyle A,B} نقطتين مختلفتين على الدائرة {\displaystyle C(O,r)} فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر {\displaystyle {\widehat {AB}}}، وقوس أكبر {\displaystyle {\widehat {AB}}} يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر {\displaystyle {\widehat {AB}}} أحياناً بالرمز {\displaystyle {\widehat {ACB}}} عِوَضاً عن ذكر «{\displaystyle {\widehat {AB}}} الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر {\displaystyle {\widehat {AB}}} على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية {\displaystyle \angle AOB} الداخلية ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين {\displaystyle A,B} على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن {\displaystyle 180^{\circ }}. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر {\displaystyle {\widehat {AB}}} هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية {\displaystyle \angle AOB} المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين {\displaystyle A,B} على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن {\displaystyle 180^{\circ }}. تُسمَّى النقطتان {\displaystyle A,B} طرفا القوس {\displaystyle {\widehat {AB}}} أو طرفا الوتر {\displaystyle {\overline {AB}}}. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ {\displaystyle A,B} نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.
إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي {\displaystyle \ell }، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.
{\displaystyle {\frac {l}{C_{O}}}={\frac {l}{2\pi r}}={\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}\Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180^{\circ }}}}
| القوس الأصغر {\displaystyle {\widehat {AB}}} | القوس الأكبر {\displaystyle {\widehat {AB}}} (أو اختصاراً {\displaystyle {\widehat {ACB}}}) | نصف الدَّائرة {\displaystyle {\widehat {ADB}}} |
|                                              |                                                                                |                                              |

## القطع والجزئيات

### القرص
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:{\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}}.

### القطاع
يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.{\displaystyle A_{S}=\pi r^{2}\cdot {\frac {v}{360^{\circ }}}=(v{\text{ rad}})\cdot r^{2}}تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى {\displaystyle 360^{\circ }} مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة {\displaystyle 100\%}.

## الزوايا
| الزاوية      | التّعريف                                                   | موقع رأس الزَّاوية | قياس الزَّاوية                                                                     | ملاحظة        |
| ------------ | --------------------------------------------------------- | ---------------- | -------------------------------------------------------------------------------- | ------------- |
| زاوية مركزية | زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ{\displaystyle v} | مركز الدَّائرة     | قياس القوس المقابل                                                               | [ ملاحظة 16 ] |
| زاوية محيطية | زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط                | محيط الدَّائرة     | نصف قياس القوس المقابل                                                           | [ ملاحظة 17 ] |
| زاوية مماسية | زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس               | محيط الدائرة     | نصف قياس القوس المَحصُور.                                                          | [ ملاحظة 18 ] |
| زاوية خارجة  | زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة                | محيط الدائرة     | قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي.                                            |               |
| زاوية داخلية | زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة                      | داخل الدَّائرة     | نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس |               |
| زاوية خارجيَّة | زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة                      | خارج الدَّائرة     | نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها                                 |               |

| الحالة الأولى                           | الحالة الثَّانية                                  | الحالة الثَّالثة                                | مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة)         |
| --------------------------------------- | ----------------------------------------------- | --------------------------------------------- | ------------------------------- |
|                                         |                                                 |                                               |                                 |
| يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ. | يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ. | يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة. | الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ. |

مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية — الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.
المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.
مبرهنة الزاوية الداخلية — الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.
مبرهنة الزاوية الخارجية — الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.

## النقاط
| النِّقاطُ {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}} هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ. | النقطتانِ {\displaystyle P,P'} نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً. |

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:
| التصنيف          | التعريف                                                                | الترميز                    | مراجع         |
| ---------------- | ---------------------------------------------------------------------- | -------------------------- | ------------- |
| نقطة داخلية      | نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.      | {\displaystyle Int~C(O,r)} | [ ملاحظة 19 ] |
| نقطة مُحيطيَّة      | نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر. | {\displaystyle C(O,r)}     |               |
| نقطة خارجيَّة      | نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.     | {\displaystyle Ext~C(O,r)} | [ ملاحظة 20 ] |
| نقطتان متقابلتان | أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة         | {\displaystyle P,P'}       |               |

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها {\displaystyle O} والنقطة المتغيِّرةُ {\displaystyle P}، فإنَّ مجموعة نقاط {\displaystyle P} في المستوى {\displaystyle E} تُعرَّف على أنَّها: {\displaystyle Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}<r\right\}}{\displaystyle Ext~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {PQ}}>r\right\}}تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.
يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.{\displaystyle \left\{P,P'\in C(O,r)~:~{\overline {PP'}}=2r\right\}}

### قوة النقطة
تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة {\displaystyle P} بالنسبة للدائرة {\displaystyle C(O,r)} هي المقدار:{\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}}. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ {\displaystyle P} تكونُ مقداراً سالباً عندما {\displaystyle OP<r} أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)} هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)}.
كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن {\displaystyle T} نقطة تماس المماس الخارج من {\displaystyle P} إلى الدائرة {\displaystyle O}. من مبرهنة التعامد: {\displaystyle OT\perp PT}، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: {\displaystyle \triangle OTP}، فإنَّ {\displaystyle OT^{2}+PT^{2}=OP^{2}} أو بشكلٍ مكافئ:{\displaystyle OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}}.
| الاسم              | الصيغة الرياضية                                                           | النص                                                                                |
| ------------------ | ------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| مبرهنة قِطَع الوتر   | {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{1}B\cdot P_{1}D=P_{1}A\cdot P_{1}C} | إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.                                                                                |
| مبرهنة القاطع      | {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{2}X\cdot P_{2}Y=P_{2}Z\cdot P_{2}W} | إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.                                                |
| مبرهنة قاطعُ التَّماسِ | {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=PT^{2}=PA\cdot PB}                     | إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة. |

|                            |                     |
| مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع. | مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ. |

## أزواج الدوائر
| دائرتان متباعدتان                                   | دائرتان متباعدتان                               | دائرتان متماستان                    | دائرتان متماستان                    | دائرتان متقاطعتان                                  | دائرتان متقاطعتان                                  |
| --------------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ----------------------------------- | ----------------------------------- | -------------------------------------------------- | -------------------------------------------------- |
| دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ                       | دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ                   | دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ | دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ | أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان. | أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان. |
|                                                     |                                                 | خارجيَّاً                              | داخليَّاً                              |                                                    |                                                    |
| دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى | دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى |                                     |                                     |                                                    |                                                    |
|                                                     |                                                 |                                     |                                     |                                                    |                                                    |

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار {\displaystyle r_{1}} نصف قطر الدائرة الأولى و{\displaystyle r_{2}} نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم {\displaystyle \ell } الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:{\displaystyle r_{1}+r_{2}<\ell <r_{1}-r_{2}}
|                                                                                |                                                     |                                                                                |                                                                |
| الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما. | الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه. | الدائرتان متحدتا المركز أو في الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه. | الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه. |

الدائرتان متحدتا المركز: {\displaystyle \odot O} التي نصف قطرها {\displaystyle {\overline {OA}}} و{\displaystyle \odot O} التي نصف قطرها {\displaystyle {\overline {OB}}} دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: {\displaystyle \odot O_{1}\cong \odot O_{2}\Leftrightarrow {\overline {O_{1}A}}\cong {\overline {O_{2}B}}}.
|                                                        |                                                        |                                                     |                                            |
| الحلقة: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز. | العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع. | مثلث رولو: تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى | سكين الحَذَّاء: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما |

تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به {\displaystyle \theta } بالراديان ونصف قطر الدائرتين {\displaystyle R} بالصيغة الآتية:{\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)}بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.

## الأوتار والمستقيمات
| المستقيم    | التعريف                                    | رياضياً                                                                                | ملاحظة        |
| ----------- | ------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------- |
| مستقيمٌ قاطِعٌ | مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.             | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ({\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )<r}) | [ ملاحظة 22 ] |
| مستقيمٌ مَاسٌّ  | مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة.          | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ({\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )=r}) | [ ملاحظة 23 ] |
| مستقيمٌ مَارٌّ  | مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. | مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ ({\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )>r}) | [ ملاحظة 22 ] |
| مستقيمٌ مُنَصِّفٌ | مستقيم يمر بمركز الدائرة.                  | مستقيم يمر بنقطة المركز، أو بُعدُه عن المركز معدومٌ. ({\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )=0})   | [ ملاحظة 22 ] |

|  |  |  |

| المستقيم         | التَّعريف                                                                                | الترميز                                            |
| ---------------- | -------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------- |
| خطُّ مركزين        | مستقيم يصل بين مركزي دائرتين                                                           | {\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}           |
| وتر مُشترك        | وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين                                                      | {\displaystyle {\overline {AB}}}                   |
| مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ | أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.                     | {\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}} |
| مماسٌ مشتركٌ داخليّ | أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.            | {\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}} |
| قطعة تماس        | قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين                                          | {\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}}           |
| محور أساسي       | المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين. | {\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}         |

### التناظر في الدائرة
في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ {\displaystyle O(2,R)}. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة ({\displaystyle \mathbb {T} }) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.
{\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}~.}
في الدائرة ذات المركز {\displaystyle O} والوتر {\displaystyle {\overline {AB}}}، المثلث {\displaystyle \triangle ABO} متطابق الضلعين. إذا كانت {\displaystyle M} نقطة منتصف {\displaystyle {\overline {AB}}} فإنَّ {\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO} من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ {\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO} وكذلك {\displaystyle OM\perp AB}. أيضاً الزاويتان {\displaystyle \angle AOM\cong \angle BOM}. إذا كانت {\displaystyle P,Q} نقطتا تقاطعِ المستقيمِ {\displaystyle OM} مع الدائرة، فإنَّ من تطابق {\displaystyle \triangle OAP\cong \triangle OBP} (SSS) والذي يُنتج {\displaystyle {\overline {AP}}\cong {\overline {BP}}}. كنتيجة، القوسان {\displaystyle AP,BP} متطابقان أيضاً. بالمثل، {\displaystyle \triangle AOQ\cong \triangle BOQ} (من تطابق SAS) و{\displaystyle {\overline {AQ}}\cong {\overline {BQ}}}. وهذا يعني أن الدائرةَ {\displaystyle O} ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر {\displaystyle {\overline {AB}}}. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.
إذا كانت {\displaystyle T} تقاطع مماسات الدائرة عند {\displaystyle A,B}، فمن مبرهنة فيثاغورس، {\displaystyle TA^{2}=TO^{2}-OA^{2}=TO^{2}-OB^{2}=TB^{2}}. مما يعني أنَّ {\displaystyle TA=TB}. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ {\displaystyle \angle OAT\cong \angle OBT}، إذن، الزاوية {\displaystyle TOA=TOB}، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ {\displaystyle T} تقع على المنصف العمودي لـ{\displaystyle AB}. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة {\displaystyle O} في {\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}} فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.
تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:
- أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، يتعامد عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.
- يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
- الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
- المماس عند نقطة التماس يتعامد مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
- المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

### التطابق في الدائرة
ليكن {\displaystyle {\overline {AB}}} وتراً في الدائرة {\displaystyle C(O,r)}. بتطبيقِ متباينة المثلث: {\displaystyle OB+OC>AB} لكنَّ {\displaystyle OA=OB=r}، إذن بالتعويض ينتجُ {\displaystyle AB<2r}. أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة. في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين {\displaystyle {\overline {AB}},{\overline {CD}}} لهما الطول نفسه في الدائرة {\displaystyle C(O,r)}، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: {\displaystyle OA=OB=OC=OD=r}. وعلى ذلك {\displaystyle \triangle OAB\cong \triangle OCD}، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.

### العمق وطول الوتر
عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta) هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية {\displaystyle \theta } في الدائرة التي نصف قطرها {\displaystyle r} بالصيغة:
{\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته {\displaystyle \theta } بالصيغة {\displaystyle 2r\sin \theta }. أما إذا أُعطي وترٌ طوله {\displaystyle y} وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ{\displaystyle x} فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:{\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}

### خط القوة
خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:
- خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
- خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
- خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
- خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
- لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

#### مركز القوة
لتكن {\displaystyle A,B,C} دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.
وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين {\displaystyle A,B} مع محور الأساسي الدائرتين {\displaystyle C,D} في نقطة {\displaystyle M} فإنَّ المماسات المنطلقة من {\displaystyle M} لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,A)={\mathcal {Pow}}(M,B)} وأيضاً {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,B)={\mathcal {Pow}}(M,C)} فبالتعدّي، يُصبح {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,C)={\mathcal {Pow}}(M,A)}وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة {\displaystyle M} تقعُ على خط القوة للدائرتين {\displaystyle C,A} وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة {\displaystyle M}. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة {\displaystyle M} مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.

## العلاقات مع المضلعات
لِكلّ مثلثٍ ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.
هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.

### المُثلَّث
تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث. لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر  بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.
- يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.
- يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).
- يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:{\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:{\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:
{\displaystyle {\begin{aligned}2R&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}
والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:
{\displaystyle 2R={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:{\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}}}تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:{\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}
تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:{\displaystyle DF+DG+DH=R+r}دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:
- منتصف كل ضلع المثلث.
- مسقط كل رأس المثلث.
- منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة {\displaystyle N}) القطعة المستقيمة {\displaystyle {\overline {OH}}} الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: {\displaystyle {\overline {NO}}={\overline {NH}}}.

### الرباعي الدائري
الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه. الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:
- تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
- وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
- وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: {\displaystyle \angle CAD=\angle CBD})
- انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.
- انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.

جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.
بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: {\displaystyle a,b,c,d} ونصف محيطه {\displaystyle s} حيث {\displaystyle S={\frac {a+b+c+d}{2}}} بالصيغة الآتية:
{\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:
{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}

### مُضلَّعاتٌ مماسيَّة
المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral) على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral) هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.
يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو {\displaystyle n} رأس هي {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}} ومساحته {\displaystyle K} ونصف محيطه {\displaystyle s} فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:
{\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}

## مبرهنات
بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

### مبرهنة بطليموس
مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: {\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.

### خط أويلر
خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات {\displaystyle H}، ملتقى المتوسطات {\displaystyle G}، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع {\displaystyle O,N}. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.

### خط سيمسون
خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line) هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان {\displaystyle \triangle ABC} مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ {\displaystyle \Omega } والنّقطةُ {\displaystyle P} واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث {\displaystyle CA,AB,BC} هي {\displaystyle L,M,N} على الترتيب، فإنّ النقاط {\displaystyle L,M,N} هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.

### مبرهنة باسكال
في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem) على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.
الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي {\displaystyle ABCDEF} تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:
{\displaystyle H=AF\cap DC,G=AB\cap DE,K=AF\cap BC}.
كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:
{\displaystyle {\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.}

### مبرهنة مونج
تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge's theorem)، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة. بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.

### مبرهنة فويرباخ
تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach's theorem) على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م، وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.

### مبرهنة ميكيل
مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem) هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان {\displaystyle \triangle ABC} مثلثاً واختيرت النقاط {\displaystyle A',B',C'} على أضلاعه {\displaystyle CA,AB,BC} فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات {\displaystyle \triangle AB'C',\triangle A'BC',\triangle A'B'C} تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة {\displaystyle M} تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.
|                                                                                |                                                                                |                                                                                |
| خط سيمسون {\displaystyle LN} (بالأحمر) للنقطة {\displaystyle P} بالنسبة للمثلث {\displaystyle \triangle ABC} يمُرُّ على النقاط {\displaystyle L,M,N}. | مبرهنة ميكيل: الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ {\displaystyle \triangle ABC}ونقاطٍ مشتركةٍ على أضلاعه {\displaystyle A',B',C'}، تُسمّى دوائرَ ميكيل وهي متلاقية في نقطةٍ ما {\displaystyle M}. | تنص مبرهنة دوائر ميكيل الست على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ.              |
|                                                                                |                                                                                |                                                                                |
| مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام: الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة.                                                      | مبرهنة ميكيل على الخماسي.                                                                                | مبرهنةٌ الفراشة: النقطة {\displaystyle M} هي منتصف {\displaystyle X,Y} حيث أنَّ الوترين {\displaystyle AB,CD} يمرّان بمنتصف {\displaystyle PQ}. |

### مبرهنة كايزي
مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem) وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس ، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي. تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن {\displaystyle \,O} دائرةً شعاعها {\displaystyle \,R}. ولتكن {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل {\displaystyle \,O}وتمسها على الترتيب. وليرمز {\displaystyle \,t_{ij}} إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين {\displaystyle \,O_{i},O_{j}}، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:
{\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}
لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.

### مبرهنة الفراشة
تنصُ مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة {\displaystyle M} هي منتصف الوتر {\displaystyle PQ} في دائرة، وُرسم وتران آخران {\displaystyle AB,CD} يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان {\displaystyle AD,BC} يقطعان الوتر {\displaystyle PQ} في نقطتين متماثلتين {\displaystyle X,Y} حول {\displaystyle M}، أي أنَّ النقطة {\displaystyle M} هي منتصف القطعة المستقيمة {\displaystyle XY}.

## التحويلات الهندسية
هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:

### التحاكي
| مركز التشابه الخارجي لدائرتين | مركز التشابه الداخلي لدائرتين |
|                               |                               |

التحاكي (بالإنجليزية: Homothety) هو تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن {\displaystyle C_{1}=(x_{1},y_{1}),C_{2}=(x_{2},y_{2})} مركَزَيْ الدائرتين و{\displaystyle r_{1},r_{2}} هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي {\displaystyle (x_{0},y_{0})} يُحسَب عبر الصيغة:
{\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}
بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي {\displaystyle (x_{e},y_{e})} بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.
{\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي. تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها {\displaystyle 1}، فإنّ هذه المراكز متسامتة.

### التعاكس
التعاكس (بالإنجليزية: Inversion) هو تحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة {\displaystyle P} المُختلفة عن المركز حول الدائرة {\displaystyle C(O,r)} على أنه نُقطةٌ {\displaystyle P'} تقع على الشّعاع {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}} تُحقّق العلاقة: {\displaystyle OP\cdot OP'=r^{2}}. هُناك اختلاف حول صورة المركز {\displaystyle O}، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة {\displaystyle O} هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه نقطة في اللانهاية. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ {\displaystyle P} إلى صورتها {\displaystyle P'} أيضاً ينقل الصورة {\displaystyle P'} إلى الأصل {\displaystyle P}؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس دالةً ارتداديَّة، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.
- انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.
- انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.
- التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.

ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.

## الهندسة التحليلية

### دائرة الوحدة والدوال المثلثية
يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و{\textstyle {\frac {\pi }{2}}} راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ {\displaystyle \theta } دائرةَ الوحدةِ في النقطة {\displaystyle A=(x,y)} فإنّ الدالةُ {\displaystyle \cos \theta } تُعرّف على أنها الإحداثي {\displaystyle x} والدالة {\displaystyle \sin \theta } هي الإحداثي {\displaystyle y} لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: {\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )}. وبرسم مماس من النقطة {\displaystyle (x,y)} يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين {\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)} على الترتيب، فإنَّ {\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta }.
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة {\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})} باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة {\displaystyle OA=r} هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم {\displaystyle \triangle OCA}. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات {\displaystyle x,y} يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}. وأخيراً فإنَّ المسافات {\displaystyle AF,AE} تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: {\displaystyle \cot {\theta },\tan {\theta }} على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة {\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF}للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}
بما أنَّ دوراناً بزاوية {\displaystyle \pm 2\pi } لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط {\displaystyle F,A,E} ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ {\displaystyle 2\pi }. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)} و{\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)} صالحةٌ لأي زاوية {\displaystyle \theta } ولأي عدد صحيح {\displaystyle k}. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

### الإحداثيات الديكارتية
في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة {\displaystyle (a,b)} مركزاً لدائرةٍ {\displaystyle C(a,b)} نصف قطرها {\displaystyle r}، والنُّقطةُ {\displaystyle (x,y)} مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين {\displaystyle C,P} هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى {\displaystyle r}، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:
{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}
تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر {\displaystyle r}. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان {\displaystyle x-a} و{\displaystyle y-b} طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.
كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل {\displaystyle (0,0)} تُصبح المُعادلة بتعويض قيم {\displaystyle a,b}: كالآتي{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\!\ }وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية (بالإنجليزية: Parametric equation) باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي:{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,}{\displaystyle y=b+r\,\sin t\,}حيث أن {\displaystyle t} هو وَسِيطٌ (بالإنجليزية: Parameter) تتغيرُ قيمتُه بين العددين {\displaystyle 0} و {\displaystyle 2\pi }. هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين {\displaystyle (a,b)} و {\displaystyle (x,y)} مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:
{\displaystyle x=a+r\cdot {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,}{\displaystyle y=b+r\cdot {\frac {2t}{1+t^{2}}}}
إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-r\right)^{2}=r^{2}}. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: {\displaystyle \left(x-r\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}.
كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين {\displaystyle A,B} هي {\displaystyle A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})} بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة {\displaystyle P(x,y)} على مُحيط الدائرة وبما أن {\displaystyle AB} قُطر في الدائرة، فإن {\displaystyle m{\widehat {\displaystyle APB}}={\frac {1}{2}}\cdot 180=90} وعليه فإن {\displaystyle AP\perp PB}، ليكن ميل المستقيمين {\displaystyle m_{1},m_{2}} هما على الترتيب، حيث:
{\displaystyle m_{1}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}},m_{2}={\frac {y-y_{2}}{x-x_{2}}}}ولِكَوْن {\displaystyle AP\perp PB} فإن {\displaystyle m_{1}m_{2}=-1} وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0}إذا كانت {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})} نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها {\displaystyle r} على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }

#### صيغة الثلاث نقاط
بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}عبر المعادلة الآتية:{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}

يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}=0}وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:

حيثُ أنَّ {\displaystyle c=a} وَ:
{\displaystyle {\begin{aligned}a={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\d=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\e={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\end{bmatrix}}\\f=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة: {\displaystyle (x_{0},y_{0})=(-{\tfrac {d}{2a}},-{\tfrac {e}{2a}})} ونصف قطرها:
{\displaystyle r={\sqrt {{\frac {d^{2}+e^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {f}{a}}}}}

### الإحداثيات القطبية
في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها {\displaystyle r} ومركزها عن النقطة {\displaystyle R(a_{1},\theta _{1})} يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث {\displaystyle \triangle ORP}، حيث أنَّ النقطةَ {\displaystyle P(a,\theta )} تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:
{\displaystyle a^{2}+a_{1}^{2}-2aa_{1}\cos(\theta -\theta _{1})=r^{2}}
حيث أنّ {\displaystyle (r,\theta )} هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و {\displaystyle (r_{0},\phi )} هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة {\displaystyle (r,0^{0})} فإن {\displaystyle \theta _{1}=0^{0}} وَ {\displaystyle a_{1}=r} وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: {\displaystyle a=2r\cos \theta }. وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة {\displaystyle (r,{\frac {\pi }{2}})} تأخذ المعادلة الصورة: {\displaystyle a=2r\sin \theta }.

### المستوى العَقَدي
في المستوى العقدي، الدائرة ذات المركز {\displaystyle c} ونصف قطر {\displaystyle r} تُمَثَّلُ بالمعادلةِ {\displaystyle |z-c|^{2}=r^{2}\,}. وقد تُكتب أيضاً على الصورة الوسيطية الآتية: {\displaystyle z=re^{it}+c}. تُستخدم جذور الوحدة أو أعداد دي موافر أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات الأعداد المركبة لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو عدد عقدي يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة {\displaystyle n} ينتج واحداً. تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد وحروف الزمر ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع.

### التفاضل والتكامل
في الدائرة ذات القطر {\displaystyle d} والشعاع {\displaystyle r}، يكون مُحيطها {\displaystyle C}:
{\displaystyle C=\pi d=2\pi r}
بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة باستعمال صيغة طول القوس بالإحداثيات القطبية في التفاضل والتكامل:
{\displaystyle C=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}d\theta =\int _{0}^{2\pi }{r}d\theta =2\pi r}استعمل أرخميدس طريقةَ استنفادٍ لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرةَ إلى أربعةِ قطاعاتٍ مُتساوية، ثمَّ أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعاتٍ مُتساويةٍ مُجدداً، واستمرَّ في ذلك إلى أن وصل إلى شكلٍ مُشابهٍ لمتوازي الأضلاع:
| خطوة1                       | خطوة2 | خطوة3 |
| --------------------------- | ----- | ----- |
|                             |       |       |
| النتيجة النهائية (قبل وبعد) |       |       |
|                             |       |       |

بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض أن الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. وعلى ذلكَ فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساويةً لمساحةِ مُتوازي الأضلاع، والتي يُمكنُ حسابها بقانون المساحة الخاص بمتوازي الأضلاع: وهو جداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المُحيط ({\displaystyle 2\pi r}) بينما ارتفاعه هو {\displaystyle r}. وعلى ذلك تُصبح المساحة الكلية {\displaystyle A=\pi r^{2}}. حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثرَ رسميةٍ في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:
{\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }{d\theta }\int _{0}^{r}rdr=(2\pi )\left({\frac {1}{2}}r^{2}\right)=\pi r^{2}}

## في الأبعاد الأخرى

### الكرة
الكرة أو الفلكة هي سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها. تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.
إذا قطع المستوى {\displaystyle ax+by+cz+d=0} الكرةَ {\displaystyle x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0}، فانَّ المقطع الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المقطع. تكون دائرة المقطع أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المقطع دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.

### الأُسطوانة
هي مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه أيضاً على أنه مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاة.

### الكرة الفائقة
في الهندسة الرياضية متعددة الأبعاد، الهايبرسفير أو الكرة الفائقة (بالإنجليزية: Hypersphere) هي مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى المركز. تُعد الهايبرسفير متعددة الشعب. ومع زيادة نصف قطرها، يزداد انحناؤها. المستويات الفائقة والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.

## إنشاءات المسطرة والفرجار
الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أو أقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هو أداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من بلاستيك أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أو حِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أو الإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.
الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.
القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:
- إنشاء عمود منصف لقطعةٍ مُستقيمةٍ: بافتراض أنَّ {\displaystyle {\overline {AB}}} قطعة مستقيمة، ارسم الدائرتين {\displaystyle C(A,{\overline {AB}}),C(B,{\overline {AB}})} وافترض أنهما يتقاطعان في {\displaystyle X,Y}. إنَّ {\displaystyle XY} هُو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة {\displaystyle {\overline {AB}}}.[ِ 5]
- إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية {\displaystyle \angle ABC} كالآتي:[ِ 5]

1. أنشئ الدائرة {\displaystyle C(B,r)} وافترض أنها تقطع شعاعا الزاوية {\displaystyle {\overrightarrow {BA}},{\overrightarrow {BC}}} في {\displaystyle A',C'} على الترتيب.
2. ارسم الدائرتين {\displaystyle C(A',r),C(C',r)} بأيِّ نصفِ قُطرٍ {\displaystyle r}، وافترض أن إحدى نقطتي تقاطعهما هي {\displaystyle T}.
3. إن منصفَ الزاويةِ {\displaystyle \angle ABC} هو {\displaystyle BT}.
4. لإنشاء المنصف الخارجي للزاوية، طبق الخطوات السابقة لكن مع أخذ الشعاعين: {\displaystyle {\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CB}}}.

| إنشاء عمود منصف | إنشاء منصف زاوية                | إنشاء سداسي منتظم | إنشاء مربع |
| --------------- | ------------------------------- | ----------------- | ---------- |
|                 | رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية. |                   |            |

- إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن {\displaystyle A}، {\displaystyle B}، {\displaystyle C} ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين {\displaystyle AB} وَ{\displaystyle BC} غير متوازيين لانعدام تَسامُتِ النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي {\displaystyle O}، وبما أن {\displaystyle OA=OB=OC} فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها {\displaystyle O}. بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.[ِ 2][ِ 5]إنشاءات المسطرة والفرجار هي التي ميّزت الهندسةَ الإقليدية. ولهذا كانت تُسمّى: «هندسة المسطرة والفرجار».
- إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت {\displaystyle C(O,r)} دائرةً، و{\displaystyle P} نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة {\displaystyle P} إلى الدائرة يكون كالآتي:[ِ 5]

1. صِلْ {\displaystyle OP} ولتكن {\displaystyle M} نقطة تقاطعه مع الدائرة.
2. خُذ نقطة منتصف {\displaystyle OM} ولتكن {\displaystyle N}.
3. ارسم الدائرة {\displaystyle \Omega } التي قطرها {\displaystyle {\overline {OM}}} أو بترميز الدائرة: {\displaystyle C(N,{\frac {|{\overline {OM}}|}{2}})}.
4. تقاطع الدائرة {\displaystyle \Omega } مع الدائرة الأصلية {\displaystyle C(O,r)} هما نقطتا تماس النقطة {\displaystyle P} مع الدائرة {\displaystyle C(O,r)}.

- إنشاء المماس المشترك الداخلي لدائرتين: لتكن {\displaystyle A,B} دائرتين معلومتين مركزاهما {\displaystyle O_{1},O_{2}} على الترتيب. إنشاء المماس المشترك لهما من الداخل، يكون كالآتي:[ِ 5]

1. صِل {\displaystyle O_{1}O_{2}} وارسم الدائرة ذات القطر {\displaystyle O_{1}O_{2}} ولتكن {\displaystyle \Gamma }.
2. ارسم الدائرتين {\displaystyle C(O_{1},{\overline {O_{1}O_{2}}}),C(O_{2},{\overline {O_{1}O_{2}}})} وافرض أن نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة {\displaystyle \Gamma } هما {\displaystyle C,D} على الترتيب.
3. صل {\displaystyle O_{1}C,O_{2}D} وليقطعا الدائرتين {\displaystyle A,B} في {\displaystyle E,F} على الترتيب.
4. كرِّر العملية مع نصف الدائرة {\displaystyle \Gamma } الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي {\displaystyle E',F'}.
5. المستقيمان {\displaystyle EE',FF'} هما مماسان مشتركان داخليان للدائرتين الأصليتين {\displaystyle A,B}.

### إنشاءات مستحيلة

#### تربيع الدائرة
تربيع دائرة هي معضلةٌ وضعَها علماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة. في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-فايرشتراس التي تُبرهن على أن {\displaystyle \pi } عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير كسري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).

#### مضاعفة المكعب
عُرفت مسألة مضاعفة المكعب في العديد من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود. تتمثل المسألة في تحويل أي مُكعّبٍ مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع{\displaystyle s} والحجم {\displaystyle V}، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم {\displaystyle 2V}. أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد {\displaystyle s\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}. أثبت استحالة عمل ذلك بإنشاءات الفرجار والمسطرة بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} بالمسطرة والفرجار.

#### تثليث الزاوية
مسألة تثليث الزاوية تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم 3 مستقيمات تقسم الزاوية إلى 3 زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.

## التاريخ
عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً». تُلخًّصُ النقاطُ الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:
- في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π وهي 256 / 81 (أي 3.16049...).[135]
- في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائرَ.
- في الرسالة السابعة لأفلاطون، وُجِدَ تعريفٌ وشرحٌ للدائرةِ.
- في عام 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان أن {\displaystyle \pi } عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.[136]

### المصريون القدماء
إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق. ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:{\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}
نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.

### البابليون
استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة. بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:
{\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},}
بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي «المجسطي».

### الإغريق
يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

#### طالس
يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص المبرهنة المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:

#### إقليدس
لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:
كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

#### أرخميدس
أثبت أرخميدس في دراساته «كرسيمس» أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر. وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة {\displaystyle \pi } برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: {\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}<\pi <3{\tfrac {1}{7}}}. ومن المتباينة{\displaystyle \pi <3{\tfrac {1}{7}}} يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن {\displaystyle \pi \thickapprox {\tfrac {22}{7}}=3.1428...}. ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى {\displaystyle {\tfrac {11}{14}}}. وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها. وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.
في عمل آخر لأرخميدس «على اللوالب» وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.

#### أبولونيوس
فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «كونيكي» أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.
قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.

### العصور الوسطى
أثناء حكم المأمون في خراسان (القرن الثالث للهجرة)، ترجم بنو موسى «كتاب أبلونيوس في المخروطات» من اليونانية إلى العربية. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الكتب، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد واجهوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في المشرق نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول 4 فصول من كتاب أبلونيوس في المخروطات إلى هلال حمصي، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى ثابت بن قرة. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.
قدّم بنو موسى حلاً باستخدام القطوع المخروطية لمسألة تثليث الزاوية. كما قدّم أبو جعفر الخازن وأبو سهل القوهي والسجزي وأبو الريحان البيروني ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين على أنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من عضد الدولة بن بويه، كتب عبد الرحمن بن عمر الصوفي كتاباً بعنوان: «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أو اختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» بحث أبو الوفاء البوزجاني، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ غياثُ الدين الكاشي نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو {\displaystyle \pi } بدقةٍ عالية، وذلك باستعمال حصر مضلعات داخل الدائرة وخارجها. كما كتب في كتابه: «مفتاح الحساب»، رسالةً بعنوان: «رسالة الوتر والجيب»، التي فُقدِت. كما قدّم محاولةً لحل مسألة تثليث الزاوية عن طريق حل المعادلات التكعيبية.

## في الثقافة والفن
أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء العديد من التكوینات الفنیة وارتبطت بالعديد من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة الفنان لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء بالديموقراطية، ولهذا يُوجد في مجالس الشورى والبرلمانات. بينما ترى بعض المعتقدات الروحانية على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة واللانهائیة والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تقاليدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية والأرواح الملائكية وترمز إلى العديد من المفاهيم المُقدّسة، منها الاتحاد، الاكتمال والكون، الألوهية والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أو الموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما أن هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار اليين واليانغ، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتقالها بين الثقافات، فوُجدت على سبيل المثال في البوصلة، الهالة، الترميز للعين والبصيرة، وقوس القزح والدارما، ونوافذ بعض المعابد والمباني الدينية، والأوربوروس.
في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أو القمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلو الرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي معظم الأحيان للدلالة على المكانة العلمية للشخص المرسوم، أو للإشارة إلى عمله كبحار أو كجغرافي. في عام 1913م، رسم فاسيلي كاندينسكي لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان فيكتور فازاريلي الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس كلما اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يبدو كرة أو نصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هو الحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هو الحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا أيضاً، أو كالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.
حين يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أو الوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ أن الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد أن هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته كاميلوت. إلا أن وينستون تشيرشل حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلس يكون رأس الطاولة».
في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني جون وليس رمزاً للإشارة إلى اللانهائية، وهو دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقم 8 المقلوب. ومن رمزيته العلمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم أيضاً شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي على سبيل المثال ترمز إلى ديمومة العلاقات.
استخدمت الدائرة في خلق التجانس الزخرفي مع الخط العربي بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال. تُرسم النجوم في الزخارف العربية مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر أبو حیان التوحیدي: «وأما الصورة الفلكیة فداخلة تحت الرسم بالعرض، وللوهم فیها أثر كبیر، ولأنها مأخودة من الجسم الأعظم صارت مشاكهتها مقسومة بین البسیط الذي لا تركیب فیه البتة، وبین المركب الذي لا یخلو من التركیب البتة.». وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون أن في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.

## التطبيقات والاستعمالات
الدولاب هو قرص مستدير يُصنع من مادة صلبة ويُستعمل بشكل شائع في العربات للتنقل. ويُصنّف باحثون على أنَّ اختراع الدولاب من أهم ما اخترع البشر، إذ أنه أدى إلى تطوّرهم العلمي والتكنولوجي. وُجد أقدم دولاب بين الآثار الباقية من التاريخ، بعمر يصل إلى 3,000 سنة. كما احتوت النقوش السومرية والفرعونيّة رسوماً لعربات بدواليب، عمرها 5000 سنة. ويُرجح أن الحيّاكين والنسّاجين والخزّافين وصانعي الفخّار والآجرّ، كانوا من أوائل من استعمل الدولاب في مهنتهم.
إن الأوعية الفخّاريّة التي كان الخزّافون يصنعونها، كانت ضرورية لخزن الماء والمشروبات وحتى الحبوب وغيرها من الأغذية، في المستقرّات الزراعية التي نشأت من حولها القرى والمدن الأولى. وكانت تعتمد آنية الفخّار على أساسٍ طيني على شكل قرص، والذي يديره الخزّاف لصنع آنيته. ومن هذه الدواليب الأولى، طوّر البشر شيئاً فشيئاً صناعة الدولاب، إلى أطر العجلات والعربات ثم المركبات فالسيارات. كما أن الدائرة كانت الأساس للمحرك الكهربائي والمراوح وبقية المحركات الأخرى.

## معرض صور

### براهين وعلاقات
- مساحة الدائرة تساوي: {\displaystyle \pi } × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من {\displaystyle 4r^{2}}.
- رسم توضيحي لمثلث في المستوى {\displaystyle \triangle ABC}، مع أبرز دوائره الخاصة. تُشير النقاط إلى مراكز المثلث الرئيسة، ويُسمَّى الخطُ الواصل بينهم بخط أويلر. النقطة {\displaystyle H} هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. النقطة {\displaystyle N} هي مركز دائرة النقاط التسع. النقطة {\displaystyle G} هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. النقطة {\displaystyle O} هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.
- هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.
- حالات أزواج الدوائر المُختلفة.
- القيم الشهيرة المُرتبطة بدائرة الوحدة.
- إنشاء خماسي منتظم باستعمال الفرجار والمسطرة.
- الزوايا التي يصنعها مماس الدائرة المحيطة لمثلثٍ عند رأسه
- مُقاربة لتسمية بعض المصطلحات المتعلقة بالدائرة بأسمائها؛ كالقوسِ والوَتر وعمق القوس، ونقطة المنتصف.
- حالات الزوايا بالنسبة لدائرة.
- الزوايا المماسية والمركزية والخارجة عن رباعي دائري.
- الشكل الحقيقي لزوج من المقاطع الدائرية لمخروط إهليجي في الإسقاطات العمودية

### الترميز الموحد
| العلامة | تمثيل اليونيكود البرمجي:(Hex) | بالإنجليزية               |
| ------- | ----------------------------- | ------------------------- |
| ○       | U+25CB                        | WHITE CIRCLE              |
| ●       | U+25CF                        | BLACK CIRCLE              |
| ◯       | U+25EF                        | LARGE CIRCLE              |
|         | ◌                       | DOTTED CIRCLE             |
|         | ◍                       | CIRCLE WITH VERTICAL FILL |
|         | ◎                       | BULLSEYE                  |
|         | ◉                       | FISHEYE                   |

### في الأعلام والرموز
- علم كوريا الجنوبية.
- علم اليابان.
- علم الهند.
- علم البرازيل.
- شعار الألعاب الأولمبية.
- شعار ماستركارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح.
- شعار تويتر مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.

### في اللغات والثقافة
- رسم مأخوذ من مخطوطة آيسلنديَّة تعود إلى حوالي عام 1750م، ويوضح نموذج مركزية الأرض.
- تُرسم دائرة صغيرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن سكون الحرف.
- تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أو تغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 )
- تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة.
- الصِّفر 0 وحرف الـO من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة جداً بالدائرة.
- تتميز اللغة الكورية عن غيرها من بقية اللغات الشرق آسيوية بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر.
- الماروجيروشي (باليابانية: 丸印) أو الغونجبو (بالكورية: 공표, 空標)، هي اسم للرمز "◯" المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في شرق آسيا، وهي مشابهة في استخدام علامة الصح. عكسها هو علامة الشطب ("✗") أو ("×").
- لعبة إكس-أوه من الألعاب التي تتضمن شكل الدائرة.
- علامة اليين واليانغ ترمز لكيفية عمل الأشياء في العلم الصيني القديم.

### في التقنية والعلوم
- تّقنيَّاً، الشّكل الدائري للعجلة يُمكّنها من الحركة الدّورانية.
- الساعات من الأمثلة الشائعة في الحياة اليومية عن توظيف الشكل الدائري في الأشياء المتكررة.
- التروس هي العناصر الأساسية والبسيطة للحركة في الهندسة الميكانيكية.
- المراوح تأخذ الشكل الدائري لأنه الشكل الذي تتخذه المُحركات.
- مُحرِّكات الطيارات دائرية الشكل.
- الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.
- العدسات المقعرة والمُحدّبة تصنع في الغالب على قوالب دائرية.
- عوامات السباحة تصنع بشكل دائري لتوزيع قوة الطفو على جميع أنحاء الجسم وسهولة تعلقه فيها.
- تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: إجهاد اسطوانة).
- ترمز الدائرة إلى انقطاع التيار الكهربائي في مقاليد الأجهزة الإلكترونية.
- تطور مقود السيارة في فترات مختلفة.
- تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: الدَّرجة المئويَّة (°C)، والفهرنهايت (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير (°Ré) والرومر (°Rø) والودجوود (°W).
- يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة».
- في نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة، تُصنَّف خطوط الطُّول ودوائر العرض بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة.
- تُستعمل الدّرجة لقياس تركيز الكحول وتُرسم دائرةً.
- تُستخدم الدَّوائر لتمثيل علاقات ڤن في نظرية المجموعات.
- علامة النسبة المئوية «%» تُستخدم للتعبير عن عدد على شكل كسر من مئة.

### في العمارة والفنون
- قبة زجاجية في إحدى مطاعم مدينة باريس.
- برج طغرل من الدّاخل.
- قطعة دائريَّة من الحرير مع نقوش منغوليَّة.
- إحدى الجسور الرومانية في إيطاليا.
- تتخذ الدوارات المرورية الشكل الدائري المتناظر لتنظيم عملية سير السيارات.
- دوائر في لوحة فن تجريدي للفنان روبرت ديلواني.
- طبق أثري يعود تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي في متحف شانغهاي.
- عجلات ملاهي الألعاب ليلاً.
- زخرفة إسلامية على شكل دائرية لجملة "يا غفَّار".
- لوحة الفلكي للفنان يوهانس فيرمير.
- لوحة مربعات في دوائر متعرجة للفنان فاسيلي كاندينسكي.
- لوحة دوائر في دائرة للفنان فاسيلي كاندينسكي.
- لوحة عدة دوائر للفنان فاسيلي كاندينسكي.

### في الطَّبيعةِ
- عين إنسان.
- كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم.
- فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة.
- الشكل الكامل لقوس المطر هو دائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً.
- هالة الشَّمس أثناء الكسوف الكُلِّي.
- الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ.
- دوائر المحاصيل تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج.
- الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة.
- حلقة تكونت بفعل نمو الفطريات.
- دوائر الحجر.
- قطع من فواكه متنوعة من فئة الحمضيات.
- الحلزون أبيض الطرف هو نوع من الحلزونات البرية الشائعة في أوروبا.
- تباع الشمس هي نبتة بذور زيتية.

### دوائر خاصة
- دائرة وحدة.
- دائرة أبولونية.
- دائرة أرخميدية.
- دائرة جونسون.
- دائرة فائقة.
- كرة فائقة.

#### في مثلث
- دائرة داخلية.
- دائرة خارجية.
- دائرة محيطة.
- دائرة محيطة بمثلث قائم.
- دائرة النقاط التسع.
- دائرة ليستر.
- دائرة مالفاتي.
- دائرة بروكار.

#### في أشكال أخرى
- دائرة رباعي داخلية.
- دائرة مضلع محيطة.
- نقاط مشتركة بدائرة.
- نقاط دائرية في اللانهاية.
- دائرة عظمى.
- دائرتا فيلاركو.

### باللغة العربية
1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  أديب، عادل نسيم (1 يناير 2009). الهندسة التحليلية. المنهل. ISBN:9796500139289. مؤرشف من الأصل في 2020-03-12.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21  سمحان، معروف؛ التويجري، نجلاء؛ توبان، ليانا (1437هـ/2016م). رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد: الهندسة (ط. الأولى). الرياض: العبيكان للنشر. ISBN:978-603-503-866-9. مؤرشف من الأصل في 2020-03-07. اطلع عليه بتاريخ 6 سبتمبر، 2017م.. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= و|تاريخ= (مساعدة)
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  صابر، طارق؛ أندريكا، دورين (1434هـ). رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول. دار الخريجي للنشر والتوزيع. مؤرشف من الأصل في 2019-12-18. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة) وتجاهل المحلل الوسيط |موقع= (مساعدة)
4. 1 2 3 4 5 6 7  كتاب الأصول لإقليدس، ترجمة: الطوسي، نصير الدين محمد بن محمد، 1201-1274 نسخة محفوظة 23 مارس 2019 على موقع واي باك مشين.
5. 1 2 3 4 5 6 7 8  العلاقة التكاملية بين التكوينات الرمزية والأبعاد الرياضية الهندسية للدائرة في الفن التشكيلي، جبريل, جمال الدين محجوب الجاك; مشرف, -سليمان يحي محمد نسخة محفوظة 11 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
6. 1 2 3 4 5 6  القافلة، فريق. "الدائرة | مجلة القافلة". مؤرشف من الأصل في 2018-02-10. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
7. 1 2 3 4  "الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken". Matteboken. مؤرشف من الأصل في 2017-09-05. اطلع عليه بتاريخ 2017-09-05.
8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21  سعيد سعد الفهمي الزهراني (2013). المرجع في أولمبياد الرياضيات. مطابع الحميضي. ISBN:9786030112494.
9. 1 2 3  "الرموز الهندسية نموذج الدائرة ومداها المفاهيمي في التجربة التشكيلية". دنيا الرأي. مؤرشف من الأصل في 2020-03-11. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-11.

### بلغات أجنبية
1. ↑  مُعرِّف الغرض الرَّقميُّ (DOI): 10.5937/FMET1403249S.
2. ↑  معلوف، لویس (1371). المنجد فی اللغة. المنجد فی اللغة. اسماعيليان. ص. 229.
3. ↑  دار المشرق (2000). المنجد في اللغة العربیة المعاصرة. المنجد في اللغة العربیة المعاصرة. دار المشرق. ص. 492.
4. ↑  منشداوی، خضیر عباس محمد خلیفة (1999). تاريخ علم الرياضيات عند العرب. تاريخ علم الرياضيات عند العرب. جامعة قاريونس. ص. 538.
5. 1 2  "Circle definition with calculator - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 2019-09-06. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-11.
6. ↑  "Conic section - circle - Math Open Reference". www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 2019-08-21. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
7. ↑  "Simple proofs: Archimedes' calculation of pi « Math Scholar". mathscholar.org. مؤرشف من الأصل في 2019-08-22. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
8. ↑  "Approximating Pi — NOVA | PBS". www.pbs.org. مؤرشف من الأصل في 2019-07-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
9. ↑  approximated 2π to 9 sexagesimal digits. Al-Kashi, author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, p. 256 O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi"، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات. Azarian, Mohammad K. (2010), "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary", Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85.
10. ↑  "A Brief History of Pi (π)". Exploratorium (بالإنجليزية). 23 Jan 2017. Archived from the original on 2020-02-24. Retrieved 2020-03-12.
11. ↑  Fraser, Craig G. – The Cosmos: A Historical Perspective (2006) – p.14
12. ↑  Lawson، Russell M. (2004). Science in the Ancient World: An Encyclopedia. أي بي سي-كليو. ص. 29–30. ISBN:1851095349.{{استشهاد بكتاب}}:  صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
13. 1 2  Jean-François Charnier, "The Circle from East to West", The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art, October 29, 2019 نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
14. 1 2  Davis, P.J. (2006). Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6432-6. Archived from the original on 29 March 2019. Retrieved 2019-01-15. نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
15. 1 2  Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
16. 1 2  Azad, H., and Laradji, A., "Some impossible constructions in elementary geometry", Mathematical Gazette 88, November 2004, 548–551.
17. 1 2 3 4 5  "Geometry - Circles and Angles". Malin Christersson's Math Site (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-09-11. Retrieved 2020-03-12.
18. ↑  Muḥammad ibn Mukarram Ibn (1997). لسان العرب. دار بيروت للطباعة والنشر،. مؤرشف من الأصل في 2020-03-12.
19. ↑  krikos نسخة محفوظة 2013-11-06 على موقع واي باك مشين., Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
20. ↑  Ilia Nikolaevich Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.
21. ↑  Arnold، B. H. (2013)، Intuitive Concepts in Elementary Topology، Dover Books on Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 58، ISBN:9780486275765، مؤرشف من الأصل في 2020-03-11.
22. ↑  "What Is Circle?". www.cut-the-knot.org. مؤرشف من الأصل في 2019-08-21. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
23. ↑  Harkness, James (1898). "Introduction to the theory of analytic functions". Nature. ج. 59 ع. 1530: 30. Bibcode:1899Natur..59..386B. DOI:10.1038/059386a0. مؤرشف من الأصل في 2009-03-07.[وصلة مكسورة]
24. 1 2 3 4  Ogilvy, C. Stanley  [لغات أخرى], Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
25. ↑  Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007 (orig. 1952).
26. ↑  Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73
27. ↑  Weisstein, Eric W. "Cross Ratio". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2018-11-02. Retrieved 2020-03-12.
28. 1 2 3 4  H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.
29. 1 2  Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (ط. 3d ed). New York: McGraw-Hill. 1979. ISBN:0-07-000657-1. OCLC:4036464. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. {{استشهاد بكتاب}}: |طبعة= يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة)
30. ↑  The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.
31. ↑  Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
32. ↑  Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, Prentice Hall, 2001
33. ↑  Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2019-11-29.
34. ↑  "The Most Marvelous Theorem in Mathematics". www.maa.org. مؤرشف من الأصل في 2017-06-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  Weisstein, Eric W. "Circle". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2020-03-11.
36. ↑  O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، "Cartesian Oval"، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات
37. ↑  Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Dordrecht: Reidel. ©1988-©1994. ISBN:1-55608-010-7. OCLC:16755499. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
38. ↑  Burago (2001) [1994], "Isoperimetric inequality", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
39. 1 2 3 4 5 6 7  K.، المحرر (31 يناير 1882). Steiner, Jacob: Gesammelte Werke. Band 2. Berlin, New York: DE GRUYTER. ISBN:978-3-11-161171-6. مؤرشف من الأصل في 2018-06-28. {{استشهاد بكتاب}}: |archive-date= / |archive-url= timestamp mismatch (مساعدة)
40. 1 2 3  Blåsjö, Viktor (2005). "The Evolution of the Isoperimetric Problem". Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526–566. doi:10.2307/30037526. JSTOR 30037526.
41. 1 2 3  "The Unit Circle Deformed". students.rockefeller.edu. مؤرشف من الأصل في 2019-08-26. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
42. 1 2 3  "p-norm in nLab". ncatlab.org. مؤرشف من الأصل في 2019-03-25. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
43. 1 2  Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
44. ↑  "IXL | Similarity of circles | Geometry math". IXL Learning (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2015-09-19. Retrieved 2020-03-12.
45. ↑  Katz، Victor J. (1998)، A History of Mathematics / An Introduction (ط. 2nd)، Addison Wesley Longman، ص. 108، ISBN:978-0-321-01618-8، مؤرشف من الأصل في 2020-03-07
46. ↑  Andrews، George E.؛ Askey، Richard؛ Roy، Ranjan (1999). Special Functions. مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 58. ISBN:978-0-521-78988-2.
47. ↑  Gupta، R.C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. ج. 14 ع. 1–4: 68–71.
48. ↑  πe trillion digits of π نسخة محفوظة 6 December 2016 على موقع واي باك مشين.
49. ↑  Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud نسخة محفوظة 19 أكتوبر 2019 على موقع واي باك مشين.
50. ↑  Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.
51. ↑  "معلومات عن قطاع دائري على موقع bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 2019-12-12.
52. ↑  Gerard, L. J. V., The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.
53. 1 2 3 4 5 6 7  Stefan Lozanovski. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-08-22.
54. ↑  شتاينر (1826). "Einige geometrische Betrachtungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 161–184.
55. ↑  داربو، غاستون (1872). "Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l’espace". Annales Scientifique de l'École Normale Superieure 1: 323–392.
56. ↑  Coxeter، H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (الطبعة 2nd). New York: Wiley.
57. 1 2  "Tangent Circles". whistleralley.com. مؤرشف من الأصل في 2019-08-15. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-12.
58. ↑
Eric W. Weisstein (2007). "circle - circle intersection" (بالإنجليزية). Archived from the original on 19 يونيو 2019. Retrieved 24/12/2019. {{استشهاد ويب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (help)
59. 1 2 3 4  Coxeter, H. S. M. "Inversion in a Circle" and "Inversion of Lines and Circles." §6.1 and 6.3 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.
60. 1 2  Euclid (9 May 2013). The Thirteen Books of the Elements (بالإنجليزية). Courier Corporation. ISBN:9780486157290. Archived from the original on 2020-03-07.
61. ↑  Pedoe, D. (1995). "Circles: A Mathematical View, rev. ed". Washington, DC: Math. Assoc. Amer.
62. ↑  Weisstein, Eric W. "Lens". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2020-03-12.
63. ↑  Postnikov، M. M. (2000)، "The problem of squarable lunes"، الرياضيات الأمريكية الشهرية، ج. 107، ص. 645–651، DOI:10.2307/2589121، JSTOR:2589121. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on نظرية غالوا.
64. ↑  Heath، Thomas L. (2003)، A Manual of Greek Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 121–132، ISBN:0-486-43231-9، مؤرشف من الأصل في 2023-02-27.
65. ↑  James، Robert C.؛ James، Glenn (1992). Mathematics Dictionary (ط. Fifth). Chapman & Hall. ص. 436. مؤرشف من "unit%20complex%20number"&pg=PA436#v=onepage&q="unit%20complex%20number"&f=false الأصل في 2019-12-31.
66. ↑  Woodward، Ernest (ديسمبر 1978). Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver. Problem Solvers Solution Guides. Research & Education Association (REA). ص. 359. ISBN:978-0-87891-510-1. مؤرشف من الأصل في 2020-03-11.
67. ↑  Chakerian, G. D. (1979). "7". In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Mathematical Plums. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.
68. ↑  Mottola, R. M. "Liutaio Mottola Lutherie Information Website". Liutaio Mottola Lutherie Information Website (بالإنجليزية). Archived from the original on 2020-01-05. Retrieved 2020-03-12.
69. ↑  THE SAGITTA AND ITS APPLICATIONS, Herbert Wertheim College of Engineering; Department of Mechanical & Aerospace Engineering نسخة محفوظة 24 أكتوبر 2018 على موقع واي باك مشين.
70. 1 2 3  R. A. Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (ط. reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. ص. 31–43. ISBN:978-0-486-46237-0.
71. 1 2  Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 978-0-7637-4366-6/
72. 1 2  Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
73. ↑  Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
74. ↑  Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html نسخة محفوظة 2019-10-28 على موقع واي باك مشين.
75. ↑  Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.
76. ↑  Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html نسخة محفوظة 2019-10-19 على موقع واي باك مشين.
77. ↑  Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
78. ↑  Altshiller-Court (1925, pp. 103–110)
79. ↑  Kay (1969, pp. 18,245)
80. ↑  Casey, John (1886). Nine-Point Circle Theorem, in A Sequel to the First Six Books of Euclid (ط. 4th). London: Longmans, Green, & Co. ص. 58. مؤرشف من الأصل في 2020-03-12.
81. ↑  Usiskin، Zalman؛ Griffin، Jennifer؛ Witonsky، David؛ Willmore، Edwin (2008)، "10. Cyclic quadrilaterals"، The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition، Research in mathematics education، IAP، ص. 63–65، ISBN:978-1-59311-695-8
82. 1 2  Bryant، Victor؛ Duncan، John (2010)، "Wheels within wheels"، المجلة الرياضياتية  [لغات أخرى]، ج. 94، ص. 502–505{{استشهاد}}:  صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link).
83. 1 2  Maley، F. Miller؛ Robbins، David P.؛ Roskies، Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons" (PDF). Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يناير 2020.
84. ↑  Josefsson، Martin (2011)، "More Characterizations of Tangential Quadrilaterals" (PDF)، Forum Geometricorum، ج. 11، ص. 65–82، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-03-13.
85. ↑  Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images, Mathematical Association of America, 2011, p. 125.
86. ↑  Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem." link verified 2009-04-08 نسخة محفوظة 15 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
87. ↑  "Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem". مؤرشف من الأصل في 2018-07-10.
88. ↑  Euler, Leonhard (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum". Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae. ج. 11: 103–123. E325. مؤرشف من الأصل في 2015-04-11.
89. ↑  "William Wallace (1768 - 1843)" en. مؤرشف من الأصل في 2018-10-01. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-15. {{استشهاد ويب}}: الوسيط غير صالح |script-title=: بادئة مفقودة (مساعدة)
90. ↑  "Gibson History 7 - Robert Simson". 30 يناير 2008. مؤرشف من الأصل في 2016-10-09.
91. ↑  Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf نسخة محفوظة 2019-02-14 على موقع واي باك مشين.
92. ↑  Biggs، N. L. (1981)، "T. P. Kirkman, mathematician"، جمعية الرياضيات في لندن، ج. 13، ص. 97–120، DOI:10.1112/blms/13.2.97، MR:0608093
93. 1 2  Pascal 1640, translation Smith 1959، صفحة 326
94. 1 2  Graham، L. A. (1959). Ingenious Mathematical Problems and Methods. New York: Dover. ISBN:0486205452. مؤرشف من الأصل في 2020-03-17. اطلع عليه بتاريخ 2012-12-01.
95. ↑  Casey، J. (1866)، "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane"، Proceedings of the Royal Irish Academy، ج. 9، ص. 396–423، JSTOR:20488927. See in particular the bottom of p. 411.
96. ↑  Kimberling، Clark (1994)، "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle"، Mathematics Magazine، ج. 67، ص. 163–187، JSTOR:2690608، MR:1573021.
97. ↑  Encyclopedia of Triangle Centers نسخة محفوظة April 19, 2012, على موقع واي باك مشين., accessed 2014-10-24.
98. ↑  A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012، صفحة 94
99. ↑  Miquel، Auguste (1838)، "Mémoire de Géométrie"، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées، ج. 1، ص. 485–487، مؤرشف من الأصل في 2013-02-13، اطلع عليه بتاريخ 2020-03-14
100. ↑  Wells 1991، صفحة 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem
101. 1 2  Johnson، Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).
102. ↑  Casey، J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. ج. 9: 396–423. JSTOR:20488927.
103. ↑  Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
104. ↑  Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf نسخة محفوظة 2018-04-24 على موقع واي باك مشين.
105. 1 2 3  Kunkel, Paul (2007), "The tangency problem of Apollonius: three looks" (PDF), BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 22 (1): 34–46, doi:10.1080/17498430601148911 نسخة محفوظة 24 مارس 2018 على موقع واي باك مشين.
106. ↑  Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications.
107. 1 2  Weisstein, Eric W. "Inversion". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-12-29. Retrieved 2020-03-11.
108. ↑  Durell, C. V. "Inversion." Ch. 10 in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.
109. ↑  Coxford, Arthur. Trigonometry. ص. 8–12. مؤرشف من الأصل في 2019-11-21.
110. ↑  Bityutskov, V.I. (7 Feb 2011). "Trigonometric Functions". Encyclopedia of Mathematics (بالإنجليزية). Archived from the original on 2017-12-29. Retrieved 2017-12-29.
111. ↑  Coxford, Arthur. Trigonometry. ص. 125. مؤرشف من الأصل في 2019-11-21.
112. ↑  "Clark University". مؤرشف من الأصل في 2017-12-18.
113. ↑  Weisstein, Eric W. "Circular Functions". mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2017-04-03. Retrieved 2020-03-01.
114. ↑  "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 2019-12-16.
115. ↑  "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-10-03.
116. ↑  "معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 2019-01-14.
117. ↑  "معلومات عن كرة على موقع babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
118. ↑  "معلومات عن كرة على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2017-04-02.
119. ↑  "معلومات عن كرة على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-26.
120. ↑  Albert 2016، p. 43
121. ↑  "MathWorld: Cylindric section". مؤرشف من الأصل في 2018-01-15.
122. ↑  Slaught، H.E.؛ Lennes، N.J. (1919)، Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (ط. Revised)، Allyn and Bacon، ص. 79–81، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2019-09-27
123. ↑  دنكان سومرفيل (1914) Elements of Non-Euclidean Geometry, page 193 via أرشيف الإنترنت
124. ↑  "Drawing Compass - History, Use and Types". www.historyofpencils.com. مؤرشف من الأصل في 2019-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-03-07.
125. ↑  Ammer، Christine. "Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms". Houghton Mifflin Company. مؤرشف من الأصل في 2015-09-09. اطلع عليه بتاريخ 2012-04-16.
126. ↑  Guilbeau، Lucye (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation". Mathematics News Letter. ج. 5 ع. 4: 8–12. DOI:10.2307/3027812. JSTOR:3027812.
127. ↑  It shows up in Plato's الجمهورية (ق. 380 BC) VII.530
128. ↑  Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
129. ↑  Stewart، Ian. Galois Theory. ص. 75.
130. ↑  "معلومات عن تثليث زاوية على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2015-09-05.
131. ↑  "معلومات عن تثليث زاوية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-07-09.
132. ↑  "معلومات عن تثليث زاوية على موقع id.loc.gov". id.loc.gov. مؤرشف من الأصل في 2019-12-14.
133. ↑  آرثر كوستلر, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
134. ↑  برقلس, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato" نسخة محفوظة 13 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
135. ↑  "Chronology for 30000BC to 500BC". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 2018-01-23. اطلع عليه بتاريخ 2017-08-14.
136. ↑  Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. نسخة محفوظة 20 مايو 2017 على موقع واي باك مشين.
137. 1 2 3 4 5 6 7 8  Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3.
138. 1 2  Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
139. 1 2  بالإنجليزية: Thomas Little Heath  [لغات أخرى]: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91  ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat). نسخة محفوظة 7 نوفمبر 2016 على موقع واي باك مشين.
140. ↑  Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
141. ↑  یان.پ.هوخندایک؛ امینی، حسن (1392-01-04). "مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی". میراث علمی اسلام و ایران (بالفارسية). ج. 3 ع. 2: 86–98. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
142. ↑  میرابوالقاسمى، سید محمد تقى؛ باقرى، محمد (22 نوفمبر 2003). "رسالهء عبدالرحمان صوفی دربارهء هندسهء پرگاری". مجله تاریخ علم. ج. 1 ع. 1. ISSN:1735-0573. مؤرشف من الأصل في 2017-05-06.
143. ↑  یان.پ.هوخندایک؛ امینی، حسن (1392-01-04). "مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی". میراث علمی اسلام و ایران (بالفارسية). ج. 3 ع. 2: 86–98. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
144. ↑  عالم‌زاده، هادی؛ دوست‌قرین، فاطمه (1387-07-01). "میرزا ابوتراب نطنزی و رویکردی بدیع به مسأله تثلیث زاویه". تاریخ و تمدن اسلامی (بالفارسية). ج. 8 ع. 4: 123–140. مؤرشف من الأصل في 2020-03-13. {{استشهاد بدورية محكمة}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)

## قراءة موسعة
- الهندسة: دورة تدريبية شاملة (1988م) «بيدو دان». (بالإنجليزية: Geometry: a comprehensive course).

- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "الدائرة", Encyclopedia of Mathematics  [لغات أخرى] (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4 (بالإنجليزية)

## ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية
| مَسرد المفردات وفق أقسام المقالة          |                                          |
| مصطلحات أساسية                           |                                          |
| مركز                                     | Center                                   |
| محيط                                     | Circumference                            |
| مساحة                                    | Area                                     |
| نصف قطر (شعاع)                           | Radius                                   |
| وتر                                      | Chord                                    |
| قطر                                      | Diameter                                 |
| قوس                                      | Arc                                      |
| قطع وجزئيات                              |                                          |
| قطاع                                     | Sector                                   |
| قطعة                                     | Circular segment                         |
| قرص                                      | Disk                                     |
| مصطلحات استعملت في التعاريف              |                                          |
| نسبة تبادلية                             | Cross-ratio                              |
| دائرة معممة                              | Generalized circle                       |
| تأويل لانهائي                            | Infinite limit                           |
| حالة حدية                                | Limitig case                             |
| قطع مخروطي                               | Conic secion                             |
| استيفاء المساحة                          | Area optimization                        |
| متباينة المحيط الثابت                    | Isoperimetric inequality                 |
| معيار-p                                  | p-norm                                   |
| زوايا                                    |                                          |
| العدد ط                                  | Pi                                       |
| راديان                                   | Radian                                   |
| زاوية مركزية                             | Centeral angle                           |
| زاوية محيطية                             | Inscribed angle                          |
| زاوية مماسية                             | Tangential angle                         |
| زاوية خارجية                             | External angle                           |
| زاوية داخلية                             | Internal angle                           |
| نقاط                                     |                                          |
| نقطة داخلية                              | Internal point                           |
| نقطة محيطيَّة                              | Circumference point                      |
| نقطة خارجية                              | External point                           |
| قوة نقطة                                 | Power of a point                         |
| مبرهنة قطع الوتر                         | Intersecting chord theorem               |
| مبرهنة القاطع                            | Intersecting secants theorem             |
| مبرهنة قاطع التماس                       | Tangent-secant theorem                   |
| أزواج الدوائر حسب بعدها عن بعضها         |                                          |
| دائرتان متباعدتان                        | Non-intersecting circles                 |
| دائرتان متقاطعتان                        | Intersecting circles                     |
| دائرتان متماستان داخلياً                  | Internally tangent circles               |
| دائرتان متماستان خارجياً                  | Externally tangent circles               |
| أزواج الدوائر حسب مراكزها وأنصاف أقطارها |                                          |
| دائرتان متعامدتان                        | Orthogonal circles                       |
| دائرتان متطابقتان                        | Congruent circles                        |
| دائرتان متحدتا المركز                    | Concentric circles                       |
| دائرتان منطبقتان                         | coincident circles                       |
| أشكال مركبة من دوائر                     |                                          |
| حلقة                                     | Annulus                                  |
| عدسة                                     | Lens                                     |
| مثلث رولو                                | Reuleaux triangle                        |
| سكين الحَذَّاء                              | Arbelos                                  |
| مستقيمات وأوتار                          |                                          |
| مستقيم قاطع                              | Secant line                              |
| مستقيم مماس                              | Tangent line                             |
| مستقيم مار                               | Non-intersecting line                    |
| خط التناظر/خط مركزي                      | Symmetry line/Center line                |
| وتر مشترك                                | Common chord                             |
| مماس مشترك خارجي                         | External common tangent                  |
| مماس مشترك داخلي                         | Internal common tangent                  |
| قطعة تماس                                | Tangency segment                         |
| محور أساسي                               | Radical axis                             |
| عمق القوس أو السهم                       | Sagitta أو Versine                       |
| الدائرة في نظرية الزمر                   |                                          |
| زمرة التناظر                             | Symmetry group                           |
| تناظر انعكاسي                            | Reflection symmetry                      |
| دوائر مرتبطة بمضلعات                     |                                          |
| مضلع دائري                               | Cyclic polygon                           |
| مضلع مماسي                               | Tangential polygon                       |
| دائرة محيطة                              | Circumcircle                             |
| دائرة داخلية                             | Incircle                                 |
| دائرة خارجية                             | Excircle                                 |
| دائرة النقاط التسع                       | Nine-point circle                        |
| دائرة الوحدة                             | Unit circle                              |
| مبرهنات وعلاقات أخرى                     |                                          |
| التحاكي                                  | Homothety                                |
| التعاكس                                  | Inversion                                |
| الإحداثيات الخطية الثلاثية               | Trilinear coordinates                    |
| قانون الجيب                              | Sine law                                 |
| مبرهنة الفراشة                           | Butterfly theorem                        |
| مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري        | Japanese theorem in cyclic quadrilateral |
| الكرة الفائقة                            | Hypersphere                              |
| مبرهنة طاليس                             | Thales theorem                           |

| مَسرد المفردات الأبجدي             |                                          |
| A                                 |                                          |
| حلقة                              | Annulus                                  |
| سكين الحَذَّاء                       | Arbelos                                  |
| قوس                               | Arc                                      |
| مساحة                             | Area                                     |
| استيفاء المساحة                   | Area optimization                        |
| B                                 |                                          |
| مبرهنة الفراشة                    | Butterfly theorem                        |
| C                                 |                                          |
| مركز                              | Center                                   |
| زاوية مركزية                      | Centeral angle                           |
| وتر                               | Chord                                    |
| قطعة                              | Circular segment                         |
| دائرة محيطة                       | Circumcircle                             |
| محيط                              | Circumference                            |
| نقطة محيطيَّة                       | Circumference point                      |
| دائرتان منطبقتان                  | coincident circles                       |
| وتر مشترك                         | Common chord                             |
| دائرتان متحدتا المركز             | Concentric circles                       |
| دائرتان متطابقتان                 | Congruent circles                        |
| قطع مخروطي                        | Conic secion                             |
| نسبة تبادلية                      | Cross-ratio                              |
| مضلع دائري                        | Cyclic polygon                           |
| D                                 |                                          |
| قطر                               | Diameter                                 |
| قرص                               | Disk                                     |
| E                                 |                                          |
| دائرة خارجية                      | Excircle                                 |
| زاوية خارجية                      | External angle                           |
| مماس مشترك خارجي                  | External common tangent                  |
| نقطة خارجية                       | External point                           |
| دائرتان متماستان خارجياً           | Externally tangent circles               |
| G                                 |                                          |
| دائرة معممة                       | Generalized circle                       |
| H                                 |                                          |
| التحاكي                           | Homothety                                |
| الكرة الفائقة                     | Hypersphere                              |
| I                                 |                                          |
| دائرة داخلية                      | Incircle                                 |
| تأويل لانهائي                     | Infinite limit                           |
| زاوية محيطية                      | Inscribed angle                          |
| زاوية داخلية                      | Internal angle                           |
| مماس مشترك داخلي                  | Internal common tangent                  |
| نقطة داخلية                       | Internal point                           |
| دائرتان متماستان داخلياً           | Internally tangent circles               |
| مبرهنة قطع الوتر                  | Intersecting chord theorem               |
| دائرتان متقاطعتان                 | Intersecting circles                     |
| مبرهنة القاطع                     | Intersecting secants theorem             |
| التعاكس                           | Inversion                                |
| متباينة المحيط الثابت             | Isoperimetric inequality                 |
| J                                 |                                          |
| مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري | Japanese theorem in cyclic quadrilateral |
| L                                 |                                          |
| عدسة                              | Lens                                     |
| حالة حدية                         | Limitig case                             |
| دائرة النقاط التسع                | Nine-point circle                        |
| دائرتان متباعدتان                 | Non-intersecting circles                 |
| مستقيم مار                        | Non-intersecting line                    |
| O                                 |                                          |
| دائرتان متعامدتان                 | Orthogonal circles                       |
| P                                 |                                          |
| معيار-p                           | p-norm                                   |
| العدد ط                           | Pi                                       |
| قوة نقطة                          | Power of a point                         |
| راديان                            | Radian                                   |
| R                                 |                                          |
| محور أساسي                        | Radical axis                             |
| نصف قطر (شعاع)                    | Radius                                   |
| تناظر انعكاسي                     | Reflection symmetry                      |
| مثلث رولو                         | Reuleaux triangle                        |
| S                                 |                                          |
| عمق القوس أو السهم                | Sagitta أو Versine                       |
| مستقيم قاطع                       | Secant line                              |
| قطاع                              | Sector                                   |
| قانون الجيب                       | Sine law                                 |
| زمرة التناظر                      | Symmetry group                           |
| خط التناظر / خط مركزي             | Symmetry line/Centerline                 |
| T                                 |                                          |
| قطعة تماس                         | Tangency segment                         |
| مستقيم مماس                       | Tangent line                             |
| مبرهنة قاطع التماس                | Tangent-secant theorem                   |
| زاوية مماسية                      | Tangential angle                         |
| مضلع مماسي                        | Tangential polygon                       |
| مبرهنة طاليس                      | Thales theorem                           |
| الإحداثيات الخطية الثلاثية        | Trilinear coordinates                    |
| U                                 |                                          |
| دائرة الوحدة                      | Unit circle                              |

## وصلات خارجية
- دروس في هندسة الدائرة على منصة إدراك.
- مساحة الدائرة على منصة إدراك.
- كتاب Inventing the circle للكاتب يوهان جيليس.
- الدائرة في أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات.
- "تطبيقات (بُرَيمجات) جافا تفاعلية". مؤرشف من الأصل في 2019-09-07. لخواص الإنشاءات الأساسية المرتبطة بالدائرة.
- "مسائل ونقاش حول الدائرة". مؤرشف من الأصل في 2019-08-21. Cut the knot
- "تطبيق تفاعلي لمعادلة الدائرة القياسية". مؤرشف من الأصل في 2019-05-02.
- الدائرة في الهندسة الوصفية. على اليوتيوب.
- الدائرة في الهندسة التحليلية. على اليوتيوب.

title: دائرة

wikitext:
{{عن|3=دائرة (توضيح)|شكل هندسي مُستوٍ|4=و|5=دائري (توضيح)|6=و|7=دوار (توضيح)|8=و|9=دورة (توضيح)|10=و|11=دويرة (توضيح)}}
{{ميز|مدار دائري|دورة}}
{{بطاقة مضلع
|name=دائرة
|image=أساسيات_الدائرة.svg
|caption=رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.
|edges=حافة واحدة
|schläfli=
|coxeter=
|symmetry=
|area={{خط/رقعة|ط نق2}} أو <math>\pi r^2</math>|angle=عديمة الزَّوايا.
|properties=[[منحن|مُنحنىً]].
|المحيط={{خط/رقعة|2ط نق}} أو <math>2\pi r</math>}}
'''الدَّائرَة'''، في [[هندسة رياضية|الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ]]: [[شكل|شكلٌ]] [[مستو (رياضيات)|مُستوٍ]] (مُسطًّح)، وهي [[محل هندسي|محلُّ هندسيُّ]]، [[نقطة (هندسة)|نِقاطُه]] في سطح مستوٍ، متساويةُ الأبعاد عن نقطةٍ داخلية ثابتة يُقال لها: '''المركز'''.<ref group="ملاحظة">في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة المرحلة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: "'''الدائرة''': مجموعة نِقاط على مستوٍ تبعد البعد نفسه من نقطة ثابتة تسمى: مركز الدّائرة". هذا المحل الهندسي من النّقاط هو مجموعة غير منتهية.</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=معلوف|الأول=لویس|مسار=https://noorlib.ir/book/view/5148|عنوان=المنجد فی اللغة|تاريخ=1371|ناشر=اسماعيليان|سلسلة=المنجد فی اللغة|صفحات=229|لغة=ar}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=دار المشرق|مسار=https://noorlib.ir/book/view/20983|عنوان=المنجد في اللغة العربیة المعاصرة|تاريخ=2000|ناشر=دار المشرق|سلسلة=المنجد في اللغة العربیة المعاصرة|صفحات=492|لغة=ar}}</ref><ref name=":2" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار= https://books.google.com.sa/books?id=-PijDgAAQBAJ&dq=الدائرة+في+الهندسة|عنوان=الهندسة التحليلية|تاريخ=2009-01-01|ناشر=المنهل|ISBN=9796500139289|الأخير=أديب|الأول=عادل نسيم|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200312045429/https://books.google.com.sa/books?id=-PijDgAAQBAJ&dq=الدائرة+في+الهندسة|تاريخ أرشيف=2020-03-12|لغة=العربية}}</ref><ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":53" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|عنوان=رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول|تاريخ=1434هـ|موقع=الرياض|ناشر=دار الخريجي للنشر والتوزيع|تاريخ الوصول=21 سبتمبر، 2018م|الأخير=صابر|الأول=طارق|الأول2=دورين|الأخير2=أندريكا|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20191218230405/http://www.neelwafurat.com/itempage.aspx?id=lbb231507-210332&search=books|تاريخ أرشيف=2019-12-18}}</ref> تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النِقاطِ [[محيط منحنى مغلق|مُحيطَ]] الدائرةِ أو «المُحيطَ» اختصاراً. وتلك النُّقطةُ الثابتةُ: [[مركز (هندسة رياضية)|مركزَ]] الدائرةِ. وتُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ [[نصف القطر|نصفَ قُطْرِ]] أو شعاعاً، و[[قطر (دائرة)|القطرُ]] هو [[قطعة مستقيمة|قِطعةٌ مُستقيمةٌ]] تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. عرَّفها الأولون ك[[الشريف الجرجاني]] في «[[التعريفات (كتاب)|التعريفات]]»، [[أبو الوفاء البوزجاني|والبوزجاني]]، [[ابن سينا|وابن سينا]]<ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=منشداوی|الأول=خضیر عباس محمد خلیفة|مسار=https://noorlib.ir/book/view/21179?pageNumber=538&viewType=html&query=%D9%88%D8%A7%D8%AD%D8%AF+%D9%81%D9%8A+%D8%AF%D8%A7%D8%AE%D9%84%D9%87|عنوان=تاريخ علم الرياضيات عند العرب|تاريخ=1999|ناشر=جامعة قاريونس|سلسلة=تاريخ علم الرياضيات عند العرب|صفحات=538|لغة=ar}}</ref> أنها: شكلٌ مُسطَّح (سطحٌ)، يُحيطُ به خطٌّ واحدٌ [خط مستدير؛ قوسيٌّ، وهو المحيط]، في داخله نقطةٌ كل الخطوطِ المستقيمةِ الخارجةِ منها (من هذه النقطة) إليه (إلى المحيط) متساويةٌ، وتسمى تلك النقطة: مركزَ الدائرة، وذلك الخط: مُحيطَها، وتلك الخطوط (المستقيمة): أنصافَ أقطارها. وقيل: الدائرة: أن تُثبت احد طرفَي خط مستقيم، فتُديرَه (دورةً تامةً) حتى يعود إلى وضعه الأول، فتحدُثَ الدائرة. والدائرةُ [[قطع ناقص|قِطْعٌ ناقصٌ]] تلاشت [[بؤرة (هندسة رياضية)|بؤرتاهُ]] في نُقطةٍ واحدة أو [[قطع مخروطي|قِطْع مخروطي]] معدوم [[اختلاف مركزي|الاختلافِ المركزيّ]]؛ فالدائرة قِطْعٌ مخروطيٌّ، من قطع [[مخروط|المخروط]] بمستوٍ [[تواز (هندسة)|يوازي]] قاعدتَهِ. وعُرِّفتِ الدائرةُ أيضًا أنها [[مضلع منتظم|مُضلَّع مُنتظِم]] [[مضلع لانهائي|لا نهاية لأضلاعه]].<ref name=":0" group="ِ"/><ref name=":2"/><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.mathopenref.com/coniccircle.html
| عنوان = Conic section - circle - Math Open Reference
| موقع = www.mathopenref.com
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821213917/http://www.mathopenref.com/coniccircle.html | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019}}</ref>

ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ [[مسألة رياضية|المسائل الرياضية]]، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ [[نقاط مشتركة بدائرة|رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ]]. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ [[يونانيون|الإغريقِ القدماء.]] يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها [[ثابت رياضي|الثّابت الرّياضي]] [[ط (رياضيات)|<math>\pi</math>]] أو {{خط/رقعة|ط}}. وقد ابتكر [[أرخميدس|أَرْخَمِيدِس]] طريقةً لتقريبِ قيمة [[ط (رياضيات)|<math>\pi</math>]] عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathscholar.org/2019/02/simple-proofs-archimedes-calculation-of-pi/
| عنوان = Simple proofs: Archimedes’ calculation of pi « Math Scholar
| موقع = mathscholar.org
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190822122700/https://mathscholar.org/2019/02/simple-proofs-archimedes-calculation-of-pi/ | تاريخ أرشيف = 22 أغسطس 2019}}</ref> وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «<nowiki/>[[تربيع الدائرة]]»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ [[فرجار|فِرْجَارٍ]] و[[مسطرة|مَسطَرَةٍ]] فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/approximating-pi.html
| عنوان = Approximating Pi — NOVA {{!}} PBS
| موقع = www.pbs.org
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190724230817/https://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/approximating-pi.html | تاريخ أرشيف = 24 يوليو 2019}}</ref> قاسَ [[أبلونيوس البرغاوي|أبولونيوس]] و[[غياث الدين الكاشي]] قيمة [[ط (رياضيات)|<math>\pi</math>]] بدقةٍ عاليةٍ.<ref>approximated 2π to 9 sexagesimal digits. ''Al-Kashi'', author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, p. 256 {{MacTutor Biography|id=Al-Kashi|title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi}}. Azarian, Mohammad K. (2010), "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary", Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85.</ref> وحَاولَ [[مصر القديمة|المِصريُّونَ القُدماءُ]] و[[بلاد بابل|البابليّون]] إيجادَ [[مساحة|مِساحة]]ِ الدائرةِ. تُحسَبُ مِساحةُ الدائرةِ بضرب [[ط (رياضيات)|<math>\pi</math>]] في [[مربع (جبر)|مُربَّعِ]] نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.exploratorium.edu/pi/history-of-pi
| عنوان = A Brief History of Pi (π)
| تاريخ = 2017-01-23
| موقع = Exploratorium
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200224071034/https://www.exploratorium.edu/pi/history-of-pi | تاريخ أرشيف = 24 فبراير 2020}}</ref>

وضع [[فلسفة|فلاسفة الأغريق القدماء]] [[نموذج مركزية الأرض]] الذي استندوا فيه على أنَّ [[الأرض]] كرةٌ تقع في مركز [[الكون]]ِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم [[نيكولاس كوبرنيكوس]] [[مركزية الشمس|نظرية مركزية الشمس]]، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ [[يوهانس كبلر|كيبلر]] إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.<ref>Fraser, Craig G. – The Cosmos: A Historical Perspective (2006) – p.14</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Lawson|الأول=Russell M.|تاريخ=2004|عنوان=Science in the Ancient World: An Encyclopedia|صفحات=[https://books.google.com/?id=1AY1ALzh9V0C&pg=PA30 29–30]|ناشر=[[أي بي سي-كليو]]|isbn=1851095349|ref={{SfnRef|Lawson|2004}}}}</ref>

تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها [[مثالية]]ً، وكان لها أهميَّة في [[تقانة|التقنية]] و[[الفنون]] و[[دين (معتقد)|الأديان]] و[[ثقافة|الثقافات]].<ref name=":3">Jean-François Charnier, [https://books.google.com/books?id=J9PNwQEACAAJ&dq=the+louvre+abu+dhabi+a+world+vision+of+art&hl=en&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjVucfTpqHmAhWNwqYKHeSBBcMQ6AEwAXoECAMQAgl "The Circle from East to West"], ''The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art'', October 29, 2019 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200312140908/https://books.google.com/books?id=J9PNwQEACAAJ&dq=the+louvre+abu+dhabi+a+world+vision+of+art&hl=en&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjVucfTpqHmAhWNwqYKHeSBBcMQ6AEwAXoECAMQAgl |date=12 مارس 2020}}</ref><ref name=":5" group="ِ"/> تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال [[فرجار|الفرجار]]. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب [[مسطرة|المسطرة]] المسموح باستخدامها في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]]؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».<ref name=":5">Davis, P.J. (2006). [https://books.google.com.sa/books?id=SFFuBwAAQBAJ&pg=PA109&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension]. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6432-6. Archived from the original on 29 March 2019. Retrieved 2019-01-15. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200312140945/https://books.google.com.sa/books?id=SFFuBwAAQBAJ&pg=PA109&redir_esc=y|date=12 مارس 2020}}</ref><ref name=":6">Ball, W.W. Rouse (1960). [[iarchive:shortaccountofhi0000ball/page/50|A Short Account of the History of Mathematics]] (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.</ref> [[تربيع الدائرة]]، [[تثليث زاوية|تثليث الزاوية]] و[[مضاعفة المكعب|مضاعفة المُكعَّب]] كانت من أبرز [[مسألة رياضية|المسائل الرياضية]] والمواضيع التي حاول فيها [[عالم رياضيات|الرياضيون]] على مر التاريخ، إلى أن أثبت [[بيير فانتزل|بيير وانتزل]] و[[فيردينوند فون ليندمان]] استحالة تِلكُمُ المسائل.<ref name=":7">Azad, H., and Laradji, A., "Some impossible constructions in elementary geometry", ''Mathematical Gazette'' 88, November 2004, 548–551.</ref>
{{قطوع مخروطية}}
{{حروف خاصة|حروفات=الرموز الرياضية|خاصة=تراميز ومعادلات رياضية|صورة=Nuvola apps edu mathematics-ar.svg}}

== مصطلحات أساسية ==
{{صندوق رسالة أخرى
| النوع = ملاحظة
| الصورة = [[ملف:Icons8 flat camera identification.svg|30x30px]]
| النص = هذهِ المقالةُ مُدَعَّمةٌ بِصوَرٍ ورُسومٍ تَوضِيحيةٍ تُرافِقُ بعضَ التَّعاريفِ والمُعادلاتِ الرِِّياضيَّة. فضلاً، تأكَّد من ظُهورِ الصوَرِ.
}}
يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة <math>O</math> ونصف قطرها <math>r</math><ref group="ملاحظة">يُشتَرط لنصف قطر الدائرة <math>r</math>أن يكون [[عدد حقيقي|عدداً حقيقيَّاً]] [[عدد موجب|موجباً]]. إلا أن هناك فروع في الهندسة من تُعيد هذا التعريف ليشمل الأعداد الحقيقية السالبةَ أيضاً، مثل الإحداثيات القطبية.</ref> رياضيَّاً بالرموز: «<math>C(O, r)</math>» و«<math>\odot C</math>» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة <math>O</math>» للإشارة إليها.<ref name=":34" group="ِ"/> ويُرمز لها في [[التدوين الرياضي العربي|الترميز العلمي العربي]] بحرف «{{خط/رقعة|د}}»<ref name=":0" group="ِ"/>

{| class="wikitable" style="margin: auto auto; text-align: center;"
|+جدول مصطلحات الدائرة الأساسية<ref name=":12">{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.malinc.se/math/geometry/circles_angles_conjecturesen.php
| عنوان = Geometry - Circles and Angles
| موقع = Malin Christersson's Math Site
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190911102359/http://www.malinc.se/math/geometry/circles_angles_conjecturesen.php | تاريخ أرشيف = 11 سبتمبر 2019}}</ref><ref name=":0" group="ِ"/><ref name=":34" group="ِ"/>
! colspan="5" |[[ملف:تعريفات الدائرة الرئيسة.svg|لاإطار|196x196px]]
|-
!المصطلح
!التّعريف
![[التدوين الرياضي العربي|الترميز العربي]]
!التّرميز اللاتيني
!ملاحظة
|-
|'''[[مركز (هندسة رياضية)|مركز]]'''
|نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.
|{{خط/رقعة|م}}
|'''<math>O</math>''' أو '''<math>M</math>'''
|<ref group="ملاحظة">يُسمّى المركز '''نقطة المنتصف''' أو '''النّقطة المركزية''' أيضاً. والترميز O جاء من اللاتينية: Origin بمعنى نقطة الأصل. بينما M من الإنجليزية: Midpoint والتي تعني نقطة المنتصف.
بينما جاء الترميز العربي للمصطلح من كلمة «مركز».</ref>
|-
|'''[[محيط (هندسة رياضية)|محيط]]'''
|مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.
|{{خط/رقعة|مح}}
|[[ط (رياضيات)|'''<math>C_O</math>''']]
|<ref group="ملاحظة">من اللاحقة اللاتينية: Circum- والتي تعني يُحيط. ويُقرأ مُحيط الدَّائرة <math>O</math>.
بينما جاء الترميز العربي من أول حرفين من كلمة «محيط».</ref>
|-
|'''[[مساحة]]'''
|منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة.
|{{خط/رقعة|م}}
|'''<math>A</math>'''
|<ref group="ملاحظة">من اللاتينيّة: Area أي: قطعة مستوية وفارغة من مستوى الأرض.
بينما جاء الترميز العربي بأخذ أول حرف من «مساحة».</ref>
|-
|'''[[نصف القطر|نصف قطر]]'''
|أو '''الشعاع''': [[قطعة مستقيمة]] تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.
|{{خط/رقعة|نق}}
|'''<math>r</math>'''
|<ref group="ملاحظة">من اللاتينية: Radius بمعنى شعاع.
بينما جاء الترميز العربي من حروف البداية لكلمتي «نصف قطر»</ref>
|-
|[[وتر دائرة|'''وتر''']]
|قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.
| colspan="3" |
|-
|[[قطر (دائرة)|'''قطر''']]
|وتر مار بمركز الدائرة.
|{{خط/رقعة|ق}}
|'''<math>d</math>'''
|<ref group="ملاحظة">من اللاتينية المأخوذة من الإغريقية: Diagonios بمعنى من زاوية إلى زاوية (القطر).
بينما جاء الترميز العربي من أول حرف من كلمة «قطر»</ref>
|}

{| class="wikitable" style="margin: auto auto;"
|+جدول مصطلحات قِطَع وجُزئيّات الدائرة<ref name=":12"/><ref name=":0" group="ِ"/><ref name=":34" group="ِ"/>
!الجزء
!التّعريف
!الرمز
!صورة
|-
|[[قوس (هندسة)|'''قوس''']]
|جزء متّصل من محيط الدائرة.
|<big>'''︵'''</big>
| rowspan="3" |[[ملف:قوس-قطاع-قطعة.svg|لاإطار|144x144px]]
|-
|[[قطاع دائري|'''قطاع''']]
| مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما.
|'''⌔'''
|-
|'''[[قطعة دائرية|قطعة]]'''
|مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.
|⌓
|-
|[[قرص (رياضيات)|'''قرص''']]
|مساحة تحصرها دائرة.
|
|[[ملف:Circle_Grey_Solid.svg|لاإطار|90x90بك]]
|-
|'''[[قرص (رياضيات)|نصف قرص]]'''
|مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.<ref group="ملاحظة">نصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، ويُعرف أيضاً بأنه أكبر قطعة في الدائرة.</ref>
|
|[[ملف:Semidisc.svg|بديل=|لاإطار|93x93بك]]
|}

== التعريف ==
تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في [[لسان العرب]] [[ابن منظور|لابن منظور]]: {{اقتباس مضمن|دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...}}. يضيف ابن منظور: {{اقتباس مضمن|والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...}}.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=لسان العرب|مسار=https://books.google.com.sa/books?id=syZXAAAAMAAJ|ناشر=دار بيروت للطباعة والنشر،|تاريخ=1997|لغة=ar|مؤلف1=Muḥammad ibn Mukarram Ibn| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200312141051/https://books.google.com.sa/books?id=syZXAAAAMAAJ | تاريخ أرشيف = 12 مارس 2020}}</ref><ref name=":1" group="ِ">{{استشهاد بويب
| مسار = https://qafilah.com/ar/الدائرة/
| عنوان = الدائرة {{!}} مجلة القافلة
| لغة = ar
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| الأخير = القافلة
| الأول = فريق
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180210212841/https://qafilah.com/ar/الدائرة/ | تاريخ أرشيف = 10 فبراير 2018}}</ref> وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة {{إنج|Circle}} إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0057:entry=kri/kos krikos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0057:entry=kri/kos|date=2013-11-06}}, Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>

وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي [[منحن]]ى مغلق [[مضلع أحادي|أحادي البُعد]]، وبشكل مكافئ هي [[منحن|مُنحنى]] ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى.<ref group="ملاحظة">لاحظ أن تعريف الدّائرة ينص على أنّها "'''''مجموعة نقاط'''''".</ref> وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: [[داخل (طوبولوجيا)|داخل]] الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة<ref>Ilia Nikolaevich Bronštein:'' Taschenbuch der Mathematik. ''Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.</ref>، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها [[قرص (رياضيات)|قُرصاً]]. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص و[[مجموعة مفتوحة|السطح الدائري المفتوح]] (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.<ref name=":2">{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.mathopenref.com/circle.html
| عنوان = Circle definition with calculator - Math Open Reference
| موقع = www.mathopenref.com
| تاريخ الوصول = 2020-03-11
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190906032625/http://www.mathopenref.com/circle.html | تاريخ أرشيف = 6 سبتمبر 2019}}</ref><ref>{{استشهاد|عنوان=Intuitive Concepts in Elementary Topology|سلسلة=Dover Books on Mathematics|الأول=B. H.|الأخير=Arnold|ناشر=Courier Dover Publications|سنة=2013|isbn=9780486275765|صفحة=58|مسار= https://books.google.com/books?id=TsbDAgAAQBAJ&pg=PA58|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200311194827/https://books.google.com/books?id=TsbDAgAAQBAJ&pg=PA58|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}.</ref>
=== تعريف إقليدس ===
{{أيضا|إقليدس}}
عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: [[الأصول (كتاب)|الأصول]]، كما يأتي:<ref name=":0" group="ِ"/>

{{اقتباس خاص|الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً}}

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام [[نظرية المجموعات]] على النحو الآتي:<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml
| عنوان = What Is Circle?
| موقع = www.cut-the-knot.org
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190821131224/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml | تاريخ أرشيف = 21 أغسطس 2019}}</ref>
{{مبرهنة
|اسم=تعريف إقليدس في نظرية المجموعات
|إذا وقعت النقطة <math>O</math> على المستوى <math>E</math> فإن الدائرة <math>C</math> التي مركزها <math>O</math> ونصف قطرها <math>r</math> هي مجموعة جميع النقاط <math>M</math>التي تنتمي إلى المستوى <math>E</math>، وتبعد عن النقطة <math>O</math> مسافةً مقدارها <math>r</math>.
: ويمكن صياغة التعريف السابق رياضيَّاً بالشكل التالي:
<math display="block">C(O, r) = \left\{M \in E ~ : ~ \overline{OM} = r \right\}</math>
}}

=== تعريف أبولونيوس ===
[[ملف:Apollonius circle definition labels.svg|تصغير|300 بك|تعريف أبولونيوس للدائرة.]]
{{مفصلة|دوائر أبولونية|مبرهنة منصف الزاوية}}
أثبت [[أبلونيوس البرغاوي|أبولونيوس]] أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ <math>A, B</math> نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها <math>A, B</math> هي المحل الهندسي لجميع النقاط <math>P</math> التي تُحقِّقُ أنَّ:<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف=Harkness, James|عنوان=Introduction to the theory of analytic functions|صحيفة=Nature|المجلد=59|العدد=1530|سنة=1898|صفحة=30|مسار=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002|bibcode=1899Natur..59..386B|doi=10.1038/059386a0|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20090307104133/http://dlxs2.library.cornell.edu:80/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002|تاريخ أرشيف=2009-03-07}}{{وصلة مكسورة|date=June 2017|bot=InternetArchiveBot|fix-attempted=yes}}</ref><ref name=":8">{{Ill-WD2|Ogilvy, C. Stanley|id=Q17199119}}, ''Excursions in Geometry'', Dover, 1969, 14–17.</ref><ref>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1952).</ref>

<math display="block">\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}</math>'''النسبة التبادلية لدائرة'''
{{صور متتابعة
|رصف=يسار
|صورة1=Harmonic-Projection-on-Quadrilateral.svg
|بدل2=
|عرض2=140
|صورة2=Projection geometry.svg
|تعليق1=
إسقاط النسب التبادلية من خط مستقيم إلى دائرة والعكس بمركزِ إسقاطٍ يقعُ على الدائرةِ. تُمثِّلُ نقاطُ التقاطُعِ رباعياً توافقياً.

|بدل1=
|عرض1=155
|عرض=
|اتجاه=horizontal
|خلفية_ذيل=
|رصف_ذيل=يسار
|ذيل=
|خلفية_رأس=
|رصف_رأس=يسار
|رأس=
|تعليق2=
 النقاط <math>A,B,C,D </math>مع <math>A', B', C', D'</math> مرتبطةٌ معاً تحت تحويلٍ إسقاطيّ. لذا فإن نسبتهم التبادلية ثابتة. وبمعنىً آخر، فإنَّ أي خط آخر (بالأحمر) يقطع الخطوط السوداء فإنه يحمل نفس النسبة التبادلية.
}}تُعرف [[نسبة تبادلية|النسبة التبادلية]] للقطعتين المستقيمتين <math>\overline{AC}, \overline{BD}</math> أو لرباعية النقاط <math>A, B, C, D</math> [[تسامت|المتسامتة]] على الترتيب: <math>(A,B;C,D) = \frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}</math> حيث أنَّ النّسب [[دالة مسافة متجهة|نسبٌ مُوجّهةٌ]]. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}.</math>. إذا كانت النقاط <math>A, C, B</math> [[تسامت|مُتسامتةً]] في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط <math>P</math> التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.<math>|[A,B;C,P]| = 1.\ </math>. بمعنىً آخر: <math>P</math> هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط <math>A, C, B</math> [[إذا وفقط إذا]] كان معيار النسبة التبادلية <math>[A,B;C,P] </math> مساوياً للواحد.<ref>Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/CrossRatio.html
| عنوان = Cross Ratio
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181102082434/http://mathworld.wolfram.com/CrossRatio.html | تاريخ أرشيف = 2 نوفمبر 2018}}</ref><ref name=":11">H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.</ref>

تُعرّفُ النقطة <math>D</math> على أنّها المرافق التوافقي للنقطة <math>C</math> بالنسبة لـ<math>A</math> و<math>B</math>. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي <math>-1</math>. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.<ref name=":02">{{استشهاد بكتاب|طبعة=3d ed|عنوان=Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable|مسار= https://www.worldcat.org/oclc/4036464|ناشر=McGraw-Hill|تاريخ=1979|مكان=New York|ISBN=0-07-000657-1|OCLC=4036464|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313122735/https://www.worldcat.org/title/complex-analysis-an-introduction-to-the-theory-of-analytic-functions-of-one-complex-variable/oclc/4036464|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}</ref> النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها [[ببس الرومي]] الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات [[تلاق|متلاقية]] هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.<ref name=":02"/> في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط <math>\overleftrightarrow{PA}, \overleftrightarrow{PB}, \overleftrightarrow{PC}, \overleftrightarrow{PD}</math> «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي <math>-1</math>). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها <math>P</math> يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ [[رباعي توافقي|رباعياً توافقياً]].<ref>The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.</ref>

==== تعريف الدائرة المعممة ====
[[ملف:Inversion illustration2.png|تصغير|200x200px|في [[تعاكس|الهندسة التعاكسية]]، تتحول الدائرة الزرقاء المارّةُ بالدائرةِ الحمراءِ بعدَ التعاكسِ إلى دائرةٍ مُعممةٍ (الخط المُستقيم الأخضر). |بديل=]]
في حال ما كانت <math>C</math> منتصف القطعة <math>\overline{AB}</math> فعندئذٍ يُسمّى [[محل هندسي|المحل الهندسي]] للنقاط <math>P</math> التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو [[نقطة في اللانهاية]] أو دائرة [[نقاط دائرية في اللانهاية|ذات نصف قطر لانهائي]]. وتستعمل فروع هندسة أخرى [[تعاكس|كالهندسة التعاكسية]] و[[هندسة إسقاطية|الهندسة الإسقاطية]] في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم.<ref>[[:en:Hans Schwerdtfeger|Hans Schwerdtfeger]], ''[[:en:Geometry of Complex Numbers|Geometry of Complex Numbers]]'', [[:en:Courier Dover Publications|Courier Dover Publications]], 1979</ref><ref>Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, [[:en:Prentice Hall|Prentice Hall]], 2001</ref> هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها [[انعدام|دائرةٌ مُنعدمة]]. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة [[محور أساسي|بالمحور الأساسي]].<ref name=":1">{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Degenerate.html
| عنوان = Degenerate
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| تاريخ الوصول = 2019-11-29
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190730101543/http://mathworld.wolfram.com:80/Degenerate.html
| تاريخ أرشيف = 2019-07-30
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.maa.org/external_archive/joma/Volume8/Kalman/Ellipse2.html
| عنوان = The Most Marvelous Theorem in Mathematics
| موقع = www.maa.org
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170624234711/http://www.maa.org/external_archive/joma/Volume8/Kalman/Ellipse2.html | تاريخ أرشيف = 24 يونيو 2017}}</ref>

=== تأويل لانهائي ===
{{مفصلة|نهاية (رياضيات)}}
[[ملف:Kepler_constant_inverse.svg|بديل=|تصغير|سلسلة من مضلعات منتظمة محصورة داخل دائرة. لاحظ أنه بازدياد عدد الأضلاع يقترب المُضلع شيئاً فشيئاً من أن يكون دائرةً.|200x200بك]]
بالإمكان تعريف الدائرة على أنها [[مضلع منتظم|مُضلّعٌ منتظمٌ]] بنصف قطر مماسي {{إنج|Inradius}}<ref group="ملاحظة">يُعرف نصف القطر المماسي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد أضلاعه. (انظر أيضاً: [[مسافة بين نقطة وخط]])</ref> يُرمز إليه بالرمز <math>r</math> أو نصف قطر محيطي {{إنج|Circumradius}}<ref group="ملاحظة">يُعرف نصف القطر المحيطي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد رؤوسه.</ref> يُرمز إليه بالرمز <math>R</math> باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم [[نهاية (رياضيات)|يؤول]] إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية:<ref name=":4"/> <math display="block">\begin{align}C=\lim_{n \to \infty} 2rn \tan{(\tfrac{\pi}{n})}=2 \pi r \\
	= \lim_{n \to \infty}2Rn \sin{(\tfrac{\pi}{n})}=2 \pi R \end{align}</math>والمساحة، عبر العلاقة:<ref name=":4"/><math display="block">\begin{align}A=\lim_{n \to \infty}nr^2 \tan{({\pi}{n})}=\pi r^2 \\
 = \lim_{n \to \infty} \tfrac{1}{2} n R^2 \sin{(\tfrac{2 \pi}{n})}=\pi R^2\end{align}</math>والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.<ref name=":4"/>

=== الدائرة بوصفها حالة حدية ===
تُوصف الدائرة على أنها [[حالة حدية]] خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها [[بيضاوي ديكارتي]]، نسبةً إلى [[رينيه ديكارت]]، وهو [[منحنى مستو]] ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس [[تركيب خطي|التركيب الخطي]] (ويُعبّر عنه أيضاً [[دالة ترجيح|بمجموعٍ موزونٍ]]) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.<ref name="mactutor">{{MacTutor Biography|class=Curves|id=Cartesian|title=Cartesian Oval}}</ref> [[بيضاوي فائق|البيضاوي الفائق]] هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> حيث أنَّ <math>n, a, b</math> أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «<nowiki/>[[دائرة فائقة|الدّائرةُ الفائقة]]» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه <math>a = b</math>. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما <math>n=2</math>.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia"|مسار= https://www.worldcat.org/oclc/16755499|ناشر=Reidel|تاريخ=©1988-©1994|مكان=Dordrecht|ISBN=1-55608-010-7|OCLC=16755499|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313110128/https://www.worldcat.org/title/encyclopaedia-of-mathematics-an-updated-and-annotated-translation-of-the-soviet-mathematical-encyclopaedia/oclc/16755499|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}</ref>

==== القطوع المخروطية ====
تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من [[قطع ناقص|القطع الناقص]]، حيث تكونُ حينَ [[انطباق|تنطبقا]] [[بؤرة (توضيح)|البؤرتان]] معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون [[اختلاف مركزي|الاختلاف المركزي]] مُساوٍ للصفر (<math>e = 0</math>) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي [[قطع مخروطي]] ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.<ref name=":4">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
| عنوان = Circle
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-11
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190730182419/http://mathworld.wolfram.com:80/Circle.html|تاريخ أرشيف=2019-07-30}}</ref>

=== استيفاء المساحة ===
{{صور متتابعة
|رصف=يسار
|صورة1=Isoperimetric inequality illustr1.svg
|بدل2=
|عرض2=140
|صورة2=Isoperimetric inequality illustr2.svg
|تعليق1=
إن كان الشكلُ مقعراً، فبالإمكانِ زيادةُ مساحَتِه دون تغييرِ مُحيطه بأن يُطوَ جزؤه المقعّر ليكون مُحدّباً.

|بدل1=
|عرض1=155
|عرض=
|اتجاه=horizontal
|خلفية_ذيل=
|رصف_ذيل=يسار
|ذيل=
|خلفية_رأس=
|رصف_رأس=يسار
|رأس=
|تعليق2=
إذا كان الشكل مُمَطّطاً، فبالإمكانِ جعله أكثر استدارةً وبذلك زيادة مساحته دون تغيُّرٍ يطرأُ على طولِ مُحيطِه.
}}تعود [[متباينة المحيط الثابت|مسألة المحيط الثابت]] إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.<ref>Burago (2001) [1994], "Isoperimetric inequality", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4</ref>

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ [[مبدأ الفعل الأدنى|مبدأِ الفعلِ الأدنى]] في [[فيزياء|الفيزياء]]، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي [[سويسرا|السويسري]] [[ياكوب شتاينر]] طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.<ref name=":19">{{استشهاد بكتاب|عنوان=Steiner, Jacob: Gesammelte Werke. Band 2|مسار= https://www.degruyter.com/view/title/63311?tab_body=toc|ناشر=DE GRUYTER|تاريخ=1882-01-31|مكان=Berlin, New York|ISBN=978-3-11-161171-6|محرر1=K.|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313162905/https://www.degruyter.com/view/books/9783111611716/9783111611716.75/9783111611716.75.xml|تاريخ أرشيف=2018-06-28}}</ref>

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.<ref name=":19"/>

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:<ref name=":19"/><ref name=":04">Blåsjö, Viktor (2005). "The Evolution of the Isoperimetric Problem". Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526–566. doi:10.2307/30037526. JSTOR 30037526.</ref>

<math display="block">4\pi A \le L^2</math>

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع <math>R</math> هو <math>\pi R^2</math> ومُحيطُ الدائرةِ هو <math>2\pi r</math> بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان <math>4\pi R^2</math>. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام [[متسلسلة فورييه]] التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة [[طول قوس|طول القوس]]، صيغة مساحة السطح من [[مبرهنة غرين]] و[[متباينة كوشي-شفارتس|متباينة كاوشي شفارتز]].<ref name=":19"/> لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:<ref name=":19"/>

<math display="block">Q=\frac{4\pi A}{L^2}</math>

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ <math>Q \le 1</math> بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط<math>\frac{L^2}{A}</math> هي على الأقل <math>4\pi</math> لكل منحنى.<ref name=":04"/> أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:<ref name=":04"/> <math>Q_n=\frac{\pi}{n \tan \tfrac{\pi}{n}}.</math>. إذا كان <math>C</math> منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:<ref name=":19"/>

<math display="block">L^2\geqslant 4\pi A+8\pi\left|\widetilde{A}_{0.5}\right|,</math>

حيث أن <math>L, A, \widetilde{A}_{0.5}</math> ترمز إلى طول <math>C</math> والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان <math>C</math> منحنى ثابت العرض.<ref name=":19"/>

=== دوائر بإعادة تعريف المسافة ===
[[ملف:Vector-p-Norms_qtl1.svg|بديل=|تصغير|300 بك|رسم توضيحي لدوائر الوحدة في معايير <math>p</math> مختلفة. حيثُ أنَّ كل متجهٍ من نقطة الأصل إلى دائرة الوحدة يُساوي وحدةً واحدةً. يُحسَبُ الطولُ بناءً على صيغة المسافة المرتبطة مع <math>p</math>.]]
تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-<math>p</math> {{إنج|p-norm}}، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:<ref name=":15">{{استشهاد بويب
| مسار = http://students.rockefeller.edu/fross/unit_circle/index.html
| عنوان = The Unit Circle Deformed
| موقع = students.rockefeller.edu
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190826020946/http://students.rockefeller.edu/fross/unit_circle/index.html | تاريخ أرشيف = 26 أغسطس 2019}}</ref><ref name=":16">{{استشهاد بويب
| مسار = https://ncatlab.org/nlab/show/p-norm
| عنوان = p-norm in nLab
| موقع = ncatlab.org
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190325091230/https://ncatlab.org/nlab/show/p-norm | تاريخ أرشيف = 25 مارس 2019}}</ref>

<math display="block"> \left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p \right) ^{1/p} .</math>

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون <math>p=2</math>، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:<ref name=":15"/><ref name=":16"/>

<math display="block"> \left\| x \right\| _2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } .</math>

في [[هندسة سيارة الأجرة]]، تكون <math>p=2</math>. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف [[مسافة شبشفية|المسافة الشبشفية]]، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع <math>r</math> في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع <math>2r</math>. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.<ref name=":15"/><ref name=":16"/>
{{تحديد}}

== النَّتائِجُ التَّحليليَّة ==
{{مفصلة|ط (رياضيات)|مساحة القرص}}
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة <math>r = \frac{d}{2}</math>. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر<ref group="ملاحظة">القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو "2 نق" حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.</ref> يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.<ref name=":34" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|مسار=https://books.google.com.sa/books?id=ZwEfDgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=رياضيات+الأولمبياد:+الهندسة&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiUraaY_o_WAhXHxxQKHW_nCb8Q6AEIJjAA#v=onepage&q=رياضيات%20الأولمبياد:%20الهندسة&f=false|الأول=معروف|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20200307083721/https://books.google.com.sa/books?id=ZwEfDgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=رياضيات+الأولمبياد:+الهندسة&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiUraaY_o_WAhXHxxQKHW_nCb8Q6AEIJjAA#v=onepage&q=رياضيات%20الأولمبياد:%20الهندسة&f=false|الأخير3=توبان|الأول3=ليانا|الأخير2=التويجري|الأول2=نجلاء|الأخير=سمحان|عنوان=رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد: الهندسة|تاريخ الوصول=6 سبتمبر، 2017م.|مكان=الرياض|طبعة=الأولى|ISBN=978-603-503-866-9|ناشر=العبيكان للنشر|تاريخ=1437هـ/2016م|تاريخ أرشيف=2020-03-07}}</ref><ref name=":12" group="ِ">{{استشهاد بويب
| مسار = https://arabiska.matteboken.se/lektioner/skolar-8/geometri-och-enheter/cirklar
| عنوان = الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken
| تاريخ الوصول = 2017-09-05
| موقع = Matteboken
| لغة = ar
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170905231608/https://arabiska.matteboken.se/lektioner/skolar-8/geometri-och-enheter/cirklar
| تاريخ أرشيف = 05 سبتمبر 2017
}}</ref><ref name=":44">Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, [[Spezial:ISBN Suche/9783540493273|ISBN 978-3-540-49327-3]], S. 143.</ref> وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها [[تشابه (هندسة)|مُتشابهة]].<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.ixl.com/math/geometry/similarity-of-circles
| عنوان = IXL {{!}} Similarity of circles {{!}} Geometry math
| موقع = IXL Learning
| لغة = en-US
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150919184653/https://www.ixl.com/math/geometry/similarity-of-circles | تاريخ أرشيف = 19 سبتمبر 2015}}</ref>

=== المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة <math>\pi</math> ===
[[ملف:Pi-unrolled-720.gif|بديل=|مركز|تصغير|400x400بك|ثابت النِّسبة <math>\pi</math>هو طول مُحيط دائرة قطرها وِحْدة واحدة.]]
{{شريط جانبي الثابت باي}}
[[تناسب (رياضيات)|يتناسبُ]] طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها.<ref group="ملاحظة">القياس يكون عبر إحاطة مُحيط الدائرة بخيط ثُمّ قياس طوله بعد فرده مستقيماً لاحقاً.</ref> ويُرمز لهذه النسبة بـ«<math>\pi</math>»<ref group="ملاحظة">يُقرأً پاي.</ref> أو «{{خط/رقعة|ط}}». يُربَطُ بينَ [[ثابت (رياضيات)|ثابتِ النّسبة]] <math>\pi</math> وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:<ref name=":12" group="ِ"/><ref name=":0" group="ِ"/><math display="block">\frac{C}{d}=\pi \Leftrightarrow C = \pi d = 2\pi r \Leftrightarrow d=\frac{C}{\pi}</math>في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة <math>\pi</math>، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة <math>\pi</math>:<ref>{{استشهاد|الأول=Victor J.|الأخير=Katz|عنوان=A History of Mathematics / An Introduction|طبعة=2nd|سنة=1998|ناشر=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|صفحة=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|التسجيل=registration|مسار=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200307123040/https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 | تاريخ أرشيف = 7 مارس 2020}}</ref>

:<math display="block">\pi \approx \frac{22}{7}\approx3.14</math><math display="block">\pi \approx \frac{355}{113} = 3.14159\ 29^+</math>على الرغم من تعريف <math>{\pi}</math> الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى <math>{\pi}</math> تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات [[رياضيات|الرياضيات]] [[فيزياء|والفيزياء]]. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني <math>{\pi}</math> منذ منتصف [[القرن 18|القرن الثامن عشر]]. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً '''ثابت أرخميدس'''. بسبب كونه [[عدد غير كسري|عدداً غير نسبي]]، <math>{\pi}</math> لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة <math> a/b </math>. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب <math>{\pi}</math>. كما أن <math>{\pi}</math> [[عدد متسام]]ٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام [[إنشاء بمسطرة وفرجار|إنشاءات الفرجار والمسطرة]].<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Special Functions|الأول1=George E.|الأخير1=Andrews|الأول2=Richard|الأخير2=Askey|الأول3=Ranjan|الأخير3=Roy|ناشر=[[مطبعة جامعة كامبريدج]]|سنة=1999|isbn=978-0-521-78988-2|صفحة=58}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأول=R.C.|الأخير=Gupta|عنوان=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series|صحيفة=Ganita Bharati|المجلد=14|العدد=1–4|سنة=1992|صفحات=68–71}}</ref> في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ<math>{\pi}</math> إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية.<ref>[http://www.pi2e.ch/ πe trillion digits of π] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/|date=6 December 2016}} </ref><ref>[https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|date=19 أكتوبر 2019}}</ref> تعلق الثابت <math>{\pi}</math> بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في [[حساب المثلثات|علم المثلثات]] [[هندسة|والهندسة]]، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، [[قطع ناقص|والقطوع الناقصة]]، ومجالات التحليل الرياضي.

=== المِساحَةُ ===
[[ملف:Area_of_a_circle.svg|بديل=|مركز|تصغير|400x400بك|توضيح للطريقة المُستخدمة في استنتاج قانون مساحة الدائرة تقديريّاً.]]
تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ <math>\pi</math>. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ [[حساب المتغيرات|حسابِ التغيراتِ]] تُسمَّى [[متباينة المحيط الثابت|مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ]]. استُعمل مفهوم [[نهاية متتالية|النّهايات المُتتالية]] للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه <math>\pi r</math> وعَرْضُه <math>r</math>. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:<ref name=":12" group="ِ"/>

: <math display="block">\mathrm{Area} =\pi r \cdot r= \pi r^2= \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2</math>

== الأقْواسُ ==
{{مفصلة|درجة (زاوية)|راديان}}
يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ <math>360^\circ</math>. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ [[إذا وفقط إذا]] كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:<ref name=":34" group="ِ"/>
{| style="margin: auto auto; text-align: center;"
![[درجة (زاوية)|'''الدرجة''']]
![[راديان|الراديان]]
|-
|[[ملف:Protractor_Rapporteur_Degrees_V3.jpg|لاإطار|151x151بك]]
|[[ملف:Angle_radian.svg|لاإطار|118x118بك]]
|-
|يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه <math>\frac{1}{360}</math>من قياس الدائرة كاملةً.
|يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية <math>r</math>.
|}
[[ملف:قوس-دائرة.svg|تصغير|150x150px|النقطتان <math>A, B</math>تقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أكبر، وقوس أصغر.|بديل=إذا]] كانت <math>A, B</math> نقطتين مختلفتين على الدائرة <math>C(O,r)</math> فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر <math>\widehat{AB}</math>، وقوس أكبر <math>\widehat{AB}</math> يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر <math>\widehat{AB}</math> أحياناً بالرمز <math>\widehat{ACB}</math> عِوَضاً عن ذكر «<math>\widehat{AB}</math> الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر <math>\widehat{AB}</math> على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية <math>\angle AOB</math> الداخلية<ref group="ملاحظة">الزاوية الداخلية هي عكس الزاوية المُنعكسة. (انظر أيضاً: [[زاوية (هندسة)|زاوية]])</ref> ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين <math>A, B</math> على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن <math>180^\circ</math>. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر <math>\widehat{AB}</math> هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية <math>\angle AOB</math> المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين <math>A, B</math> على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن <math>180^\circ</math>. تُسمَّى النقطتان <math>A, B</math> طرفا القوس <math>\widehat{AB}</math> أو طرفا الوتر <math>\overline{AB}</math>. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ <math>A, B</math> نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.<ref name=":34" group="ِ"/>

إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي <math>\ell</math>، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.<ref name=":12"/><ref>Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.</ref>

<math display="block">\frac {l} {C_O} =\frac {l} {2\pi r} = \frac {\theta^\circ} {360^\circ} \Leftrightarrow \ell = \pi r \cdot \frac {\theta^\circ} {180^\circ}</math>

{| style="margin: auto auto; text-align: center; width:75%;"
|'''القوس الأصغر <math>\widehat{AB}</math>'''
|'''القوس الأكبر <math>\widehat{AB}</math>''' (أو اختصاراً <math>\widehat{ACB}</math>)
|'''نصف الدَّائرة''' <math>\widehat{ADB}</math>
|-
|[[ملف:قوس-أصغر.svg|بديل=|لاإطار|150x150px]]
|[[ملف:قوس-أكبر.svg|بديل=|لاإطار|166x166px]]
|[[ملف:نصف-دائرة.svg|بديل=|لاإطار|150x150px]]
|}

== القطع والجزئيات ==
{{مفصلة|قرص (رياضيات)|دائرة مجزأة|قطاع دائري}}
=== القرص ===
[[ملف:Circle_arc.svg|بديل=|تصغير|قطاع دائري في دائرةٍ شعاعها <math>r</math>، مظلل بالأخضر، ويُغطّي قوساً طوله <math>L</math>.]]
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:<ref name=":34" group="ِ"/><math>C(O,r) \cup Int ~ C(O,r) = \left\{P \in E ~ : ~ \overline{OP} \le r \right\}</math>.

=== القطاع ===
يعتمد حجم [[قطاع دائري|قطاع]] الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.<ref name=":12" group="ِ"/><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://bigenc.ru/mathematics/text/3546075
| عنوان = معلومات عن قطاع دائري على موقع bigenc.ru
| ناشر = bigenc.ru
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191212061502/https://bigenc.ru/text/3546075
| تاريخ أرشيف = 2019-12-12
}}</ref><math display="block">A_S=\pi r^2 \cdot \frac{v}{360^\circ} = (v \text{ rad}) \cdot r^2</math>تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى <math>360^\circ</math> مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة <math>100%</math>.<ref>Gerard, L. J. V., ''The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic'' (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.</ref>

== الزوايا ==
{{مفصلة|زاوية (هندسة)}}

{| style="margin: auto auto;"
![[ملف:زوايا محيطية مركزية مماسية.svg|بديل=|لاإطار|280x280px]]
![[ملف:زاوية خارجية عن رباعي دائري.svg|بديل=|لاإطار|229x229px]]
![[ملف:زوايا داخلية وخارجية.svg|بديل=|لاإطار|280x280px]]
|}
{| class="wikitable" style="margin: auto auto;"
|+تصنيفات الزوايا المتعلقة بالدائرة حسب موقع رأسها:<ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":8"/><ref name=":0"/><ref name=":12"/>
!الزاوية
!التّعريف
!موقع رأس الزَّاوية
!قياس الزَّاوية
!ملاحظة
|-
|'''[[زاوية مركزية]]'''
|زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ<math>v</math>
|مركز الدَّائرة
|قياس القوس المقابل
|<ref group="ملاحظة">سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على نقطةَ المركز.</ref>
|-
|'''[[زاوية محيطية]]'''
|زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط
|محيط الدَّائرة
|نصف قياس القوس المقابل
|<ref group="ملاحظة">سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على محيط الدائرة وتحصر جزءاً منه.</ref>
|-
|'''[[زاوية مماسية]]'''
|زاوية محصورة بين مماس <nowiki/>وو<nowiki/>تر يمر بنقطة التماس
|محيط الدائرة
|نصف قياس القوس المَحصُور.
|<ref group="ملاحظة">سُمّيت بذلك بسبب انحصارها بين وتر وومماس على الدائرة.</ref>
|-
|'''[[زاوية خارجة#زاوية خارجة عن رباعي دائري|زاوية خارجة]]'''
|زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة
|محيط الدائرة
|قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي.
|
|-
|'''زاوية داخلية'''
|زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة
|داخل الدَّائرة
|نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل [[زاويتان تشتركان بالرأس|للزاوية التي تقابلها بالرأس]]
|
|-
|'''زاوية خارجيَّة'''
|زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة
|خارج الدَّائرة
|نصف [[فرق مطلق|الفرق المطلق]] بين قياسي القوسين المقابلين لها
|
|}
{| class="wikitable" style="margin: auto auto; text-align: center;"
|+حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية<ref name=":0">{{استشهاد بكتاب|عنوان=A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry|مؤلف1=Stefan Lozanovski|لغة=الإنجليزية|مسار= https://www.olympiadgeometry.com|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190822192755/https://www.olympiadgeometry.com/|تاريخ أرشيف=2019-08-22}}</ref><ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":12"/><ref name=":8"/><ref name=":3" group="ِ">{{استشهاد بكتاب|عنوان=المرجع في أولمبياد الرياضيات|ناشر=مطابع الحميضي|مؤلف1=سعيد سعد الفهمي الزهراني|لغة=العربية|ISBN=9786030112494|سنة=2013}}</ref>
!الحالة الأولى
!الحالة الثَّانية
!الحالة الثَّالثة
![[مبرهنة طاليس (دائرة)|مبرهنةُ طالس]] ([[حالة خاصة|حالة خاصَّة]])
|-
|[[ملف:زاوية-محيطية1.svg|لاإطار|150x150px|بديل=]]
|[[ملف:زاوية-محيطية2.svg|لاإطار|150x150px|بديل=]]
|[[ملف:زاوية-محيطية3.svg|لاإطار|150x150px|بديل=]]
|[[ملف:Diameter_Subtended_By_Circle_Inscribed_Angle.gif|بديل=|لاإطار|150x150px]]
|-
|يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ.
|يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ.
|يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة.
|الزَّاويةُ المُحيطيةُ [[زاوية مستقيمة|زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ]].
|}
{{زاوية}}
{{مبرهنة|الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.|اسم=مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية}}
المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً [[مبرهنة طاليس (دائرة)|مبرهنة طالس]]: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.<ref name=":0"/><ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":3" group="ِ"/>
{{مبرهنة|الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.|اسم=مبرهنة الزاوية الداخلية}}
{{مبرهنة|الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.|اسم=مبرهنة الزاوية الخارجية}}

== النقاط ==
{|style="margin: auto auto; width: 600px; text-align: center;"
![[ملف:نقاط_داخلية_وخارجية_ومحيطية.svg|بديل=|لاإطار|203x203px]]
![[ملف:DiaOppositePoints.svg|بديل=|لاإطار|200x200px]]
|-
|النِّقاطُ <math>P_1, P_2, P_3</math> هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.
|النقطتانِ <math>P, P'</math> نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.
|}

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:<ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":2" group="ِ"/>

{| class="wikitable" style="margin: auto auto;"
!التصنيف
!التعريف
!الترميز
!مراجع
|-
|'''نقطة داخلية'''
|نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.
|<math>Int ~ C(O, r)</math>
|<ref group="ملاحظة"><math>Int ~ C(O,r)</math>هو ترميز لمجموعة النقاط الداخلية. و<math>Int</math>هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: <math>Interior</math>والتي تعني داخليّ.</ref>
|-
|'''نقطة مُحيطيَّة'''
|نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر.
|<math>C(O, r)</math>
|
|-
|'''نقطة خارجيَّة'''
|نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.
|<math>Ext ~ C(O, r)</math>
|<ref group="ملاحظة"><math>Ext ~ C(O,r)</math>هو ترميز لمجموعة النقاط الخارجية. و<math>Ext</math>هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: <math>External</math>والتي تعني خارجيّ.</ref>
|-
|'''نقطتان متقابلتان'''
|أو '''النقطتان المتقابلتان قطريَّاً''' هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة
|<math>P,P'</math>
|
|}

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها <math>O</math> والنقطة المتغيِّرةُ <math>P</math>، فإنَّ مجموعة نقاط <math>P</math> في المستوى <math>E</math> تُعرَّف على أنَّها:<ref name=":2" group="ِ"/><ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":44"/> <math display="block">Int ~ C(O, r)=\left\{P \in E ~ : ~ \overline{OP} <r \right\}</math><math display="block">Ext ~ C(O,r) = \left\{P \in E ~ : ~ \overline{PQ}> r \right\}</math>تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها [[مجموعة محدبة]]: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.<ref name=":34" group="ِ"/>
{{برهان|مخفي=نعم|لتكن <math>A, B \in Int ~ C(O, r)</math>ولتكن <math>P \in \overline{AB}</math> من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن <math>OA, OB <r</math>، ولأن <math>P</math>على القطعة المستقيمة <math>\overline{AB}</math>فهذا يعني أن إحدى الزاويتين <math>\angle OPA, \angle OPB</math>غير منفرجة.<ref group="ملاحظة">أي: إما أن تكون حادة أو قائمة.</ref> بفرض - [[دون فقد عمومية|دون فقد العموميَّة]] - أنَّ <math>\angle OPA \le 90^\circ</math>، بتطبيق [[متباينة المثلث]] في المثلث <math>\triangle OPB</math>: <math>OP <OB <r</math>إذن <math>P \in Int ~ C(O,r)</math>.}}يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.<ref name=":34" group="ِ"/><math display="block">\left\{P, P' \in C(O,r) ~ : ~ \overline{PP'} = 2r \right\}</math>
[[ملف:Power point simple.svg|تصغير|شكل توضيحي لقواطع مُختلفةٍ تمرُ بالنقطة <math>P</math> وتقطع الدائرة <math>O</math>.|بديل=|200x200بك]]
=== قوة النقطة ===
{{مفصلة|قوة نقطة}}
تُعرّفُ '''قوةُ نقطة ما''' بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة <math>P</math> بالنسبة للدائرة <math>C(O, r)</math> هي المقدار:<math>\mathcal{Pow}(P) = OP^2 - r^2</math>. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ <math>P</math> تكونُ مقداراً سالباً عندما <math>OP <r</math> أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ [[مبرهنة قطع الوتر|لمبرهنات قطع الوتر]] والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ <math>\mathcal{Pow}(P)</math> هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي <math>\mathcal{Pow}(P)</math>.<ref name=":3" group="ِ"/><ref>[[شتاينر]] (1826). "Einige geometrische Betrachtungen". ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' '''1''': 161–184.</ref><ref>داربو، غاستون (1872). "Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l’espace". ''Annales Scientifique de l'École Normale Superieure'' '''1''': 323–392.</ref>

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن <math>T</math> نقطة تماس المماس الخارج من <math>P</math> إلى الدائرة <math>O</math>. من مبرهنة التعامد: <math>OT \perp PT</math>، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: <math>\triangle OTP</math>، فإنَّ <math>OT^2 + PT^2 = OP^2</math> أو بشكلٍ مكافئ:<math>OP^2 - OT^2 = PT^2 = OP^2 - r^2</math>.<ref name=":3" group="ِ"/><ref name=":53" group="ِ"/>

{| class="wikitable" style="margin: auto auto;"
|+نظريات قوة النُّقطة<ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":0"/><ref name=":3" group="ِ"/>
!الاسم
!الصيغة الرياضية
!النص
|-
|[[مبرهنة قطع الوتر|'''مبرهنة قِطَع الوتر''']]
|<math>\mathcal{Pow}(P)=P_1B\cdot P_1D= P_1A \cdot P_1C</math>
|إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
|-
|'''مبرهنة القاطع'''
|<math>\mathcal{Pow}(P)=P_2X\cdot P_2Y= P_2Z \cdot P_2W</math>
|إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
|-
|'''مبرهنة قاطعُ التَّماسِ'''
|<math>\mathcal{Pow}(P)= PT^2 = PA\cdot PB</math>
|إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في [[هندسة إقليدية|الهندسة المستوية]] بأنها [[عدد حقيقي]] يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.<ref>Coxeter، H. S. M. (1969). ''Introduction to Geometry'' (الطبعة 2nd). New York: Wiley.</ref>
|}
{| style="margin: auto auto; text-align: center;"
|[[ملف:SecantChordTheorem.svg|بديل=|لاإطار|262x262px]]

|[[ملف:TangentChordTheorem.svg|بديل=|لاإطار|233x233px]]

|-
|'''مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.'''
|'''مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.'''
|}

== أزواج الدوائر ==
{| style="margin: auto auto; border-collapse: collapse; text-align: center; width: 60%; height: 14em; border-color:#92a8d1;" border=2
|+'''تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائِرِ حَسب بُعدِها عن بعضها'''<ref name=":8"/><ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":17">{{استشهاد بويب
| مسار = http://whistleralley.com/tangents/tangents.htm
| عنوان = Tangent Circles
| موقع = whistleralley.com
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190815213830/http://whistleralley.com/tangents/tangents.htm | تاريخ أرشيف = 15 أغسطس 2019}}</ref>
! colspan="2" |دائرتان متباعدتان
! colspan="2" |دائرتان متماستان
! colspan="2" |دائرتان متقاطعتان
|-
| colspan="2" |دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ
| colspan="2" |دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ
| colspan="2" |أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
|-
| rowspan="3" |[[ملف:دائرتان متباعدتان2.svg|لاإطار|113x113px]]
| rowspan="3" |[[ملف:دائرتان متباعدتان.svg|لاإطار|129x129px]]
!خارجيَّاً
!داخليَّاً
| rowspan="3" |[[ملف:دائرتان متقاطعتان.svg|لاإطار|145x145px]]
| rowspan="3" |[[ملف:دائرتان متقاطعتان2.svg|لاإطار|161x161px]]
|-
|دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى
|دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى
|-
|[[ملف:دائرتان متقاطعتان1.svg|لاإطار|139x139px]]
|[[ملف:دائرتان متماستان.svg|لاإطار|141x141px]]
|}

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار <math>r_1</math> نصف قطر الدائرة الأولى و<math>r_2</math> نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم <math>\ell</math> الواصل بين المركزين يحقق [[معادلة رياضية|المعادلة]]:<ref name="webb">
{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
| عنوان = circle - circle intersection
| تاريخ = 2007
| تاريخ الوصول = 24/12/2019
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190619232727/http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
| تاريخ أرشيف = 19 يونيو 2019
| مؤلف = Eric W. Weisstein
| لغة = en
}}</ref><math display="block"> r_1+r_2<\ell<r_1-r_2 </math>

{| style="margin: auto auto; border-collapse: collapse; text-align: center; width: 60%; height: 14em; border-color:#92a8d1;" border=2
|+'''تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائرِ حَسب مَرَاكِزِها وَأنْصافِ أقْطارِها'''<ref name=":53" group="ِ"/><ref name="مولد تلقائيا1"/>
|-
|[[ملف:Orthogonal circle.svg|لاإطار|296x296بك]]
|[[ملف:تطابق دائرتين.svg|284x284px|مركز|بديل=|لاإطار]]
|[[ملف:دائرتان متحدتا المركز.svg|162x162px|مركز|بديل=|لاإطار]]
|[[ملف:ConcurrentCircles.svg|154x154px|مركز|بديل=|لاإطار]]
|-
|'''الدائرتان المُتعامدتان''': في [[تعاكس|الهندسة التعاكسية]]، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما.
|'''الدائرتان المتطابقتان''': دائرتان لهما نصف القطر نفسه.
|'''الدائرتان متحدتا المركز''' أو في [[تعاكس|الهندسة التعاكسية]]: '''الدائرتان المتوازيتان''' هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه.
|'''الدائرتان [[انطباق|المنطبقتان]]''': دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.
|}
الدائرتان متحدتا المركز: <math>\odot O</math> التي نصف قطرها <math>\overline {OA}</math> و<math>\odot O</math> التي نصف قطرها <math>\overline {OB}</math> دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: <math>\odot O_1 \cong \odot O_2 \Leftrightarrow \overline {O_1A} \cong \overline {O_2B}</math>.<ref name=":34" group="ِ"/>

{|style="margin: auto auto; border-collapse: collapse; text-align: center; width: 60%; height: 14em; border-color:#92a8d1;" border=2
|+'''أشكالٌ مُركَّبةٌ من دوائرَ'''<ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":9"/>
|[[ملف:CircleRing.svg|لاإطار]]
|[[ملف:عدسة تقاطع دائرتين.svg|لاإطار|163x163بك]][[ملف:Geometric lens examples.png|لاإطار|151x151بك]]
|[[ملف:Construction of Reuleaux triangle.svg|لاإطار|216x216بك]]
|[[ملف:Arbelos.PNG|لاإطار]]
|-
|[[حلقة (رياضيات)|'''الحلقة''']]: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين [[اتحاد مركزي|متحدتيّ المركز]].
|'''[[عدسة (هندسة)|العدسة]]''': تقاطع قرصين. '''[[هلال (رياضيات)|الهلال]]''': جزء الدائرة غير المتقاطع.
|'''[[مثلث رولو]]''': تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى
|[[سكين الحذاء (هندسة)|'''سكين الحَذَّاء''']]: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما
|}

[[ملف:Hipocrat arcs.svg|تصغير|حل جُزئي من مسألة تربيع الدائرة اقترحه أبقراط. مساحة المنطقة المظللة تساوي مساحة المثلث ABC. لم يستطع أحد إكمال حل مسألة تربيع الدائرة. وقد أثبت استحالتها.{{انتقل|دائرة#إنشاءات مستحيلة}}|167x167بك]]
تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به <math>\theta</math> بالراديان ونصف قطر الدائرتين <math>R</math> بالصيغة الآتية:<ref>Pedoe, D. (1995). "Circles: A Mathematical View, rev. ed". Washington, DC: Math. Assoc. Amer.</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/Lens.html
| عنوان = Lens
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190730104535/http://mathworld.wolfram.com/Lens.html | تاريخ أرشيف = 30 يوليو 2019}}</ref><math display="block">A = R^2\left(\theta - \sin \theta \right)</math>بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. [[هلال أبقراط]] هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.<ref name="postnikov">{{استشهاد|عنوان=The problem of squarable lunes|صحيفة=[[الرياضيات الأمريكية الشهرية]]|المجلد=107|العدد=7|سنة=2000|صفحات=645–651|jstor=2589121|الأول=M. M.|الأخير=Postnikov|مؤلف-وصلة=Mikhail Postnikov|doi=10.2307/2589121}}. Translated from Postnikov's 1963 Russian book on [[نظرية غالوا]].</ref><ref name="heath">{{استشهاد|الأول=Thomas L.|الأخير=Heath|مؤلف-وصلة=Thomas Little Heath|عنوان=A Manual of Greek Mathematics|ناشر=Courier Dover Publications|سنة=2003|isbn=0-486-43231-9|صفحات=121–132|مسار= https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20230227101750/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|تاريخ أرشيف=2023-02-27}}.</ref>

== الأوتار والمستقيمات ==
[[ملف:SekTangPass-ar.svg|لاإطار|مركز|302x302px|بديل=رسمٌ يُظهرُ موضع كُلٌ من القاطع والمماس والمار بالنسبة للدائرة. الزّاوية التي يصنعها المماس مع نصف قطر الدائرة هي زاوية قائمة.]]
{| class="wikitable" style="margin:auto auto;"
|+تَصْنِيفُ المستقيمات في الدَّائرةِ حسْبَ عدد نقاط تقاطعها معها وبُعدِها عن مركزها<ref name=":34" group="ِ"/>
!المستقيم
!التعريف
!رياضياً
!ملاحظة
|-
|[[قاطع (توضيح)|'''مستقيمٌ قاطِعٌ''']]
|مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.
|[[مسافة بين نقطة وخط|مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ]] مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (<math>\text{dist}(O, \ell) <r</math>)
|<ref name=":0" group="ملاحظة">المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعرف بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما <math>P</math>ومستقيم ما <math>\ell</math> بـ<math>dist(P, \ell)</math>. (انظر أيضاً: [[مسافة بين نقطة وخط]])</ref>
|-
|'''[[مماس|مستقيمٌ مَاسٌّ]]'''
|مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة.
|[[مسافة بين نقطة وخط|مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ]] مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (<math>\text{dist}(O, \ell) = r</math>)
|<ref group="ملاحظة">أو يقطع الدائرة في نقطة واحدة.</ref>
|-
|'''مستقيمٌ مَارٌّ'''
|مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة.
|[[مسافة بين نقطة وخط|مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ]] مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (<math>\text{dist}(O, \ell)> r</math>)
|<ref name=":0" group="ملاحظة"/>
|-
|'''مستقيمٌ مُنَصِّفٌ'''
|مستقيم يمر بمركز الدائرة.
|مستقيم يمر بنقطة المركز، أو [[مسافة بين نقطة وخط|بُعدُه عن المركز]] [[انطباق|معدومٌ]]. (<math>\text{dist}(O, \ell) = 0</math>)
|<ref name=":0" group="ملاحظة"/>
|}
{| style="margin:auto auto;"
|-
|[[ملف:RadicalAxisCircles.svg|لاإطار|300بك]]
|[[ملف:مماس خارجي.svg|لاإطار|300بك]]
|[[ملف:InternalTangAR.svg|لاإطار|300بك]]
|}
{| class="wikitable" style="margin:auto auto;"
|+تَصنِيفُ المُستقيمَاتِ المُشتركة في دائرتين<ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":17"/><ref name="مولد تلقائيا1"/>
!المستقيم
!التَّعريف
!الترميز
|-
|'''خطُّ مركزين'''
|[[مستقيم (رياضيات)|مستقيم]] يصل بين مركزي دائرتين
|<math>\overline{O_1O_2}</math>
|-
|'''وتر مُشترك'''
|وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين
|<math>\overline{AB}</math>
|-
|'''مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ'''
|أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.
|<math>\overleftrightarrow{T_1T_2}</math>
|-
|'''مماسٌ مشتركٌ داخليّ'''
|أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.
|<math>\overleftrightarrow{T_1T_2}</math>
|-
|'''قطعة تماس'''
|قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين
|<math>\overline{T_1T_2}</math>
|-
|'''محور أساسي'''
|المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.
|<math>\overleftrightarrow{AB}</math>
|}

=== التناظر في الدائرة ===
[[ملف:CircleSymmetry.svg|بديل=|تصغير|رسم هندسي يُوضِّح أجزاء الدائرة المُتماثلة والمُعلَّمةُ بالألوان: جميعُ النقاط <math>T, Q, M, O, P</math> تتسامَتُ على العمود المنصف للقطعة <math>AB</math> وهي بذلكَ تبعدُ البعدَ نفسه عن <math>A</math> و<math>B</math>.]]
في [[نظرية الزمر]]، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ [[تناظر انعكاسي|التناظر الانعكاسي]] وخاصيةَ [[تناظر دوراني|التناظر الدوراني]]. [[زمرة التناظر|زُمرة تماثل]] الدائرة هي [[زمرة متعامدة|زمرةٌ متعامدةٌ]] <math>O(2,R)</math>. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى [[زمرة الدائرة]] (<math>\mathbb T</math>) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.<ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=James|الأول=Robert C.|الأخير2=James|الأول2=Glenn|سنة=1992|عنوان=Mathematics Dictionary|طبعة=Fifth|ناشر=Chapman & Hall|صفحة=436|مسار=https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PA436&dq="unit%20complex%20number"&pg=PA436#v=onepage&q="unit%20complex%20number"&f=false| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191231105017/https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC | تاريخ أرشيف = 31 ديسمبر 2019}}</ref>

<math display="block">\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}~.</math>

في الدائرة ذات المركز <math>O</math> والوتر <math>\overline{AB}</math>، المثلث <math>\triangle ABO</math> متطابق الضلعين. إذا كانت <math>M</math> نقطة منتصف <math>\overline{AB}</math> فإنَّ <math>\triangle AMO \cong \triangle BMO</math> من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ <math>\angle AMO \cong \angle BMO</math> وكذلك <math>OM \perp AB</math>. أيضاً الزاويتان <math>\angle AOM \cong \angle BOM</math>. إذا كانت <math>P, Q</math> نقطتا تقاطعِ المستقيمِ <math>OM</math> مع الدائرة، فإنَّ من تطابق <math>\triangle OAP \cong \triangle OBP</math> (SSS) والذي يُنتج <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>. كنتيجة، القوسان <math>AP, BP</math> متطابقان أيضاً. بالمثل، <math>\triangle AOQ \cong \triangle BOQ</math> (من تطابق SAS) و<math>\overline{AQ} \cong \overline{BQ}</math>. وهذا يعني أن الدائرةَ <math>O</math> ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر <math>\overline{AB}</math>. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.<ref name=":0"/><ref name=":3" group="ِ"/>

إذا كانت <math>T</math> تقاطع مماسات الدائرة عند <math>A, B</math>، فمن [[مبرهنة فيثاغورس]]، <math>TA^2 = TO^2-OA^2 =TO^2 - OB^2 = TB^2</math>. مما يعني أنَّ <math>TA = TB</math>. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ <math>\angle OAT \cong \angle OBT</math>، إذن، الزاوية <math>TOA = TOB</math>، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ <math>T</math> تقع على المنصف العمودي لـ<math>AB</math>. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة <math>O</math> في <math>\overline{AB} \parallel \overline{CD}</math> فإنَّ الشكلَ الناتج هُو [[شبه منحرف متساوي الساقين|شبه مُنحرف متطابق الساقين]]. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.<ref name=":0"/><ref name=":3" group="ِ"/>

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:<ref name=":0"/><ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":34" group="ِ"/>
* أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، [[عمود منصف|يتعامد]] عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.
* يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
* الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
* المماس عند نقطة التماس [[تعامد (هندسة)|يتعامد]] مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
* المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

=== التطابق في الدائرة ===
ليكن <math>\overline{AB}</math> وتراً في الدائرة <math>C(O,r)</math>. بتطبيقِ [[متباينة المثلث]]: <math>OB + OC> AB</math> لكنَّ <math>OA = OB = r</math>، إذن بالتعويض ينتجُ <math>AB <2r</math>. أي أنّ: {{اقتباس مضمن|طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر}}. وتحصل المساواة عند [[انعدام|تلاشي المثلث]] وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون <math>AB</math> قطراً في الدائرة.<ref group="ملاحظة">لاحظ أن طول قطر الدائرة <math>C(O,r)</math>ثابت ويساوي <math>2r</math>وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.</ref> في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين <math>\overline{AB}, \overline{CD}</math> لهما الطول نفسه في الدائرة <math>C(O,r)</math>، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: <math>OA=OB=OC=OD=r</math>. وعلى ذلك <math>\triangle OAB \cong \triangle OCD</math>، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة [[وهو المطلوب إثباته|ينتج المطلوب]]. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.<ref name=":34" group="ِ"/>

=== العمق وطول الوتر ===
[[ملف:Circle_Sagitta.svg|بديل=|تصغير|200x200px|عمق القوس (بالأزرق) هو العمود من منتصف القوس إلى منتصفِ وترِهِ.]]
[[عمق قوس|عمق القوس]] {{إنج|Sagitta}} هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره.<ref name="Woodward_1978">{{استشهاد بكتاب|عنوان=Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver|مؤلف-الأول=Ernest|مؤلف-الأخير=Woodward|سلسلة=Problem Solvers Solution Guides|ناشر=[[Research & Education Association]] (REA)|سنة=December 1978|isbn=978-0-87891-510-1|صفحة=359|مسار= https://books.google.com/books?id=4iNvcGB3M9sC&pg=PA359|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200311200608/https://books.google.com/books?id=4iNvcGB3M9sC&pg=PA359|تاريخ أرشيف=2020-03-11}}</ref> تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في [[عمارة|العمارة]]. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية <math>\theta</math> في الدائرة التي نصف قطرها <math>r</math> بالصيغة:<ref group="ملاحظة">تشير <math>\operatorname{versin}</math> إلى دالة [[سهم (حساب المثلثات)|السهم]]</ref>

<math display="block">s = r \operatorname{versin}\theta = r\left(1-\cos\theta\right) = 2r\sin^2\frac\theta 2.</math>بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته <math>\theta</math> بالصيغة <math>2r\sin\theta</math>.<ref>Chakerian, G. D. (1979). "7". In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Mathematical Plums. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.</ref> أما إذا أُعطي وترٌ طوله <math>y</math> وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ<math>x</math> فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.liutaiomottola.com/
| عنوان = Liutaio Mottola Lutherie Information Website
| موقع = Liutaio Mottola Lutherie Information Website
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-12
| الأخير = Mottola
| الأول = R. M.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200105110403/https://www.liutaiomottola.com/ | تاريخ أرشيف = 5 يناير 2020}}</ref><ref>[https://mae.ufl.edu/~uhk/SAGITTA.pdf THE SAGITTA AND ITS APPLICATIONS], Herbert Wertheim College of Engineering; Department of Mechanical & Aerospace Engineering {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181024233213/http://www2.mae.ufl.edu/~uhk/SAGITTA.pdf |date=24 أكتوبر 2018}}</ref><math display="block">r=\frac{y^2}{8x}+ \frac{x}{2}.</math>

=== خط القوة ===
[[ملف:Radical_axis_intersecting_circles.svg|بديل=|تصغير|160x160px|إذا تقاطعت دائرتان، فإنّ خط قوتهما هو المستقيم المار بنقطتي تقاطعهما أو وترهما المشترك.]]
[[ملف:Radical_center.svg|بديل=|تصغير|163x163px|مركزُ قوةِ الدوائرِ الثلاثِ هو مركزُ دائرةٍ وحيدةٍ تقطعهم عمودياً {{انتقل|دائرة#أزواج الدوائر|اتجاه=أعلى}}.]]
{{مفصلة|محور أساسي}}
[[محور أساسي|خط القوة]] أو المحور الأساسي {{إنج|Radical axis}} لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى [[قوة نقطة|قُوَّتها]] بالنسبة لهما.{{انتقل|دائرة#قوة النقطة|اتجاه=أعلى}} وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة [[تعامد (هندسة)|عمودي]] دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:<ref name=":20">{{استشهاد بكتاب|مؤلف=R. A. Johnson|سنة=1960|عنوان=Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle|مسار=https://archive.org/details/advancedeuclidea00john|طبعة=reprint of 1929 edition by Houghton Miflin|ناشر=Dover Publications|مكان=New York|isbn=978-0-486-46237-0|صفحات=[https://archive.org/details/advancedeuclidea00john/page/n44 31]–43}}</ref><ref name=":53" group="ِ"/>
* خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
* خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
* خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
* خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
* لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

==== مركز القوة ====
لتكن <math>A, B, C</math> دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.<ref name=":20"/>

وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين <math>A, B</math> مع محور الأساسي الدائرتين <math>C, D</math> في نقطة <math>M</math> فإنَّ المماسات المنطلقة من <math>M</math> لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: <math>\mathcal{Pow}(M, A) = \mathcal{Pow}(M, B)</math> وأيضاً <math>\mathcal{Pow}(M, B) = \mathcal{Pow}(M, C)</math> فبالتعدّي، يُصبح <math>\mathcal{Pow}(M, C) = \mathcal{Pow}(M, A)</math>وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة <math>M</math> تقعُ على خط القوة للدائرتين <math>C, A</math> وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة <math>M</math>. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة <math>M</math> مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.<ref name=":20"/>

== العلاقات مع المضلعات ==
{{حالات هندسية}}
لِكلّ مثلثٍ<ref group="ملاحظة">أو يُعبَّر عنه أحياناً بـ: ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.</ref> ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى [[نقاط مشتركة بدائرة|نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ]]. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ [[مضلع محدب|المضلّعات المُحدَّبة]] تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ [[معين (هندسة رياضية)|المُعيَّنات]] غير [[مربع|المربعة]] لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها [[مستطيل|المستطيل]] و[[شبه منحرف متساوي الساقين]]، واللذان يُصنّف من ضمنهما [[مربع|المُربّع]] أيضاً وكذلك [[مضلع منتظم|المُضلَّعات المُنتظِمة]]. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.<ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":10">Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 978-0-7637-4366-6/</ref>

هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي [[مماس|التّماسُّ]]. تُعرَفُ [[مضلع مماسي|المضلعاتُ المماسيَّة]] على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو [[مستقيم (رياضيات)|امتداداتها]]. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.<ref name=":10"/>

=== المُثلَّث ===
{{مفصلة|دائرة محيطة|دوائر خارجية وداخلية لمثلث|دائرة النقاط التسع}}[[ملف:Incircle_and_Excircles.svg|بديل=|تصغير|رسمٌ يُوضَِحُ جميعَ الدوائرِ التي تَمسُّ أضلاعَ المثلثِ أو [[مستقيم (رياضيات)|امتداداتِ]] أضلاعه. وهي 3 دوائرٍ خارجيةٍ باللون البرتقالي ودائرةٌ داخليةٌ زرقاء.|225x225px]]
تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من [[مركز مثلث|مراكز المثلث]]. من أبرزها: [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دائرة المثلث الداخلية]]، [[دائرة محيطة|دائرة المثلث المحيطة]]، [[دائرة النقاط التسع]] و3 [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دوائرَ خارجية للمثلث]].<ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":3" group="ِ"/> لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس [[مستقيم (رياضيات)|امتدادات]] أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث<ref group="ملاحظة">تتضمن الدوائر الماسة للمثلث الدوائر الداخلية والخارجية.</ref> بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ [[خط أويلر]] {{انتقل|دائرة#خط أويلر}} بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط [[مبرهنة فويرباخ]]{{انتقل|دائرة#مبرهنة فويرباخ}} بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.<ref name="PL3">Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. ''The Secrets of Triangles'', Prometheus Books, 2012.</ref><ref name=":3" group="ِ"/><gallery>
ملف:Triangle (Acute) Circumscribed.svg|يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث [[زاوية حادة|حادة]].
ملف:Triangle (Right) Circumscribed.svg|يقع مركز [[مبرهنة طاليس (دائرة)|مُحيطة مثلث قائم]] على [[وتر (مثلث)|وتره]] ([[مبرهنة طاليس (دائرة)|مبرهنة طاليس]]).
ملف:Triangle (Obtuse) Circumscribed.svg|يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.
</gallery>
تُعطى [[إحداثيات خطية ثلاثية|الإحداثيات الخطية الثلاثية]] لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:<ref name=":11"/><ref name=":3" group="ِ"/><math display="block">a(b^2 + c^2 - a^2) : b(c^2 + a^2 - b^2) : c(a^2 + b^2 - c^2)</math>يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى [[قانون الجيب|قانون الجيوب]] أو قانون الجيوب المُوسَّع:<ref name=":53" group="ِ"/><ref name=":3" group="ِ"/><math display="block">2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.</math>كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع و[[صيغة هيرو|صيغة هيرون لمساحة المثلث]]:<ref name=":11"/><ref name=":3" group="ِ"/>
<math display="block">\begin{align}
  2R & {}= \frac{abc}{2\cdot\text{area}} = \frac{|AB| |BC| |CA|}{2|\Delta ABC|} \\[5pt]
                  & {}= \frac{abc}{2\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}\\[5pt]
                  & {}= \frac{2abc}{\sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}
\end{align}</math>
[[ملف:Euler_theorem2.svg|بديل=|تصغير|تنُصُّ مبرهنةُ أويلر على أنَّ:<math>d=|IO| =\sqrt{R (R-2r)}</math>]]
والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:<ref name=":11"/><ref name=":3" group="ِ"/>

<math display="block">2R = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{area}}{\sin A \sin B \sin C}}.</math>تربط [[مبرهنة أويلر (هندسة رياضية)|مبرهنة أويلر في الهندسة]] بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:<ref name="Nelson">Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," ''Mathematics Magazine'' 81(1), February 2008, 58-61.</ref><ref>Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191028022241/http://forumgeom.fau.edu:80/FG2012volume12/FG201217index.html|date=2019-10-28}}</ref><ref name=":3" group="ِ"/><math display="block">OI = \sqrt{R(R - 2r)}</math>تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:<ref name="SL">Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 436–452.</ref><ref>Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", ''Forum Geometricorum'' 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191019101654/http://forumgeom.fau.edu:80/FG2014volume14/FG201405index.html|date=2019-10-19}}</ref><math display="block">OH = \sqrt{R^2 - 8R^2\cos A \cos B \cos C} = \sqrt{9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}.</math>
[[ملف:EulerCircle4.gif|تصغير|حتى لو وقعت نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث خارجَه، فإن إنشاء دائرة النقاط التسع يبقى مُمكناً.]]
تنص [[مبرهنة كارنو (هندسة رياضية)|مبرهنة كارنو]] على أنَّ مجموع الأبعاد [[دالة مسافة متجهة|المُؤشّرة]] من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:<ref name="Altshiller-Court">Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover, 2007.</ref><math display="block">DF + DG + DH = R + r </math>[[دائرة النقاط التسع]] هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:<ref>{{Harvard citation text|Altshiller-Court|1925|pp=103–110}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Kay|1969|pp=18,245}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|مؤلف=Casey, John|مؤلف-وصلة=John Casey (mathematician)|عنوان=''Nine-Point Circle Theorem, in'' A Sequel to the First Six Books of Euclid|صفحة=58|سنة=1886|طبعة=4th|مكان=London|ناشر=Longmans, Green, & Co|مسار=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn6mqv;view=1up;seq=78| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200312213343/https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn6mqv;view=1up;seq=78 | تاريخ أرشيف = 12 مارس 2020}}</ref><ref name=":3" group="ِ"/>
* منتصف كل ضلع المثلث.
* [[تعامد (هندسة)|مسقط]] كل رأس المثلث.
* منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة <math>N</math>) القطعة المستقيمة <math>\overline{OH}</math> الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: <math>\overline{NO} = \overline{NH}</math>.<ref name="PL3"/><ref name=":3" group="ِ"/>

=== الرباعي الدائري ===
[[ملف:Cyclic_quadrilateral.svg|تصغير|رُباعَيَّاتٌ دَائريَّةٌ مُتنوِّعَةٌ. يَظهَرُ من أبرزها: [[مستطيل|المُستَطِيلُ]] و[[مربع|المُرَبَّعُ]] و[[شبه منحرف متساوي الساقين|شِبهُ المُنحَرِفِ مُتطابِقُ الساقينِ]].<nowiki/><nowiki/>|بديل=]]{{مفصلة|رباعي دائري}}'''الرباعي الدائري''' هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه.<ref group="ملاحظة">أو بشكلٍ مُكافئ، وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه.</ref> الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط [[علاقة تكافؤ|مُتكافئة]]، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها [[شرط ضروري وشرط كاف|شروطٌ كافية وضرورية]] أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً [[إذا وفقط إذا]]:<ref name=":53" group="ِ"/><ref name="Usiskin22">{{استشهاد|الأول1=Zalman|الأخير1=Usiskin|الأول2=Jennifer|الأخير2=Griffin|الأول3=David|الأخير3=Witonsky|الأول4=Edwin|الأخير4=Willmore|عنوان=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition|الفصل=10. Cyclic quadrilaterals|مسار الفصل=https://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63|سنة=2008|ناشر=IAP|isbn=978-1-59311-695-8|صفحات=63–65|سلسلة=Research in mathematics education}}</ref>
* تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
* وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه [[زاويتان متكاملتان|مُتكاملتان]].
* وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: <math>\angle CAD = \angle CBD</math>)
* انطبقَ عليه عكسُ [[مبرهنة بطليموس]].{{انتقل|دائرة#مبرهنة بطليموس}}
* انطبقت عليه عكس [[قوة نقطة|مبرهنة قوة النقطة]].{{انتقل|دائرة#قوة النقطة|اتجاه=أعلى}}

جميعُ [[مربع|المربعات]]، [[مستطيل|المستطيلات]]، [[شبه منحرف متساوي الساقين|أشباه المنحرف متطابقة الساقين]] و[[ضد متوازي أضلاع|أضداد متوازي الأضلاع]] رباعيات دائرية. بينما [[طائرة ورقية (هندسة رياضية)|الطائرة الورقية]] تُعدُّ دائريةً [[إذا وفقط إذا]] احتوت على [[زاوية قائمة|زاويتين قائمتين]]. و[[رباعي توافقي|الرباعي التوافقي]] هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.<ref name="Bryant"/><ref name=":3" group="ِ"/>

بحسب [[صيغة براهماغوبتا|صيغة مساحة براهماغوبتا]]، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: <math>a, b, c, d</math> و[[نصف محيط]]ه <math>s</math> حيث <math>S=\frac{a+b+c+d}{2}</math> بالصيغة الآتية:<ref name=":3" group="ِ"/><ref name=":13">Maley، F. Miller؛ Robbins، David P.؛ Roskies، Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons" (PDF). ''Advances in Applied Mathematics''. '''34''' (4): 669–689. [[معرف الغرض الرقمي|doi]]:10.1016/j.aam.2004.09.008. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يناير 2020.</ref>

<nowiki/><math display="block">A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>في [[القرن 15|القرن الخامس عشر الميلادي]]، استنتج العالم [[الهند]]ي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:<ref name=":13"/><ref name=":3" group="ِ"/>
<math display="block">R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}</math>
=== مُضلَّعاتٌ مماسيَّة ===
{{مفصلة|مضلع مماسي|رباعي مماسي}}
[[ملف:Tangential_trapezoid.svg|تصغير|[[شبه منحرف]] مماسي.]]
[[مضلع مماسي|المُضلَّع المماسي]] هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز {{إنج|Bicentric quadrilateral}} على أنه [[رباعي أضلاع مماسي|رباعي مماسي]] ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي {{إنج|Ex-bicentric quadrilateral}} هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.<ref name="Bryant">{{استشهاد|الأخير1=Bryant|الأول1=Victor|الأخير2=Duncan|الأول2=John|صحيفة={{Ill-WD2|المجلة الرياضياتية|id=Q7750656}}|صفحات=502–505|عنوان=Wheels within wheels|المجلد=94|العدد=November|سنة=2010}}.</ref><ref name="Josefsson2">{{استشهاد|الأخير=Josefsson|الأول=Martin|صحيفة=Forum Geometricorum|صفحات=65–82|عنوان=More Characterizations of Tangential Quadrilaterals|مسار= https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|المجلد=11|سنة=2011|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313045827/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}.</ref><ref name=":3" group="ِ"/>

يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع [[تنصيف|منصفات زواياه]] في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو <math>n</math> رأس هي <math>a_1, a_2, ..., a_n</math> ومساحته <math>K</math> و[[نصف محيط]]ه <math>s</math> فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:<ref>Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, ''Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images'', Mathematical Association of America, 2011, p. 125.</ref>
<nowiki/><math display="block">r=\frac{K}{s}=\frac{2K}{\sum_{i=1}^n a_i}</math>

== مبرهنات ==
[[ملف:Ptolemy_Theorem.svg|بديل=|تصغير|247x247px|تربط مبرهنة بطليموس بين أطوال أضلاع الرباعي الدائري وقُطريه.]]{{مفصلة|نظريات في هندسة الدائرة|مبرهنة بطليموس|خط أويلر|خط سيمسون|مبرهنة باسكال|مبرهنة فويرباخ|مبرهنة مونج|مبرهنة ميكيل}}
بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة{{انتقل|دائرة#خط القوة|اتجاه=أعلى}} وقوة النقطة{{انتقل|دائرة#قوة النقطة|اتجاه=أعلى}} اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة{{انتقل|دائرة#الزوايا|اتجاه=أعلى}}، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

=== مبرهنة بطليموس ===
[[مبرهنة بطليموس]] هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم [[علم الفلك|الفلك]] [[رياضيات|والرياضيات]] [[يونانيون|الإغريقي]] [[بطليموس]]. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه [[إذا وفقط إذا]] كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: <math>\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}</math>. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.<ref>[http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Ptolemy/Ptolemy.html Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem."] link verified 2009-04-08 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171215165516/http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Ptolemy/Ptolemy.html|date=15 ديسمبر 2017}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml
| عنوان = Sine, Cosine, and Ptolemy's Theorem
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180710231246/https://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml
| تاريخ أرشيف = 10 يوليو 2018
}}</ref><ref name=":3" group="ِ"/>

=== خط أويلر ===
[[ملف:Triangle.EulerLine.svg|تصغير|247x247px|يظهر '''مستقيم أويلر''' (بالأحمر) مارّاً [[ارتفاع (مثلث)|بملتقى الارتفاعات]] (بالأزرق)، ومركز [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] (بالأخضر)، وملتقى متوسطات المثلث (بالبرتقالي) ومركز دائرة النقاط التسع (بالأحمر).]]
[[خط أويلر]]، نسبةً إلى [[ليونهارت أويلر|ليونهارد أويلر]]، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ [[مثلث]]ِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة [[مركز مثلث|مراكز بارزة للمثلث]]. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث [[تسامت|تتسامت]]، وهي: ملتقى الارتفاعات <math>H</math>، ملتقى المتوسطات <math>G</math>، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع <math>O, N</math>. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|مؤلف=Euler, Leonhard|مؤلف-وصلة=Leonhard Euler|عنوان=Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum|صحيفة=Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae|المجلد=11|سنة=1767|صفحات=103–123|مسار=http://eulerarchive.maa.org//pages/E325.html|المعرف=E325|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20150411003643/https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html|تاريخ أرشيف=2015-04-11}}</ref>

=== خط سيمسون ===
[[خط سيمسون]] {{إنج|Simson line}} هو [[مستقيم (رياضيات)|مستقيمٌ]] يمُرّ [[تعامد (هندسة)|بمساقط]] [[نقطة (هندسة)|نقطةٍ]] مشتركةٍ مع مثلثٍ في [[دائرة محيطة|دائرته المحيطة]] على [[قطعة مستقيمة|أضلاعه]]. رياضياً: إذا كان <math>\triangle ABC</math> مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ <math>\Omega</math> والنّقطةُ <math>P</math> واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث <math>CA, AB, BC</math> هي <math>L, M, N</math> على الترتيب، فإنّ النقاط <math>L, M, N</math> هي نقاطٌ [[تسامت|متسامتةٌ]] ويُسمّى خطّها '''خط سيمسون'''. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها [[مثلث مساقط|مثلث المساقط]] إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.<ref>{{استشهاد بويب|مسار=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wallace/|عنوان=William Wallace (1768 - 1843)|تاريخ الوصول=2020-03-15|script-title=en| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181001054758/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Wallace.html | تاريخ أرشيف = 1 أكتوبر 2018}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Gibson_history_7/
| عنوان = Gibson History 7 - Robert Simson
| تاريخ = 2008-01-30
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20161009122009/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Gibson_history_7.html|تاريخ أرشيف=2016-10-09}}</ref><ref name="TZ">Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", ''Forum Geometricorum'' 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190214163308/http://forumgeom.fau.edu:80/FG2017volume17/FG201736.pdf|date=2019-02-14}}</ref>

=== مبرهنة باسكال ===
[[ملف:Pascaltheoremgenericwithlabels.svg|تصغير|250x250بك|خط باسكال {{تعبير رياضي|''GHK''}} للسداسي [[مضلع مركب|المُركّب]] {{تعبير رياضي|''ABCDEF''}} المحصور في شكلٍ بيضاويٍّ. الأضلاع المتقابلة للسداسي لها اللون ذاته.]]
في [[هندسة إسقاطية|الهندسةِ الإسقاطية]]، تنصُّ [[مبرهنة باسكال|مُبرهنةُ باسكال]] {{إنج|Pascal's theorem}} على أنَّ لأيّ ستِّ [[نقطة (توضيح)|نقاطٍ]] على [[قطع مخروطي|قطعٍ مخروطيٍّ]] (أي: [[قطع ناقص]]، [[قطع مكافئ|مكافئ]] أو [[قطع زائد|زائد]]) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل [[سداسي أضلاع|سداسياً]]، فإنَّ أزواجَ [[قطعة مستقيمة|الأضلاع]] المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ [[تسامت|تتسامتُ]] على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى [[بليز باسكال]]، وتصحُّ أيضاً في [[هندسة إقليدية|الهندسةِ الإقليدية]] إلا أن هناك حالة خاصة من أن [[تواز (هندسة)|تتوازى]] المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.<ref name=":06">{{استشهاد|الأخير=Biggs|الأول=N. L.|مؤلف-وصلة=Norman L. Biggs|doi=10.1112/blms/13.2.97|العدد=2|صحيفة=[[جمعية الرياضيات في لندن]]|mr=608093|صفحات=97–120|عنوان=T. P. Kirkman, mathematician|المجلد=13|سنة=1981}}</ref>

الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي <math>ABCDEF</math> تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:<ref name="orig2">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Pascal|1640}}, translation {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Smith|1959|p=326}}</ref><ref group="ملاحظة">الرمز <math>\cap</math> يُشير إلى «تقاطع».</ref>

<math display="block">H=AF \cap DC, G=AB\cap DE, K=AF\cap BC </math>.

كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:<ref name="orig2"/>

<math display="block">\frac{\overline{GB}}{\overline{GA}} \times \frac{\overline{HA}}{\overline{HF}} \times \frac{\overline{KF}}{\overline{KE}} \times\frac{\overline{GE}}{\overline{GD}} \times \frac{\overline{HD}}{\overline{HC}} \times \frac{\overline{KC}}{\overline{KB}}=1.</math>

=== مبرهنة مونج ===
[[ملف:Circ9pnt3.svg|بديل=|تصغير|255x255بك|'''مبرهنة فويرباخ''': دائرة النقاط التسع للمثلث تمس دوائره الماسّة جميعها. نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية هي نقطة فويرباخ.]]
تنصُّ [[مبرهنة مونج]] {{إنج|Monge's theorem}}، نسبةً إلى [[غاسبار مونج]]، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر{{انتقل|دائرة#التحاكي}} لها [[تسامت|متسامتة]].<ref name=":05">{{استشهاد بكتاب|الأخير=Graham|الأول=L. A.|عنوان=Ingenious Mathematical Problems and Methods|سنة=1959|ناشر=Dover|مكان=New York|isbn=0486205452|مسار=https://archive.org/details/ingeniousmathema0000grah|تاريخ الوصول=1 December 2012|التسجيل=registration| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200317100328/https://archive.org/details/ingeniousmathema0000grah | تاريخ أرشيف = 17 مارس 2020}}</ref> بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال [[مبرهنة ديزارغ]] وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.<ref name=":05"/>

=== مبرهنة فويرباخ ===
تنص [[مبرهنة فويرباخ]] {{إنج|Feuerbach's theorem}} على أنّ [[دائرة النقاط التسع|دائرةَ النقاط التسع]] [[مثلث|لمثلثٍ]] ما تمسُّ [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دوائرَه الخارجية والداخلية]]. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ'''.''' وتُعدُّ نقطة فويرباخ [[مركز مثلث|مركزاً للمثلث]]. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي [[ألمانيا|الألماني]] [[كارل فيلهم فون فويرباخ|كارل فويرباخ]] والذي نشر مبرهنته عام [[1822]]م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام [[مبرهنة كايزي]] التي نشرها [[جون كايزي]] عام [[1866]]م،<ref>{{استشهاد|الأخير=Casey|الأول=J.|مؤلف-وصلة=John Casey (mathematician)|صحيفة=Proceedings of the Royal Irish Academy|jstor=20488927|صفحات=396–423|عنوان=On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane|المجلد=9|سنة=1866}}. See in particular the bottom of p. 411.</ref> وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.<ref name="k94">{{استشهاد|الأخير=Kimberling|الأول=Clark|العدد=3|صحيفة=Mathematics Magazine|jstor=2690608|mr=1573021|صفحات=163–187|عنوان=Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle|المجلد=67|سنة=1994}}.</ref><ref name="etc">[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|date=April 19, 2012}}, accessed 2014-10-24.</ref>

=== مبرهنة ميكيل ===
[[مبرهنة ميكيل]] {{إنج|Miquel's theorem}} هي [[مبرهنة]] تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس [[مثلث]]ٍ ما.<ref>A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Ostermann|Wanner|2012|p=94}}</ref> ورياضياً: إذا كان <math>\triangle ABC</math> مثلثاً واختيرت النقاط <math>A', B', C'</math> على أضلاعه <math>CA, AB, BC</math> فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات <math>\triangle AB'C', \triangle A'BC', \triangle A'B'C</math> تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة <math>M</math> تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص [[رباعي دائري|الرباعيات الدائرية]] الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.<ref>{{استشهاد|الأول=Auguste|الأخير=Miquel|عنوان=Mémoire de Géométrie|صحيفة=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|المجلد=1|صفحات=485–487|سنة=1838|مسار=http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3|تاريخ الوصول=14 مارس 2020|تاريخ أرشيف=13 فبراير 2013|مسار أرشيف=https://archive.today/20130213095630/http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3|حالة المسار=dead}}</ref><ref name="Wells">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Wells|1991|p=184}} - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem</ref>
{| style="margin: 0 auto;"
|[[ملف:Pedal_Line.svg|بديل=|169x169بك]]
|[[ملف:Miquel_Circles.svg|بديل=|155x155بك]]
|[[ملف:Miquel's_Theorem_2.svg|بديل=|205x205بك]]
|-
|'''خط سيمسون''' <math>LN</math> (بالأحمر) للنقطة <math>P</math> بالنسبة للمثلث <math>\triangle ABC</math> يمُرُّ على النقاط <math>L, M, N</math>.
|'''مبرهنة ميكيل''': الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ <math>\triangle ABC</math>ونقاطٍ مشتركةٍ على أضلاعه <math>A', B', C'</math>، تُسمّى '''دوائرَ ميكيل''' وهي متلاقية في نقطةٍ ما <math>M</math>.
|تنص '''مبرهنة دوائر ميكيل الست''' على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ.
|-
|[[ملف:Miquelquad.svg|بديل=|244x244بك]]
|[[ملف:Miquel5.svg|بديل=|208x208بك]]
|[[ملف:Butterfly_theorem.svg|بديل=|206x206بك]]
|-
|'''مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام''': الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة.
|'''مبرهنة ميكيل على الخماسي'''.
|'''مبرهنةٌ الفراشة''': النقطة <math>M</math> هي منتصف <math>X, Y</math> حيث أنَّ الوترين <math>AB, CD</math> يمرّان بمنتصف <math>PQ</math>.
|}

=== مبرهنة كايزي ===
{{مفصلة|مبرهنة كايزي|مبرهنة الفراشة}}
[[ملف:Casey_new1a.svg|تصغير|تنصُّ مبرهنة كايزي على أنَّ:<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 </math>|216x216بك]]
[[مبرهنة كايزي]] {{إنج|Casey's theorem}} وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ [[مبرهنة بطليموس]] {{انتقل|دائرة#مبرهنة بطليموس|اتجاه=أعلى}}، هي مبرهنةٌ في [[هندسة إقليدية|الهندسة الإقليدية]] أسميت نسبةً إلى [[رياضيات|الرياضياتي]] [[جون كايزي]].<ref name="John">{{استشهاد بكتاب|الأول=Roger A.|الأخير=Johnson|عنوان=Modern Geometry|ناشر=Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry)|سنة=1929}}</ref> تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن <math>\,O</math> دائرةً شعاعها <math>\,R</math>. ولتكن <math>\,O_1, O_2, O_3, O_4</math> أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل <math>\,O</math>وتمسها على الترتيب. وليرمز <math>\,t_{ij}</math> إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين <math>\,O_i, O_j</math>، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:<ref name="Cas">{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير=Casey|الأول=J.|مؤلف-وصلة=John Casey (mathematician)|صحيفة=Proceedings of the Royal Irish Academy|jstor=20488927|صفحات=396–423|عنوان=On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane|المجلد=9|سنة=1866}}</ref>

: <math>\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.</math>

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.<ref name="John"/>

=== مبرهنة الفراشة ===
تنصُ [[مبرهنة الفراشة]] على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة <math>M</math> هي [[منتصف]] [[وتر (توضيح)|الوتر]] <math>PQ</math> في دائرة، وُرسم وتران آخران <math>AB, CD</math> يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان <math>AD, BC</math> يقطعان الوتر <math>PQ</math> في نقطتين متماثلتين <math>X, Y</math> حول <math>M</math>، أي أنَّ النقطة <math>M</math> هي منتصف القطعة المستقيمة <math>XY</math>.<ref name="Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929).</ref><ref>Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180424054000/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf|date=2018-04-24}}</ref>

== التحويلات الهندسية ==
{{مفصلة|تحاك|تعاكس}}
هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:

=== التحاكي ===
{| style="text-align:center; margin:auto auto;"
|'''مركز التشابه الخارجي لدائرتين'''
|'''مركز التشابه الداخلي لدائرتين'''
|-
|[[ملف:مماس خارجي.svg|لاإطار|279x279px]]
|[[ملف:InternalTangAR.svg|لاإطار|302x302px]]
|}
[[ملف:Kreise_streckzentrum.svg|بديل=|تصغير|مركزا التشابه الداخلي والخارجي هو نقطة يحدث عليها التحويل الهندسي لجميع النقاط على الدائرتين.]]
التحاكي {{إنج|Homothety}} هو تحويل هندسي ينقل الخطوط [[تواز (هندسة)|المُستقيمة المتوازية]] إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ [[متوسط موزون|بالمتوسط الموزون]] لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن <math>C_1=(x_1, y_1), C_2=(x_2, y_2)</math> مركَزَيْ الدائرتين و<math>r_1, r_2</math> هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي <math>(x_0, y_0)</math> يُحسَب عبر الصيغة:<ref name=":18">Kunkel, Paul (2007), "[http://whistleralley.com/tangents/bshmkunkel.pdf The tangency problem of Apollonius: three looks]" (PDF), BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 22 (1): 34–46, doi:10.1080/17498430601148911 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180324095110/http://whistleralley.com/tangents/bshmkunkel.pdf |date=24 مارس 2018}}</ref><ref>Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications.</ref>

<math display="block">(x_0, y_0) = \frac{r_2}{r_1 + r_2}(x_1, y_1) + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(x_2, y_2).</math>

بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي <math>(x_e, y_e)</math> بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.<ref name=":18"/>
[[ملف:Monge_theorem.svg|بديل=|تصغير|222x222بك|مبرهنة مونج: ملتقيات أزواج المستقيمات: الحمراء، الخضراء والزرقاء مُتسامتة (على الخط الأسود).]]
<math display="block">(x_e, y_e) = \frac{-r_2}{r_1 - r_2}(x_1, y_1) + \frac{r_1}{r_1 - r_2}(x_2, y_2).</math>كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ [[متوسط توافقي|لوسط شعاعيهما التوافقي]].<ref name=":18"/> تربط [[مبرهنة مونج]]{{انتقل|دائرة#مبرهنة مونج|اتجاه=أعلى}} بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها <math>1</math><ref group="ملاحظة">إشارةُ مركز التشابهِ هي كما سبق ذكره: موجبةٌ لمركز التشابه الخارجي، وسالبة لمركز التشابه الداخلي.</ref>، فإنّ هذه المراكز [[تسامت|متسامتة]].

=== التعاكس ===
[[ملف:Inversion_illustration1.svg|بديل=|تصغير|162x162بك|النقطة <math>P'</math> هي انعكاس النقطة <math>P</math> بالنسبة للدائرة ذات المركز <math>O</math>.]]
[[ملف:Inversion_in_circle.svg|بديل=|تصغير|169x169بك|إنشاء انعكاس لنقطة حول دائرة.]]
التعاكس {{إنج|Inversion}} هو [[تحليل هندسي|تحويل هندسي]] يعكِسُ كلَّ [[نقطة (هندسة)|نُقطةٍ]] على [[مستو (رياضيات)|المُستوى]] حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة <math>P</math> المُختلفة عن [[مركز (هندسة رياضية)|المركز]] حول الدائرة <math>C(O, r)</math> على أنه نُقطةٌ <math>P'</math> تقع على [[نصف مستقيم|الشّعاع]] <math>\overrightarrow{OP}</math> تُحقّق العلاقة: <math>OP \cdot OP' = r^2</math>. هُناك اختلاف حول صورة المركز <math>O</math>، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة <math>O</math> هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه [[نقطة في اللانهاية]]. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ <math>P</math> إلى صورتها <math>P'</math> أيضاً ينقل الصورة <math>P'</math> إلى الأصل <math>P</math>؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس [[دالة ارتدادية|دالةً ارتداديَّة]]، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.<ref name="مولد تلقائيا1">Coxeter, H. S. M. "Inversion in a Circle" and "Inversion of Lines and Circles." §6.1 and 6.3 in ''Introduction to Geometry, 2nd ed.'' New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.</ref><ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathworld.wolfram.com/Inversion.html
| عنوان = Inversion
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| تاريخ الوصول = 2020-03-11
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191229233727/http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html | تاريخ أرشيف = 29 ديسمبر 2019}}</ref><ref>Durell, C. V. "Inversion." Ch. 10 in ''Modern Geometry: The Straight Line and Circle.'' London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.</ref>
<gallery>
ملف:Inversion illustration2.svg| انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.
ملف:Inversion illustration3.svg|انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.
ملف:Inversion.gif|التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.
</gallery>ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على [[محيط منحنى مغلق|محيط الدائرة]] فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.<ref name="مولد تلقائيا1"/><ref name="مولد تلقائيا2"/>

== الهندسة التحليلية ==
{{مفصلة|دوال مثلثية|إحداثيات ديكارتية|إحداثيات قطبية|مستوى عقدي|تفاضل وتكامل}}

=== دائرة الوحدة والدوال المثلثية ===
[[ملف:Circle-trig6.svg|بديل=|تصغير|300 بك|رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر <math>AD</math> الذي يصنع زاوية <math>\theta</math> مع محور السينات في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: sin و cos و tan و [[ظل التمام|cot]] و[[قاطع (حساب المثلثات)|sec]] و[[قاطع التمام|csc]]، فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: [[سهم (حساب المثلثات)|cvs]] و[[قاطع خارجي|excsc]] و[[وتر دائرة#في حساب المثلثات|crd]] و[[قاطع خارجي|exsec]] و[[سهم (حساب المثلثات)|versin]] .]]
يمكنُ تعريفِ [[دوال مثلثية|الدوالِ المثلثيةِ]]: [[جيب (رياضيات)|الجيب]] و[[جيب التمام]] [[ظل (حساب المثلثات)|والظل]] ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ [[دائرة وحدة|'''بدائرة الوحدة''']].<ref group="ملاحظة">ويطلق عليها أيضاً اسمَ '''الدائرة المثلثية'''</ref> دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن [[دوال مثلثية#التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية|تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية]] للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ {{تعبير رياضي|0}} و<math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> [[راديان]] فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Trigonometry|مؤلف1=Coxford, Arthur|صفحات=8-12|مسار= https://archive.org/details/trigonometry00coxf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191121023841/https://archive.org/details/trigonometry00coxf|تاريخ أرشيف=2019-11-21}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://encyclopediaofmath.org/wiki/Trigonometric_functions
| عنوان = Trigonometric Functions
| تاريخ = 2011-02-07
| تاريخ الوصول = 2017-12-29
| الأول = V.I.
| الأخير = Bityutskov
| موقع = Encyclopedia of Mathematics
| لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171229231821/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Trigonometric_functions
| تاريخ أرشيف = 2017-12-29
| حالة المسار = live
}}</ref>

{{شريط جانبي حساب المثلثات}}

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ <math>\theta</math><ref group="ملاحظة">عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ <math>\theta> 0</math>، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ <math>\theta <0</math>.</ref> دائرةَ الوحدةِ في النقطة <math>A=(x, y)</math> فإنّ الدالةُ <math>\cos\theta</math> تُعرّف على أنها الإحداثي <math>x</math> والدالة <math>\sin\theta</math> هي الإحداثي <math>y</math> لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: <math>(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)</math>. وبرسم مماس من النقطة <math>(x, y)</math> يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين <math>E = (a, 0), F=(0 ,b)</math> على الترتيب، فإنَّ <math>a = \sec\theta, b = \csc\theta</math>.[[ملف:Sine_and_cosine_animation.gif|بديل=|تصغير|250x250بك|رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة]]
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في [[مجال فاصل (رياضيات)|الفترة]] <math>(0, \frac{\pi}{2})</math> باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة <math>OA = r</math> هو [[وتر (مثلث)|وترٌ للمثلث القائم]]. ولأنّ كل نقطة <math>P = (x_0,y_0)</math> على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ <math>x^2+y^2=1</math> من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم <math>\triangle OCA</math>. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات <math>x, y</math> يُنتِجُ [[متطابقة فيثاغورس المثلثية|متطابقة فيثاغورس]]: <math>\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>.<ref>{{استشهاد بكتاب|عنوان=Trigonometry|مؤلف1=Coxford, Arthur|صفحة=125|مسار= https://archive.org/details/trigonometry00coxf|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20191121023841/https://archive.org/details/trigonometry00coxf|تاريخ أرشيف=2019-11-21}}</ref><ref name=":52">{{استشهاد بويب
| مسار = https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/trig/
| عنوان = Clark University
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20171218054351/http://www2.clarku.edu/~djoyce/trig/
| تاريخ أرشيف = 18 ديسمبر 2017
}}</ref> وأخيراً فإنَّ المسافات <math>AF, AE</math> تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: <math>\cot{\theta}, \tan{\theta}</math> على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة <math>\triangle OAF, \triangle OAE, \triangle OEF</math>للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html
| عنوان = Circular Functions
| موقع = mathworld.wolfram.com
| لغة = en
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170403122941/http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html
| تاريخ أرشيف = 3 أبريل 2017
| تاريخ الوصول = 2020-03-01
| الأخير = Weisstein
| الأول = Eric W.
}}</ref>

:<math>\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.</math>

بما أنَّ دوراناً بزاوية <math>\pm 2\pi</math> لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط <math>F, A, E</math> ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ <math>2\pi</math>. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2 k \pi \right)</math> و<math> \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)</math> صالحةٌ لأي زاوية <math>\theta</math> ولأي عدد صحيح <math>k</math>. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

=== الإحداثيات الديكارتية ===
[[ملف:Circle center a b radius r.svg|تصغير|دائرة شعاعها <math>r=1</math>، ومركزها <math>(a, b)</math> مساوٍ إلى <math>(1.2, -0.5)</math>.]]

في [[نظام إحداثيات ديكارتية|النظام الإحداثي الديكارتي]]، إذا كانت النقطة <math>(a, b)</math> مركزاً لدائرةٍ <math>C(a, b)</math> نصف قطرها <math>r</math>، والنُّقطةُ <math>(x, y)</math> مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين <math>C, P</math> هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى <math>r</math>، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:<ref name=":2" group="ِ"/>

:<math display="block">
\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2
</math>

تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من [[مبرهنة فيثاغورس]] عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر <math>r</math>. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان <math>x-a</math> و<math>y-b</math> طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.

كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل <math>(0,0)</math> تُصبح المُعادلة بتعويض قيم <math>a, b</math>: كالآتي<ref name=":2" group="ِ"/><math display="block">x^2 + y^2 = r^2\!\ </math>وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل [[معادلة وسيطية]]<ref group="ملاحظة">ويُطلق عليها اسم «معادلة بارامترية» أيضاً {{إنج|Parametric equation}}.</ref> {{إنج|Parametric equation}} باستعمال [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]]: [[جيب (رياضيات)|جيب]] و[[جيب التمام|جيب تمام]] على الشكل الآتي:<math display="block">x = a+r\,\cos t,\,</math><math display="block">y = b+r\,\sin t\,</math>حيث أن <math>t</math> هو [[وسيط (رياضيات)|وَسِيطٌ]] {{إنج|Parameter}} تتغيرُ قيمتُه بين العددين <math>0</math> و <math>2\pi</math>. هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين <math>(a, b)</math> و <math>(x, y)</math> مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:

:<math display="block">x = a + r \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}\,</math><math display="block">y = b + r \cdot \frac{2t}{1+t^2}</math>

إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: <math>
\left(x - a \right)^2 + \left( y - r \right)^2=r^2
</math>. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: <math>
\left(x - r \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2
</math>.<ref name=":2" group="ِ"/>

كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان <math>AB</math> قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين <math>A, B</math> هي <math>A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)</math> بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة <math>P(x, y)</math> على مُحيط الدائرة وبما أن <math>AB</math> قُطر في الدائرة، فإن <math>m\widehat{{\displaystyle APB}}=\frac{1}{2}\cdot 180 =90</math> وعليه فإن <math>AP\perp PB</math>، ليكن ميل المستقيمين <math>m_1, m_2</math> هما على الترتيب، حيث:<ref name=":2" group="ِ"/>

<math display="block">m_1=\frac{y-y_1}{x-x_1}, m_2=\frac{y-y_2}{x-x_2}</math>ولِكَوْن <math>AP\perp PB</math> فإن <math>m_1m_2=-1</math> وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:<ref name=":2" group="ِ"/><math display="block">(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0</math>إذا كانت <math>P = (x_1, y_1)</math> نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها <math>r</math> على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:<math display="block">(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2.\!\ </math>
==== صيغة الثلاث نقاط ====
بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: <math>(x_1,y_1), (x_2,y_2),(x_3,y_3)</math>عبر المعادلة الآتية:<math display="block">\frac{({\color{green}x}-x_1)({\color{green}x}-x_2)+({\color{red}y}-y_1)({\color{red}y}-y_2)}
             {({\color{red}y}-y_1)({\color{green}x}-x_2)-({\color{red}y}-y_2)({\color{green}x}-x_1)}=
        \frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}
             {(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}</math>

يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً [[مصفوفة (رياضيات)|بالمصفوفة الصفرية]] الآتية أيضاً:<ref name=":4"/><math display="block">\begin{bmatrix}
 x^2+y^2 &x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1& y_1& 1 \\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2 &1 \\ x_3^2+y_3^2 &x_3& y_3& 1
\end{bmatrix}=0</math>وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:<ref name=":4"/>
{{وسط|<math>ax^2+cy^2+dx+ey+f=0</math>}}حيثُ أنَّ <math>c = a</math> وَ:

<math display="block">\begin{align}
a	=\begin{bmatrix}x_1& y_1& 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{bmatrix}
\\
d	=- \begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2&y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2&y_3&1\end{bmatrix}
\\
e	=\begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2&x_1&1 \\ x_2^2+y_2^2&x_2&1 \\ x_3^2+y_3^2&x_3&1\end{bmatrix}
\\
f	=- \begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2&x_1&y_1 \\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2 \\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3\end{bmatrix}
\end{align}</math>وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة: <math>(x_0,y_0)=(-\tfrac{d}{2a},-\tfrac{e}{2a})</math> ونصف قطرها:<ref name=":4"/>

<math display="block">r=\sqrt{\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}}</math>

=== الإحداثيات القطبية ===
[[ملف:Examples_of_Polar_Coordinates.svg|بديل=|تصغير|على خلافِ الإحداثيات الديكارتية، تعتمد الإحداثياتُ القطبية على مُدخلَين: زاويةٌ وشعاع دائرة المركز.]]
في [[نظام الإحداثيات القطبية|النظام الإحداثي القطبي]]، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها <math>r</math> ومركزها عن النقطة <math>R(a_1,\theta_1)</math> يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث <math>\triangle ORP</math>، حيث أنَّ النقطةَ <math>P(a, \theta)</math> تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:<ref name=":2" group="ِ"/>

:<math display="block">a^2 +a_1^2 - 2 a a_1 \cos(\theta - \theta_1) = r^2</math>

حيث أنّ <math>(r, \theta)</math> هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و <math>(r_0, \phi)</math> هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة <math>(r,0^0)</math> فإن <math>\theta_1=0^0</math> وَ <math>a_1=r</math> وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: <math>a=2r\cos \theta</math>.<ref name=":2" group="ِ"/> وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة <math>(r,\frac{\pi}{2})</math> تأخذ المعادلة الصورة: <math>a=2r\sin \theta</math>.<ref name=":2" group="ِ"/>

=== المستوى العَقَدي ===
[[ملف:One5Root.svg|بديل=|تصغير|الجذور الخماسية للعدد 1 في [[مستو مركب|المستوى العقدي]]، جميعها تقع على دائرة الوحدة المركبة.]]
في [[مستو مركب|المستوى العقدي]]، الدائرة ذات المركز <math>c</math> ونصف قطر <math>r</math> تُمَثَّلُ بالمعادلةِ <math>|z-c|^2 = r^2\,</math>. وقد تُكتب أيضاً على [[معادلة وسيطية|الصورة الوسيطية]] الآتية: <math>z = re^{it}+c</math>. تُستخدم [[جذور الوحدة (رياضيات)|جذور الوحدة]] أو أعداد [[صيغة دي موافر|دي موافر]] أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو [[عدد مركب|عدد عقدي]] يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة <math>n</math> ينتج واحداً.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133747
| عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع zthiztegia.elhuyar.eus
| ناشر = zthiztegia.elhuyar.eus
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191216092651/https://zthiztegia.elhuyar.eus/kontzeptua/133747
| تاريخ أرشيف = 2019-12-16
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/RootofUnity.html
| عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع mathworld.wolfram.com
| ناشر = mathworld.wolfram.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20181003093518/http://mathworld.wolfram.com:80/RootofUnity.html
| تاريخ أرشيف = 3 أكتوبر 2018
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://brilliant.org/wiki/roots-of-unity/
| عنوان = معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع brilliant.org
| ناشر = brilliant.org
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190114063501/https://brilliant.org/wiki/roots-of-unity/
| تاريخ أرشيف = 14 يناير 2019
}}</ref> تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في [[نظرية الأعداد]] و[[نظرية الزمر|حروف الزمر]] [[حقل (رياضيات)|ونظرية الحقول]] [[تحويل فورييه المتقطع|وتحويل فوريي المنقطع]].

=== التفاضل والتكامل ===
في الدائرة ذات القطر <math>d</math> والشعاع <math>r</math>، يكون مُحيطها <math>C</math>:<ref name=":4"/>

<math display="block">C= \pi d = 2 \pi r</math>
[[ملف:Archimedes_pi.svg|يسار|تصغير|250x250بك|استخدم [[أرخميدس]] [[طريقة استنفاد|طريقة الاستنفاد]] لتقدير قيمة [[باي (توضيح)|الباي]].]]
بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة باستعمال صيغة [[طول قوس|طول القوس]] بالإحداثيات القطبية في [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]]:<ref name=":4"/>

<math display="block">C=\int_0^{2 \pi} {\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}} d \theta=\int_0^{2\pi} {r} d \theta = 2 \pi r</math>استعمل أرخميدس طريقةَ استنفادٍ لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرةَ إلى أربعةِ قطاعاتٍ مُتساوية، ثمَّ أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعاتٍ مُتساويةٍ مُجدداً، واستمرَّ في ذلك إلى أن وصل إلى شكلٍ مُشابهٍ [[متوازي أضلاع رباعي|لمتوازي الأضلاع]]:<ref name=":4"/>

{|style="text-align:center; margin:auto auto;"
|+'''طريقة الاستنفاد التي استعملها أرخميدس لتقدير مساحة الدائرة'''
!خطوة1
!خطوة2
!خطوة3
|-
|[[ملف:دایره بر چهار قطاع تقسیم شده.jpg|لاإطار|130x130بك]]

|[[ملف:دایره بر چهار قطاع تقسیم شده مرحله 2.jpg|لاإطار]]

|[[ملف:دایره بر هشت قطاع تقسیم شده .jpg|لاإطار]]

|-
| colspan="3" |'''النتيجة النهائية (قبل وبعد)'''
|-
| colspan="3" |[[ملف:CircleArea.svg|لاإطار]]
|}

بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض أن الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. وعلى ذلكَ فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساويةً لمساحةِ مُتوازي الأضلاع، والتي يُمكنُ حسابها بقانون المساحة الخاص بمتوازي الأضلاع: وهو جداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المُحيط (<math>2\pi r</math>) بينما ارتفاعه هو <math>r</math>. وعلى ذلك تُصبح المساحة الكلية <math>A=\pi r^2</math>. حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثرَ رسميةٍ في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:<ref name=":4"/>

<math display="block">A=\int_0^{2\pi}{d\theta} \int_0^r r dr=(2\pi)\left(\frac{1}{2} r^2\right)=\pi r^2</math>

== في الأبعاد الأخرى ==
{{مفصلة|كرة|أسطوانة (هندسة)|هايبرسفير}}[[ملف:Hypersphere.png|تصغير|إسقاط ثلاثي الأبعاد للهايبرسفير، إحدى الأشكال في البعد الرابع.|164x164بك]]
=== الكرة ===
'''الكرة''' أو '''الفلكة''' هي سطح [[هندسة رياضية|هندسي]] [[سطح تربيعي|ثنائي]] تام [[تناظر|التناظر]]، ينتج عن دوران دائرة حول أحد [[قطر (هندسة)|أقطارها]].<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://babelnet.org/synset?word=bn:00073310n
| عنوان = معلومات عن كرة على موقع babelnet.org
| ناشر = babelnet.org
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191213014300/https://babelnet.org/synset?word=bn:00073310n
| تاريخ أرشيف = 2019-12-13
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.britannica.com/science/sphere
| عنوان = معلومات عن كرة على موقع britannica.com
| ناشر = britannica.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20170402190615/https://www.britannica.com/topic/sphere
| تاريخ أرشيف = 2 أبريل 2017
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.jstor.org/topic/spheres
| عنوان = معلومات عن كرة على موقع jstor.org
| ناشر = jstor.org
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190526042208/https://www.jstor.org/topic/spheres/
| تاريخ أرشيف = 26 مايو 2019
}}</ref> تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو [[كرة|الكرة]]، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.

إذا قطع المستوى <math>ax + by + cz + d = 0</math> الكرةَ <math>x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0</math>، فانَّ المقطع الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المقطع. تكون دائرة المقطع أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المقطع دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.<ref name=":5" group="ِ">[http://repository.sustech.edu/handle/123456789/22476 العلاقة التكاملية بين التكوينات الرمزية والأبعاد الرياضية الهندسية للدائرة في الفن التشكيلي، جبريل, جمال الدين محجوب الجاك; مشرف, -سليمان يحي محمد] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200311200819/http://repository.sustech.edu/handle/123456789/22476 |date=11 مارس 2020}}</ref>

=== الأُسطوانة ===
هي مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه أيضاً على أنه مجسم يتشكل [[سطح]]ه من جميع النقاط التي تبعد [[مسافة]] معينة عن [[قطعة مستقيمة]] معطاة.<ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Albert|2016|loc=p. 43}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/CylindricSection.html
| عنوان = MathWorld: Cylindric section
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180115043326/http://mathworld.wolfram.com/CylindricSection.html
| تاريخ أرشيف = 15 يناير 2018
}}</ref><ref>{{استشهاد|الأول1=H.E.|الأخير1=Slaught|الأول2=N.J.|الأخير2=Lennes|عنوان=Solid Geometry with Problems and Applications|طبعة=Revised|سنة=1919|ناشر=Allyn and Bacon|مسار=http://www.gutenberg.org/files/29807/29807-pdf.pdf|صفحات=79-81|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20190927181945/http://www.gutenberg.org/files/29807/29807-pdf.pdf|تاريخ أرشيف=27 سبتمبر 2019}}</ref>

=== الكرة الفائقة ===
في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]] [[بعد|متعددة الأبعاد]]، '''الهايبرسفير''' أو '''الكرة الفائقة''' {{إنج|Hypersphere}} هي مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى [[مركز (هندسة رياضية)|المركز]]. تُعد الهايبرسفير [[متعدد شعب|متعددة الشعب.]] ومع زيادة نصف قطرها، يزداد [[انحناء|انحناؤها]]. [[مستو فائق|المستويات الفائقة]] والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.<ref>[[دنكان سومرفيل]] (1914) [[iarchive:ElementsOfNonEuclideanGeometry/page/n105|Elements of Non-Euclidean Geometry]], page 193 via [[أرشيف الإنترنت]]</ref>
== إنشاءات المسطرة والفرجار ==
[[ملف:Standardgraph 1316 circle stencil.jpg|تصغير|تُستخدَم حواف [[روسم|المرسام]] لرسم الدوائرَ الصغيرة أو طلائها بالبخاخ والدهان على الجدران.|150x150px|بديل=]]{{مفصلة|إنشاء بمسطرة وفرجار|فرجار|مرسام}}[[ملف:IMB DQj3Fs.gif|تصغير|يُستخدم [[فرجار|الفرجار]] في الرسومات الهندسية الدقيقة للدوائرَ، وأخذ قياسات الأضلاع ومطابقتها.|195x195px|بديل=يُعدَّ]] [[فرجار|الفرجار]] من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أو أقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هو أداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من [[لدائن|بلاستيك]] أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أو حِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أو الإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.historyofpencils.com/drawing-tools/drawing-compass/
| عنوان = Drawing Compass - History, Use and Types
| تاريخ الوصول = 2020-03-07
| موقع = www.historyofpencils.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190824003150/http://www.historyofpencils.com:80/drawing-tools/drawing-compass/
| تاريخ أرشيف = 2019-08-24
}}</ref>

الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».<ref name=":5"/><ref name=":6"/> [[تربيع الدائرة]]، [[تثليث زاوية|تثليث الزاوية]] و[[مضاعفة المكعب|مضاعفة المُكعَّب]] كانت من أبرز [[مسألة رياضية|المسائل الرياضية]] والمواضيع التي حاول فيها [[عالم رياضيات|الرياضيون]] على مر التاريخ. إلى أن أثبت [[بيير فانتزل|بيير وانتزل]] و[[فيردينوند فون ليندمان]] استحالة تِلكُمُ المسائل.<ref name=":7"/>

القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:
* إنشاء عمود منصف لقطعةٍ مُستقيمةٍ: بافتراض أنَّ <math>\overline{AB}</math> قطعة مستقيمة، ارسم الدائرتين <math>C(A, \overline{AB}), C(B, \overline{AB})</math> وافترض أنهما يتقاطعان في <math>X, Y</math>. إنَّ <math>XY</math> هُو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة <math>\overline{AB}</math>.<ref name=":5" group="ِ"/>
* إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية <math>\angle ABC</math> كالآتي:<ref name=":5" group="ِ"/>
# أنشئ الدائرة <math>C(B, r)</math> وافترض أنها تقطع شعاعا الزاوية <math>\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}</math> في <math>A', C'</math> على الترتيب.
# ارسم الدائرتين <math>C(A', r), C(C', r)</math> بأيِّ نصفِ قُطرٍ <math>r</math>، وافترض أن إحدى نقطتي تقاطعهما هي <math>T</math>.
# إن منصفَ الزاويةِ <math>\angle ABC</math> هو <math>BT</math>.
# لإنشاء [[تنصيف|المنصف الخارجي للزاوية]]، طبق الخطوات السابقة لكن مع أخذ الشعاعين: <math>\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CB}</math>.

{|style="margin: auto auto; text-align:center;"
!إنشاء عمود منصف
!إنشاء منصف زاوية
!إنشاء سداسي منتظم
!إنشاء مربع
|-
|[[ملف:Perpendicular Bisector.gif|مركز|لاإطار]]
|[[ملف:Bisection construction.gif|مركز|لاإطار|رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية.]]
|[[ملف:Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif|بديل=|مركز|لاإطار|رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية.]]
|[[ملف:Straight Square Inscribed in a Circle.gif|بديل=|مركز|لاإطار|رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية.]]
|}
* إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن <math>A</math>، <math>B</math>، <math>C</math> ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين <math>AB</math> وَ<math>BC</math> غير متوازيين لانعدام [[تسامت|تَسامُتِ النقاط]]؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي <math>O</math>، وبما أن <math>OA=OB=OC</math> فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها <math>O</math>. بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.<ref name=":34" group="ِ"/><ref name=":5" group="ِ"/>[[ملف:Régua e compasso.jpg|تصغير|إنشاءات المسطرة والفرجار هي التي ميّزت الهندسةَ الإقليدية. ولهذا كانت تُسمّى: {{"|هندسة المسطرة والفرجار}}.]]
* إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت <math>C(O, r)</math> دائرةً، و<math>P</math> نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة <math>P</math> إلى الدائرة يكون كالآتي:<ref name=":5" group="ِ"/>
# صِلْ <math>OP</math> ولتكن <math>M</math> نقطة تقاطعه مع الدائرة.
# خُذ نقطة منتصف <math>OM</math> ولتكن <math>N</math>.
# ارسم الدائرة <math>\Omega</math> التي قطرها <math>\overline{OM}</math> أو بترميز الدائرة: <math>C(N, \frac{|\overline{OM}|}{2})</math>.
# تقاطع الدائرة <math>\Omega</math> مع الدائرة الأصلية <math>C(O, r)</math> هما نقطتا تماس النقطة <math>P</math> مع الدائرة <math>C(O, r)</math>.
* إنشاء المماس المشترك الداخلي لدائرتين: لتكن <math>A, B</math> دائرتين معلومتين مركزاهما <math>O_1, O_2</math> على الترتيب. إنشاء المماس المشترك لهما من الداخل، يكون كالآتي:<ref name=":5" group="ِ"/>
# صِل <math>O_1O_2</math> وارسم الدائرة ذات القطر <math>O_1O_2</math> ولتكن <math>\Gamma</math>.
# ارسم الدائرتين <math>C(O_1, \overline{O_1O_2}), C(O_2, \overline{O_1O_2})</math> وافرض أن نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة <math>\Gamma</math> هما <math>C, D</math> على الترتيب.
# صل <math>O_1C, O_2D</math> وليقطعا الدائرتين <math>A, B</math> في <math>E, F</math> على الترتيب.
# كرِّر العملية مع نصف الدائرة <math>\Gamma</math> الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي <math>E', F'</math>.
# المستقيمان <math>EE', FF'</math> هما مماسان مشتركان داخليان للدائرتين الأصليتين <math>A, B</math>.

=== إنشاءات مستحيلة ===
{{مفصلة|تربيع دائرة|تثليث زاوية|مضاعفة المكعب}}{{صور متتابعة|رصف=يسار|صورة1=Squaring the circle.svg|بدل2=|عرض2=160|صورة2=Cube and doubled cube.svg|تعليق1=
مسألة تربيع الدائرة تبحث حول إنشاءٍ بالمسطرة والفرجار لمربّعٍ ذي مساحةٍ تُساوي مساحة الدائرة المُعطاة.
|بدل1=|عرض1=140|عرض=|اتجاه=horizontal|خلفية_ذيل=|رصف_ذيل=يسار|ذيل=|خلفية_رأس=|رصف_رأس=يسار|رأس=|تعليق2=
مُكعّبُ وحدةٍ (بضلعٍ = 1) ومكعّبٌ آخر ذو ضعف حجمهِ (ضلعه = <math>\sqrt[3]{2}</math>).
}}
==== تربيع الدائرة ====
[[تربيع الدائرة|تربيع دائرة]] هي معضلةٌ وضعَها علماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة [[إنشاء بمسطرة وفرجار|الفرجار والمسطرة]]. في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة ل[[مبرهنة ليندمان-فايرشتراس]] التي تُبرهن على أن <math>\pi</math> [[عدد متسام]] بدلا من أن يكون مجرد [[عدد جبري|عدد جبري غير كسري]] (عدد جبري هو عدد يكون [[جذر دالة|جذرا]] [[متعددة الحدود|لمتعددة حدود]] عواملها كلها [[عدد كسري|أعداد كسرية]]).<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.dictionary.com/browse/square--the--circle
| عنوان = Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms
| ناشر = Houghton Mifflin Company
| تاريخ الوصول = 16 April 2012
| الأخير = Ammer
| الأول = Christine
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20150909232122/http://dictionary.reference.com/browse/square%20the%20circle|تاريخ أرشيف=2015-09-09}}</ref>

==== مضاعفة المكعب ====
عُرفت مسألة [[مضاعفة المكعب]] في العديد من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|الأخير1=Guilbeau|الأول1=Lucye|سنة=1930|عنوان=The History of the Solution of the Cubic Equation|صحيفة=Mathematics News Letter|المجلد=5|العدد=4|صفحات=8–12|doi=10.2307/3027812|jstor=3027812}}</ref><ref>It shows up in Plato's ''[[الجمهورية (أفلاطون)|الجمهورية]]'' ({{حوالي|380 BC}}) VII.530</ref> تتمثل المسألة في تحويل أي [[مكعب|مُكعّبٍ]] مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع<math>s</math> والحجم <math>V</math>، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم <math>2V</math>. أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد <math>s\cdot\sqrt[3]{2}</math>. أثبت استحالة عمل ذلك [[إنشاء بمسطرة وفرجار|بإنشاءات الفرجار والمسطرة]] بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله <math>\sqrt[3]{2}</math> بالمسطرة والفرجار.<ref>Lucye Guilbeau (1930). "The History of the Solution of the Cubic Equation", ''Mathematics News Letter'' '''5''' (4), p. 8-12.</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Stewart|الأول1=Ian|عنوان=Galois Theory|صفحة=75}}</ref>

==== تثليث الزاوية ====
مسألة [[تثليث زاوية|تثليث الزاوية]] تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم 3 مستقيمات تقسم الزاوية إلى 3 زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://www.britannica.com/science/trisecting-the-angle
| عنوان = معلومات عن تثليث زاوية على موقع britannica.com
| ناشر = britannica.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20150905205729/http://www.britannica.com/topic/trisecting-the-angle
| تاريخ أرشيف = 5 سبتمبر 2015
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html
| عنوان = معلومات عن تثليث زاوية على موقع mathworld.wolfram.com
| ناشر = mathworld.wolfram.com
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190709195333/http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html
| تاريخ أرشيف = 9 يوليو 2019
}}</ref><ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://id.loc.gov/authorities/sh85137916
| عنوان = معلومات عن تثليث زاوية على موقع id.loc.gov
| ناشر = id.loc.gov
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191214193013/https://id.loc.gov/authorities/sh85137916
| تاريخ أرشيف = 2019-12-14
}}</ref>

== التاريخ ==
[[ملف:God_the_Geometer.jpg|تصغير|300 بك|يرجع تاريخُ هذه الأيقونةِ إلى [[القرن 13|القرن الثالث عشر الميلادي]]، وهي تمثل [[يسوع]]، وفقاً [[المسيحية|للمعتقد المسيحي]]، وهو يُخلق العالم باستعمال فرجار في إدارة، أي: نظام الكون. وتظهرُ ما تُسمَّى بـ«هالة القداسة» دائريَّة الشكل.]]
عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء [[العصور الوسطى|القرون الوسطى]]، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».<ref>[[آرثر كوستلر]], ''[[The Sleepwalkers]]: A History of Man's Changing Vision of the Universe'' (1959)</ref><ref>[[برقلس]], [https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ ''The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato''] Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato" {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170313151504/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ|date=13 مارس 2017}}</ref> تُلخًّصُ النقاطُ الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:
* في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π وهي 256 / 81 (أي 3.16049...).<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Chronology/1/#1700BC
| عنوان = Chronology for 30000BC to 500BC
| تاريخ الوصول = 2017-08-14
| موقع = www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20180123083234/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk:80/history/Chronology/30000BC_500BC.html
| تاريخ أرشيف = 23 يناير 2018
}}</ref>
* في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب [[الأصول (كتاب)|أصول أقليدس]] عن خصائص الدوائرَ.
* في الرسالة السابعة [[أفلاطون|لأفلاطون]]، وُجِدَ تعريفٌ وشرحٌ للدائرةِ.
* في عام 1880، أثبت [[فيردينوند فون ليندمان]] أن [[ط (رياضيات)|<math>\pi</math>]] [[عدد متسام]]، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في [[تربيع الدائرة]].<ref>[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Squaring_the_circle/ Squaring the circle]. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170520153447/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html|date=20 مايو 2017}}</ref>

=== المصريون القدماء ===
{{صور متتابعة|رصف=يسار|صورة1=Problème-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg|بدل2=|عرض2=160|صورة2=Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|تعليق1=
تقدير لمساحة الدائرة في بردية بيبرس، الشّكل المرسوم في البرديّة أعلاه هو ثماني غير منتظم.
|بدل1=|عرض1=140|عرض=|اتجاه=horizontal|خلفية_ذيل=|رصف_ذيل=يسار|ذيل=|خلفية_رأس=|رصف_رأس=يسار|رأس=|تعليق2=
بردية ريند الرياضية التي وُجد عليها حسابات تقدير الدائرة.
}}إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق.<ref name=":03">Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, [[Spezial:ISBN Suche/3540679243|ISBN 3-540-67924-3]].</ref> ففي [[ألفية 2 ق.م|الألفية الثانية قبل الميلاد]]، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، و[[تقدير|قدّروا]] مساحة الدائرة، عن طريق [[مربع (جبر)|تربيع]] ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:<math display="block">A \approx \left(\frac{8}{9} d \right)^2 = \frac{256}{81} r^2 = 3{,}16049\dotso\cdot r^2</math>

نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في [[بردية ريند الرياضية|بردية ريند الرّياضيّة]]، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.<ref name=":03"/>

=== البابليون ===
استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة.<ref ""="" group="ملاحظة">وهو في الواقع <math>\pi</math> ضعف طول القطر أي ما يُساوي تقريباً 3.14 ضعف طول القطر، وهو تقدير قريب نوعاً ما نسبةً إلى ذلك الزّمن.</ref> بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:<ref name=":03"/>

<math display="block">A \approx \frac{1}{12} U^2 \approx \frac{9}{12} d^2 = 3 r^2,</math>

بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ [[أبرخش|هيبارخوس]]. ووضع [[بطليموس|بطليموس كلوديوس]] أساساتها في كتابه الفلكي «[[المجسطي]]».<ref name=":03"/>

=== الإغريق ===
يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

==== طالس ====
يُعتبر [[طاليس|طالس]] (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص [[مبرهنة|المبرهنة]] المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.<ref name=":03"/>

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي [[أفلاطون]] (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره ''[[بارمينيدس|بارمنيدس]]:''<ref name=":14">Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.</ref>{{اقتباس|الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.|[[أفلاطون]]|[[بارمينيدس|بارمنيدس]]}}

==== إقليدس ====
{{صور متتابعة|رصف=يسار|صورة1=Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|بدل2=|عرض2=160|صورة2=P. Oxy. I 29.jpg|تعليق1=
غلاف كتاب العناصر المُترجم إلى الإنجليزيّة سنة 1570م.
|بدل1=|عرض1=140|عرض=|اتجاه=horizontal|خلفية_ذيل=|رصف_ذيل=يسار|ذيل=|خلفية_رأس=|رصف_رأس=يسار|رأس=|تعليق2=
أقدم مخطوطة لكتاب إقليدس العناصر باللغة اليونانية (حوالي 100 قبل الميلاد)، عثر عليها في منطقة البهنسا الأثرية، وهي من الجزء الثاني من الكتاب.
}}لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه [[الأصول (كتاب)|العناصر]]. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:<ref name=":9">{{استشهاد بكتاب|مسار= https://books.google.com.sa/books?id=ekveBFrbznoC&printsec=frontcover&dq=Euclid's+Elements&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiI8Mrum9fVAhXL0xoKHefZD_IQ6AEIMTAC#v=onepage&q=Euclid's%20Elements&f=false|عنوان=The Thirteen Books of the Elements|تاريخ=2013-05-09|ناشر=Courier Corporation|ISBN=9780486157290|لغة=en|الأخير=Euclid|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200307083722/https://books.google.com.sa/books?id=ekveBFrbznoC&printsec=frontcover&dq=Euclid's+Elements&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiI8Mrum9fVAhXL0xoKHefZD_IQ6AEIMTAC#v=onepage&q=Euclid's%20Elements&f=false|تاريخ أرشيف=2020-03-07}}</ref><ref name=":03"/>{{اقتباس|الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً.|[[إقليدس]]|[[الأصول (كتاب)|كتاب العناصر]]}}كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

==== أرخميدس ====

أثبت أرخميدس في دراساته «''كرسيمس»'' أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.<ref name="Archimedes2">بالإنجليزية: {{Ill-WD2|Thomas Little Heath|id=Q7790550}}: ''The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters.'' University press, Cambridge 1897. ''Kreismessung:'' S. 91  ff., ''Über Spiralen:'' S. 151 ff., [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABW0362.0001.001 (Digitalisat).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161107123315/http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABW0362.0001.001|date=7 نوفمبر 2016}}</ref> وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي ورقته ''قياس الدّائرة'' حصر أرخميدس قيمة <math>\pi</math> برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: <math>3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac{1}{7}</math>. ومن المتباينة<math>\pi<3\tfrac{1}{7}</math> يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن <math>\pi\thickapprox\tfrac{22}{7}=3.1428...</math>. ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى <math>\tfrac{11}{14}</math>. وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.<ref name=":0" group="ِ">[[الأصول (كتاب)|كتاب الأصول]] [https://www.wdl.org/ar/item/10666/ لإقليدس، ترجمة: الطوسي]، نصير الدين محمد بن محمد، 1201-1274 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190323091857/https://www.wdl.org/ar/item/10666/ |date=23 مارس 2019}}</ref><ref name=":14"/> وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

في عمل آخر لأرخميدس «''على اللوالب»''<ref name="Archimedes2"/> وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.<ref>Siehe Gericke: ''Antike und Orient.'' S. 120 ff.</ref>

==== أبولونيوس ====
{{صور متتابعة|رصف=يسار|صورة1=Conica of Apollonius of Perga fol. 162b and 164a.jpg|بدل2=|عرض2=160|صورة2=Apollonius problem typical solution.svg|تعليق1=
صفحة مترجمة من «كتاب أبلونيوس في المخروطات»، نُقلت إلى العربية في القرن التاسع بعد الميلاد.
|بدل1=|عرض1=140|عرض=|اتجاه=horizontal|خلفية_ذيل=|رصف_ذيل=يسار|ذيل=|خلفية_رأس=|رصف_رأس=يسار|رأس=|تعليق2=
حلٌّ (بالوردي) لمسألة أبولونيوس، تمسُّ الدائرةُ الورديةُ الدوائر المعطاة مُلّونة بالأسودِ.
}}فصّل [[أبلونيوس البرغاوي|أبولونيوس البرغاوي]] (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «''كونيكي''» أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.<ref name=":03"/>

قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في [[العالم الإسلامي]]. في [[أوروبا الغربية|أوروبا الغربيّة]]، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال [[القرن 17|القرن السابع عشر الميلادي]]، عندما لاحظ [[يوهانس كبلر|يوهانز كيبلر]] أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.<ref name=":03"/>

=== العصور الوسطى ===
[[ملف:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|تصغير|300بك|يمين|مخطوطةٌ لترجمةٍ عربيةٍ من «كتاب أبلونيوس في المخروطات».]]
[[ملف:Shatir500.jpg|تصغير|300بك|مخطوطة عربية تظهرُ فيها رُسومٌ فلكية تأخذُ مداراتٍ دائريةً.]]
أثناء حكم [[عبد الله المأمون|المأمون]] في [[خراسان الكبرى|خراسان]] ([[قرن 3 هـ|القرن الثالث للهجرة]])، ترجم [[بنو موسى]] «كتاب أبلونيوس في المخروطات» من اليونانية إلى العربية. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الكتب، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد واجهوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في [[المشرق (الشرق الأدنى)|المشرق]] نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول 4 فصول من كتاب أبلونيوس في المخروطات إلى [[هلال الحمصي|هلال حمصي]]، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى [[ثابت بن قرة]]. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی|مسار= https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/1016813/مطالعه-مقاطع-مخروطی-در-دوره-اسلامی|صحيفة=میراث علمی اسلام و ایران|تاريخ=1392-01-04|صفحات=86–98|المجلد=3|العدد=2|لغة=fa|الأخير=یان.پ.هوخندایک|الأول2=حسن|الأخير2=امینی|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313141853/https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/1016813/مطالعه-مقاطع-مخروطی-در-دوره-اسلامی|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}</ref>

قدّم بنو موسى حلاً باستخدام القطوع المخروطية لمسألة [[تثليث زاوية|تثليث الزاوية]]. كما قدّم [[أبو جعفر الخازن]] و[[أبو سهل القوهي]] و[[السجزي]] و[[أبو الريحان البيروني]] ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين على أنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من [[عضد الدولة|عضد الدولة بن بويه]]، كتب [[عبد الرحمن بن عمر الصوفي]] كتاباً بعنوان:<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=رسالهء عبدالرحمان صوفی دربارهء هندسهء پرگاری|مسار= https://jihs.ut.ac.ir/article_11496.html|صحيفة=مجله تاریخ علم|تاريخ=2003-11-22|issn=1735-0573|المجلد=1|العدد=1|الأول=سید محمد تقى|الأخير=میرابوالقاسمى|الأول2=محمد|الأخير2=باقرى|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20170506124526/https://jihs.ut.ac.ir/article_11496.html|تاريخ أرشيف=2017-05-06}}</ref> «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أو اختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» بحث [[أبو الوفاء البوزجاني]]، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ [[غياث الدين الكاشي|غياثُ الدين الكاشي]] نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو <math>\pi</math> بدقةٍ عالية، وذلك باستعمال حصر مضلعات داخل الدائرة وخارجها. كما كتب في كتابه: «[[مفتاح الحساب]]»، رسالةً بعنوان: «رسالة الوتر والجيب»، التي فُقدِت. كما قدّم محاولةً لحل مسألة تثليث الزاوية عن طريق حل [[دالة تكعيبية|المعادلات التكعيبية]].<ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی|مسار= https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/1016813/مطالعه-مقاطع-مخروطی-در-دوره-اسلامی|صحيفة=میراث علمی اسلام و ایران|تاريخ=1392-01-04|صفحات=86–98|المجلد=3|العدد=2|لغة=fa|الأخير=یان.پ.هوخندایک|الأول2=حسن|الأخير2=امینی|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313141853/http://noo.rs/np8tB|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة|عنوان=میرزا ابوتراب نطنزی و رویکردی بدیع به مسأله تثلیث زاویه|مسار= https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/862756/میرزا-ابوتراب-نطنزی-و-رویکردی-بدیع-به-مسأله-تثلیث-زاویه|صحيفة=تاریخ و تمدن اسلامی|تاريخ=1387-07-01|صفحات=123–140|المجلد=8|العدد=4|لغة=fa|الأول=هادی|الأخير=عالم‌زاده|الأول2=فاطمه|الأخير2=دوست‌قرین|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20200313141921/http://noo.rs/5Tspy|تاريخ أرشيف=2020-03-13}}</ref>

== في الثقافة والفن ==
أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء العديد من [[فن|التكوینات الفنیة]] وارتبطت بالعديد من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة [[فنان|الفنان]] لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء [[ديمقراطية|بالديموقراطية]]، ولهذا يُوجد في [[مجلس النواب|مجالس الشورى]] و[[مجلس النواب|البرلمانات]]. بينما ترى بعض [[روحانية (ديانات)|المعتقدات الروحانية]] على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة و[[لانهاية|اللانهائیة]] والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تقاليدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية و[[روح|الأرواح]] [[ملاك|الملائكية]] وترمز إلى العديد من المفاهيم [[مقدس|المُقدّسة]]، منها الاتحاد، الاكتمال و[[الكون]]، [[ألوهية|الألوهية]] والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أو الموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما أن هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار [[اليين واليانغ]]، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتقالها بين الثقافات، فوُجدت على سبيل المثال في [[بوصلة|البوصلة]]، [[هالة (توضيح)|الهالة]]، الترميز للعين والبصيرة، و[[قوس قزح|قوس القزح]] و[[دارما|الدارما]]، ونوافذ بعض [[معبد|المعابد]] والمباني الدينية، و[[الأوربوروس]].<ref name=":3"/><ref name=":6" group="ِ">{{استشهاد بويب
| مسار = https://pulpit.alwatanvoice.com/articles/2018/12/30/481433.html
| عنوان = الرموز الهندسية نموذج الدائرة ومداها المفاهيمي في التجربة التشكيلية
| تاريخ الوصول = 2020-03-11
| موقع = دنيا الرأي
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20200311174204/https://pulpit.alwatanvoice.com/articles/2018/12/30/481433.html
| تاريخ أرشيف = 2020-03-11
}}</ref>

في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أو القمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلو الرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي معظم الأحيان للدلالة على المكانة العلمية للشخص المرسوم، أو للإشارة إلى عمله كبحار أو كجغرافي. في عام 1913م، رسم [[فاسيلي كاندينسكي]] لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان [[فيكتور فازاريلي]] الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس كلما اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يبدو كرة أو نصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هو الحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هو الحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا أيضاً، أو كالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.<ref name=":1" group="ِ"/>

حين يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أو الوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ أن الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد أن هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته [[كاميلوت]]. إلا أن [[ونستون تشرشل|وينستون تشيرشل]] حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلس يكون رأس الطاولة».<ref name=":1" group="ِ"/>

في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني [[جون واليس|جون وليس]] رمزاً للإشارة إلى [[لانهاية|اللانهائية]]، وهو دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقم 8 المقلوب. ومن رمزيته العلمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم أيضاً شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي على سبيل المثال ترمز إلى ديمومة العلاقات.<ref name=":1" group="ِ"/>

استخدمت الدائرة في خلق التجانس [[تصميم داخلي|الزخرفي]] مع [[خط عربي|الخط العربي]] بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال.<ref name=":6" group="ِ"/><ref name=":5" group="ِ"/> تُرسم النجوم في [[زخارف هندسية إسلامية|الزخارف العربية]] مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر [[أبو حيان التوحيدي|أبو حیان التوحیدي]]: {{اقتباس مضمن|وأما الصورة الفلكیة فداخلة تحت الرسم بالعرض، وللوهم فیها أثر كبیر، ولأنها مأخودة من الجسم الأعظم صارت مشاكهتها مقسومة بین البسیط الذي لا تركیب فیه البتة، وبین المركب الذي لا یخلو من التركیب البتة.}}. وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون أن في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.<ref name=":6" group="ِ"/>

== التطبيقات والاستعمالات ==
[[ملف:Luch2 greifer.gif|تصغير|153x153بك|ميكانيكيَّةُ تحويلِ الحركة الدائرية المُستمرة إلى حركة دائرية متقطعة.]]
الدولاب هو قرص مستدير يُصنع من مادة صلبة ويُستعمل بشكل شائع في العربات للتنقل. ويُصنّف باحثون على أنَّ اختراع الدولاب من أهم ما اخترع البشر، إذ أنه أدى إلى تطوّرهم العلمي والتكنولوجي. وُجد أقدم دولاب بين الآثار الباقية من التاريخ، بعمر يصل إلى 3,000 سنة. كما احتوت النقوش [[لغة سومرية|السومرية]] و[[مصر القديمة|الفرعونيّة]] رسوماً لعربات بدواليب، عمرها 5000 سنة. ويُرجح أن الحيّاكين والنسّاجين والخزّافين وصانعي الفخّار والآجرّ، كانوا من أوائل من استعمل الدولاب في مهنتهم.<ref name=":1" group="ِ"/>

إن [[فخار|الأوعية الفخّاريّة]] التي كان الخزّافون يصنعونها، كانت ضرورية لخزن الماء والمشروبات وحتى الحبوب وغيرها من الأغذية، في المستقرّات الزراعية التي نشأت من حولها القرى والمدن الأولى. وكانت تعتمد آنية الفخّار على أساسٍ طيني على شكل قرص، والذي يديره الخزّاف لصنع آنيته. ومن هذه الدواليب الأولى، طوّر البشر شيئاً فشيئاً صناعة الدولاب، إلى أطر [[عجلة|العجلات]] و[[عربة|العربات]] ثم المركبات [[سيارة|فالسيارات]]. كما أن الدائرة كانت الأساس [[محرك كهربائي|للمحرك الكهربائي]] و[[مروحة (آلة)|المراوح]] وبقية المحركات الأخرى.<ref name=":1" group="ِ"/>
{{-}}

== معرض صور ==

=== براهين وعلاقات ===
<gallery mode="packed" heights="190px">
ملف:Circle Area Arabic.svg|مساحة الدائرة تساوي: <math>\pi</math> × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من <math>4r^2</math>.
ملف:Trigonometric centres.png|رسم توضيحي لمثلث في المستوى <math>\triangle ABC</math>، مع أبرز دوائره الخاصة. تُشير النقاط إلى مراكز المثلث الرئيسة، ويُسمَّى الخطُ الواصل بينهم [[خط أويلر|بخط أويلر]]. النقطة <math>H</math> هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. النقطة <math>N</math> هي مركز دائرة النقاط التسع. النقطة <math>G</math> هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. النقطة <math>O</math> هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.
ملف:LunesOfAlhazen.svg|هلِالا [[ابن الهيثم|الحسنِ ابنِ الهيثم]]: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.
ملف:Two circles.png|حالات أزواج الدوائر المُختلفة.
ملف:Unit circle angles color.svg|القيم الشهيرة المُرتبطة بدائرة الوحدة.
ملف:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.gif|إنشاء خماسي منتظم باستعمال الفرجار والمسطرة.
ملف:Circumcircle Angles 1.svg|الزوايا التي يصنعها مماس الدائرة المحيطة لمثلثٍ عند رأسه
ملف:ArcoFlechaCuerda.svg|مُقاربة لتسمية بعض المصطلحات المتعلقة بالدائرة بأسمائها؛ كالقوسِ والوَتر وعمق القوس، ونقطة المنتصف.
ملف:PosicionesAngulos.svg|حالات الزوايا بالنسبة لدائرة.
ملف:RelacionAngulos.svg|الزوايا المماسية والمركزية والخارجة عن رباعي دائري.
ملف:Vera-forma-sez-circ-cono-ell.jpg|بديل=مقاطع دائرية لمخروط اهليجي|الشكل الحقيقي لزوج من المقاطع الدائرية لمخروط إهليجي في الإسقاطات العمودية
</gallery>

=== الترميز الموحد ===
{| class="wikitable" style="margin: auto auto;"
![[علامة O|العلامة]]
!تمثيل اليونيكود البرمجي:(Hex)
!بالإنجليزية
|-
|'''○'''
|U+25CB
|WHITE CIRCLE
|-
|'''●'''
|U+25CF
|BLACK CIRCLE
|-
|'''◯'''
|U+25EF
|LARGE CIRCLE
|-
|[[ملف:U25CC.gif]]
|&#9676;
|DOTTED CIRCLE
|-
|[[ملف:U25CD.gif]]
|&#9677;
|CIRCLE WITH VERTICAL FILL
|-
|[[ملف:U25CE.gif]]
|&#9678;
|BULLSEYE
|-
|[[ملف:U25C9.gif]]
|&#9673;
|FISHEYE
|}

=== في الأعلام والرموز ===
<gallery mode="packed" heights="100px">
ملف:Flag of South Korea.svg|علم كوريا الجنوبية.
ملف:Flag of Japan.svg|[[علم اليابان]].
ملف:Flag of India.png|[[علم الهند]].
ملف:Flag of Brazil.svg|[[علم البرازيل]].
ملف:Olympic rings without rims.svg|شعار [[الألعاب الأولمبية]].
ملف:Mastercard-logo.svg|شعار ماستركارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح.
ملف:TwitterCircles.jpg|شعار [[تويتر]] مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.
</gallery>

=== في اللغات والثقافة ===
<gallery mode="packed" heights="140px">
ملف:Geocentrism.jpg|رسم مأخوذ من مخطوطة آيسلنديَّة تعود إلى حوالي عام 1750م، ويوضح [[نموذج مركزية الأرض]].
ملف:Sukun.PNG|تُرسم دائرة صغيرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن [[سكون (لغة)|سكون]] الحرف.
ملف:Japanese Hiragana kyokashotai PA.png|تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أو تغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 )
ملف:Latin alphabet Åå.svg|تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة.
ملف:Latin alphabet Oo.svg|الصِّفر 0 وحرف الـO من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة جداً بالدائرة.
ملف:NOoK-example.png|تتميز [[اللغة الكورية]] عن غيرها من بقية اللغات [[شرق آسيا|الشرق آسيوية]] بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر.
ملف:Green8ABF3C circle 100%.svg|[[علامة O|الماروجيروشي]] ([[اللغة اليابانية|باليابانية]]: 丸印) أو الغونجبو ([[اللغة الكورية|بالكورية]]: 공표, 空標)، هي اسم للرمز "◯" المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في [[شرق آسيا]]، وهي مشابهة في استخدام [[علامة صح|علامة الصح]]. عكسها هو [[علامة شطب|علامة الشطب]] ("✗") أو ("×").
ملف:Tic tac toe-js.svg|لعبة [[إكس أو|إكس-أوه]] من الألعاب التي تتضمن شكل الدائرة.
ملف:Yin and Yang symbol.svg|علامة اليين واليانغ ترمز لكيفية عمل الأشياء في العلم [[الصين]]ي القديم.
</gallery>

=== في التقنية والعلوم ===
<gallery mode="packed" heights="100px">
ملف:Steam locomotive driving wheel.jpg|تّقنيَّاً، الشّكل الدائري [[عجلة|للعجلة]] يُمكّنها من الحركة [[دوران|الدّورانية]].
ملف:Braun ABW30 (schwarz).jpg|الساعات من الأمثلة الشائعة في الحياة اليومية عن توظيف الشكل الدائري في الأشياء المتكررة.
ملف:Spur Gear 12mm, 18t.svg|التروس هي العناصر الأساسية والبسيطة للحركة في [[هندسة الميكانيك|الهندسة الميكانيكية]].
ملف:Ventilador Electrico Piso.jpg|المراوح تأخذ الشكل الدائري لأنه الشكل الذي تتخذه المُحركات.
ملف:N7771@GVA;09.09.1995-engine (6083468531).jpg|مُحرِّكات الطيارات دائرية الشكل.
ملف:Canon EF 180mm f3.5L Macro USM front element.jpg|الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.
ملف:Magnifying Glass Photo.jpg|العدسات المقعرة والمُحدّبة تصنع في الغالب على قوالب دائرية.
ملف:Buscot Park (5644490942).jpg|عوامات السباحة تصنع بشكل دائري لتوزيع قوة الطفو على جميع أنحاء الجسم وسهولة تعلقه فيها.
ملف:Osaka Suminoeku Manhole Cover.jpg|تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: [[إجهاد أسطوانة|إجهاد اسطوانة]]).
ملف:Flip The Switch (2136638842).jpg|ترمز الدائرة إلى انقطاع التيار الكهربائي في [[مفتاح كهربائي|مقاليد]] الأجهزة الإلكترونية.
ملف:Steering wheels from different periods.jpg|تطور [[عجلة قيادة|مقود السيارة]] في فترات مختلفة.
ملف:Digital thermometer.jpg|تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: [[درجة حرارة مئوية|الدَّرجة المئويَّة]] (°C)، و[[فهرنهايت|الفهرنهايت]] (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير ('''°'''Ré) والرومر (°Rø) والودجوود ('''°'''W).
ملف:Positive angle.svg|يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة».
ملف:Latitude (PSF).png|في [[نظام إحداثيات جغرافية|نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة]]، تُصنَّف [[طول (جغرافيا)|خطوط الطُّول]] و[[عرض (جغرافيا)|دوائر العرض]] بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة.
ملف:Propan-1-ol.svg|تُستعمل الدّرجة لقياس [[درجة الكحول|تركيز الكحول]] وتُرسم دائرةً.
ملف:Venn A intersect B.svg|تُستخدم الدَّوائر لتمثيل [[مخطط فن|علاقات ڤن]] في [[نظرية المجموعات]].
ملف:% Arabica percent logo.svg|علامة [[نسبة مئوية|النسبة المئوية]] «%» تُستخدم للتعبير عن عدد على شكل [[كسر (رياضيات)|كسر]] من مئة.
</gallery>

=== في العمارة والفنون ===
<gallery mode="packed" heights="130px">
ملف:Paris 9 - Printemps cupola (1).jpg|قبة زجاجية في إحدى [[مطعم|مطاعم]] [[باريس|مدينة باريس]].
ملف:Toghrol Tower looking up.jpg|[[برج طغرل]] من الدّاخل.
ملف:IlkhanateSilkCircular.jpg|قطعة دائريَّة من الحرير مع نقوش [[منغوليا|منغوليَّة]].
ملف:Rimini - Ponte romano - Foto Giovanni Dall'Orto, aprile 2004 02.jpg|إحدى الجسور [[رومان (توضيح)|الرومانية]] في [[إيطاليا]].
ملف:Budaörs, Road 81101 over Autópálya M7, Korforg1.jpg|تتخذ [[دوار مروري|الدوارات المرورية]] الشكل الدائري المتناظر لتنظيم عملية سير [[سيارة|السيارات]].
ملف:Robert Delaunay, 1913, Premier Disque, 134 cm, 52.7 inches, Private collection.jpg|دوائر في [[لوحة]] [[فن تجريدي]] للفنان [[روبرت ديلوناي|روبرت ديلواني]].
ملف:Foliated dish with underglaze blue design of melons, bamboo and grapes, Jingdezhen ware, Yuan, 1271-1368, Shanghai Museum.jpg|طبق أثري يعود تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي في متحف [[شانغهاي]].
ملف:Seattle Great Wheel, Seattle, Washington, Estados Unidos, 2017-09-02, DD 16.jpg|عجلات ملاهي الألعاب ليلاً.
ملف:Delhi Freitagsmoschee - Mihrab groß 4a Inschrift (cropped).jpg|زخرفة إسلامية على شكل دائرية لجملة "يا غفَّار".
ملف:J. VERMEER - El astrónomo (Museo del Louvre, 1688).jpg|لوحة الفلكي للفنان [[يوهانس فيرمير]].
ملف:Vassily Kandinsky, 1913 - Color Study, Squares with Concentric Circles.jpg|لوحة مربعات في دوائر متعرجة للفنان [[فاسيلي كاندينسكي]].
ملف:Vassily Kandinsky, 1923 - Circles in a Circle.jpg|لوحة دوائر في دائرة للفنان [[فاسيلي كاندينسكي]].
ملف:Vassily Kandinsky, 1926 - Several Circles, Gugg 0910 25.jpg|لوحة عدة دوائر للفنان [[فاسيلي كاندينسكي]].
</gallery>

=== في الطَّبيعةِ ===
<gallery mode="packed" heights="130px">
ملف:Eye iris.jpg|[[عين (تشريح)|عين]] إنسان.
ملف:RBC micrograph.jpg|كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم.
ملف:Tycho crater on the Moon.jpg|فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة.
ملف:WhereRainbowRises.jpg|الشكل الكامل ل<nowiki/>[[قوس قزح|قوس المطر]] هو دائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً.
ملف:Solar eclipse 1999 4.jpg|هالة الشَّمس أثناء [[كسوف|الكسوف]] الكُلِّي.
ملف:The Sun by the Atmospheric Imaging Assembly of NASA's Solar Dynamics Observatory - 20100819.jpg|الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ.
ملف:Vacaville CA Crop Circle.jpg|[[دوائر المحاصيل]] تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج.
ملف:2006-01-14 Surface waves.jpg|الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة.
ملف:Fairy ring on a suburban lawn 100 1851.jpg|حلقة تكونت بفعل نمو [[فطر|الفطريات]].
ملف:Swinside (p4160146).jpg|[[دوائر الحجر]].
ملف:Citrus fruits.jpg|قطع من [[فاكهة|فواكه]] متنوعة من فئة [[ليمون (جنس نباتات)|الحمضيات]].
ملف:Snail-WA edit02.jpg|[[حلزون أبيض الطرف|الحلزون أبيض الطرف]] هو نوع من [[حلزون (توضيح)|الحلزونات]] البرية الشائعة في [[أوروبا]].
ملف:Helianthus annuus qtl1.jpg|[[دوار الشمس|تباع الشمس]] هي [[نبات|نبتة]] بذور زيتية.
</gallery>

== انظر أيضًا ==
{{روابط شقيقة}}

{{قائمة أعمدة|2|
* [[قائمة مواضيع الدائرة|قائمة المواضيع المتعلقة بالدائرة]].
*[[علامة O]].
*[[حلقة (هندسة رياضية)|حلقة]]
*[[كرة]]
*[[مخروط]].
*[[قطع ناقص]] أو الشكل البيضاوي.
*[[بيضاوي ديكارتي]].
*[[قطع مكافئ]].
*[[قطع زائد]].
* [[مثلث]].
* [[حساب المثلثات|حساب مثلثات]].

=== دوائر خاصة ===
* [[دائرة وحدة]].
* [[دوائر أبولونية|دائرة أبولونية]].
* [[دائرة أرخميدية]].
* [[دوائر جونسون|دائرة جونسون]].
* [[دائرة فائقة]].
* [[كرة فائقة]].

==== في مثلث ====
* [[دائرة داخلية]].
* [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|دائرة خارجية]].
* [[دائرة محيطة]].
* [[مبرهنة طاليس (دائرة)|دائرة محيطة بمثلث قائم]].
* [[دائرة النقاط التسع]].
* [[مبرهنة ليستر|دائرة ليستر]].
* [[دوائر مالفاتي|دائرة مالفاتي]].
* [[دائرة بروكار]].

==== في أشكال أخرى ====
* [[رباعي أضلاع مماسي|دائرة رباعي داخلية]].
* [[رباعي دائري|دائرة مضلع محيطة]].
* [[نقاط مشتركة بدائرة]].
* [[نقاط دائرية في اللانهاية]].
* [[دائرة عظمى]].
* [[دائرتا فيلاركو]].
}}
== ملاحظات ==
{{مراجع|مجموعة=ملاحظة}}

== المراجع ==

=== باللغة العربية ===
{{مراجع|مجموعة=ِ}}
=== بلغات أجنبية ===
{{مراجع|محاذاة=نعم}}

== قراءة موسعة ==
* الهندسة: دورة تدريبية شاملة (1988م) «بيدو دان». {{إنج|Geometry: a comprehensive course}}.

* {{springer|title=الدائرة|id=p/c022260}} {{أيقونة إنجليزية}}

== ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية ==
{| class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin: auto auto; text-align: center;"
|-
| colspan="2" rowspan="1" |{{خط/أميري|مَسرد المفردات وفق أقسام المقالة}}
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''مصطلحات أساسية'''
|-
|مركز
|Center
|-
|محيط
|Circumference
|-
|مساحة
|Area
|-
|نصف قطر (شعاع)
|Radius
|-
|وتر
|Chord
|-
|قطر
|Diameter
|-
|قوس
|Arc
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''قطع وجزئيات'''
|-
|قطاع
|Sector
|-
|قطعة
|Circular segment
|-
|قرص
|Disk
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''مصطلحات استعملت في التعاريف'''
|-
|نسبة تبادلية
|Cross-ratio
|-
|دائرة معممة
|Generalized circle
|-
|تأويل لانهائي
|Infinite limit
|-
|حالة حدية
|Limitig case
|-
|قطع مخروطي
|Conic secion
|-
|استيفاء المساحة
|Area optimization
|-
|متباينة المحيط الثابت
|Isoperimetric inequality
|-
|معيار-p
|p-norm
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''زوايا'''
|-
|العدد ط
|Pi
|-
|راديان
|Radian
|-
|زاوية مركزية
|Centeral angle
|-
|زاوية محيطية
|Inscribed angle
|-
|زاوية مماسية
|Tangential angle
|-
|زاوية خارجية
|External angle
|-
|زاوية داخلية
|Internal angle
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''نقاط'''
|-
|نقطة داخلية
|Internal point
|-
|نقطة محيطيَّة
|Circumference point
|-
|نقطة خارجية
|External point
|-
|قوة نقطة
|Power of a point
|-
|مبرهنة قطع الوتر
|Intersecting chord theorem
|-
|مبرهنة القاطع
|Intersecting secants theorem
|-
|مبرهنة قاطع التماس
|Tangent-secant theorem
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''أزواج الدوائر حسب بعدها عن بعضها'''
|-
|دائرتان متباعدتان
|Non-intersecting circles
|-
|دائرتان متقاطعتان
|Intersecting circles
|-
|دائرتان متماستان داخلياً
|Internally tangent circles
|-
|دائرتان متماستان خارجياً
|Externally tangent circles
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''أزواج الدوائر حسب مراكزها وأنصاف أقطارها'''
|-
|دائرتان متعامدتان
|Orthogonal circles
|-
|دائرتان متطابقتان
|Congruent circles
|-
|دائرتان متحدتا المركز
|Concentric circles
|-
|دائرتان منطبقتان
|coincident circles
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''أشكال مركبة من دوائر'''
|-
|حلقة
|Annulus
|-
|عدسة
|Lens
|-
|مثلث رولو
|Reuleaux triangle
|-
|سكين الحَذَّاء
|Arbelos
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''مستقيمات وأوتار'''
|-
|مستقيم قاطع
|Secant line
|-
|مستقيم مماس
|Tangent line
|-
|مستقيم مار
|Non-intersecting line
|-
|خط التناظر/خط مركزي
|Symmetry line/Center line
|-
|وتر مشترك
|Common chord
|-
|مماس مشترك خارجي
|External common tangent
|-
|مماس مشترك داخلي
|Internal common tangent
|-
|قطعة تماس
|Tangency segment
|-
|محور أساسي
|Radical axis
|-
|عمق القوس أو السهم
|Sagitta أو Versine
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''الدائرة في نظرية الزمر'''
|-
|زمرة التناظر
|Symmetry group
|-
|تناظر انعكاسي
|Reflection symmetry
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''دوائر مرتبطة بمضلعات'''
|-
|مضلع دائري
|Cyclic polygon
|-
|مضلع مماسي
|Tangential polygon
|-
|دائرة محيطة
|Circumcircle
|-
|دائرة داخلية
|Incircle
|-
|دائرة خارجية
|Excircle
|-
|دائرة النقاط التسع
|Nine-point circle
|-
|دائرة الوحدة
|Unit circle
|-
| colspan="2" rowspan="1" |'''مبرهنات وعلاقات أخرى'''
|-
|التحاكي
|Homothety
|-
|التعاكس
|Inversion
|-
|الإحداثيات الخطية الثلاثية
|Trilinear coordinates
|-
|قانون الجيب
|Sine law
|-
|مبرهنة الفراشة
|Butterfly theorem
|-
|مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري
|Japanese theorem in cyclic quadrilateral
|-
|الكرة الفائقة
|Hypersphere
|-
|مبرهنة طاليس
|Thales theorem
|}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed" style="margin: auto auto; text-align: center;"
|-
| colspan="2" rowspan="1" |{{خط/أميري|مَسرد المفردات الأبجدي}}
|-
| colspan="2" rowspan="1" |A
|-
|حلقة
|Annulus
|-
|سكين الحَذَّاء
|Arbelos
|-
|قوس
|Arc
|-
|مساحة
|Area
|-
|استيفاء المساحة
|Area optimization
|-
| colspan="2" rowspan="1" |B
|-
|مبرهنة الفراشة
|Butterfly theorem
|-
| colspan="2" rowspan="1" |C
|-
|مركز
|Center
|-
|زاوية مركزية
|Centeral angle
|-
|وتر
|Chord
|-
|قطعة
|Circular segment
|-
|دائرة محيطة
|Circumcircle
|-
|محيط
|Circumference
|-
|نقطة محيطيَّة
|Circumference point
|-
|دائرتان منطبقتان
|coincident circles
|-
|وتر مشترك
|Common chord
|-
|دائرتان متحدتا المركز
|Concentric circles
|-
|دائرتان متطابقتان
|Congruent circles
|-
|قطع مخروطي
|Conic secion
|-
|نسبة تبادلية
|Cross-ratio
|-
|مضلع دائري
|Cyclic polygon
|-
| colspan="2" rowspan="1" |D
|-
|قطر
|Diameter
|-
|قرص
|Disk
|-
| colspan="2" rowspan="1" |E
|-
|دائرة خارجية
|Excircle
|-
|زاوية خارجية
|External angle
|-
|مماس مشترك خارجي
|External common tangent
|-
|نقطة خارجية
|External point
|-
|دائرتان متماستان خارجياً
|Externally tangent circles
|-
| colspan="2" rowspan="1" |G
|-
|دائرة معممة
|Generalized circle
|-
| colspan="2" rowspan="1" |H
|-
|التحاكي
|Homothety
|-
|الكرة الفائقة
|Hypersphere
|-
| colspan="2" rowspan="1" |I
|-
|دائرة داخلية
|Incircle
|-
|تأويل لانهائي
|Infinite limit
|-
|زاوية محيطية
|Inscribed angle
|-
|زاوية داخلية
|Internal angle
|-
|مماس مشترك داخلي
|Internal common tangent
|-
|نقطة داخلية
|Internal point
|-
|دائرتان متماستان داخلياً
|Internally tangent circles
|-
|مبرهنة قطع الوتر
|Intersecting chord theorem
|-
|دائرتان متقاطعتان
|Intersecting circles
|-
|مبرهنة القاطع
|Intersecting secants theorem
|-
|التعاكس
|Inversion
|-
|متباينة المحيط الثابت
|Isoperimetric inequality
|-
| colspan="2" rowspan="1" |J
|-
|مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري
|Japanese theorem in cyclic quadrilateral
|-
| colspan="2" rowspan="1" |L
|-
|عدسة
|Lens
|-
|حالة حدية
|Limitig case
|-
|دائرة النقاط التسع
|Nine-point circle
|-
|دائرتان متباعدتان
|Non-intersecting circles
|-
|مستقيم مار
|Non-intersecting line
|-
| colspan="2" rowspan="1" |O
|-
|دائرتان متعامدتان
|Orthogonal circles
|-
| colspan="2" rowspan="1" |P
|-
|معيار-p
|p-norm
|-
|العدد ط
|Pi
|-
|قوة نقطة
|Power of a point
|-
|راديان
|Radian
|-
| colspan="2" rowspan="1" |R
|-
| محور أساسي
|Radical axis
|-
|نصف قطر (شعاع)
|Radius
|-
|تناظر انعكاسي
|Reflection symmetry
|-
|مثلث رولو
|Reuleaux triangle
|-
| colspan="2" rowspan="1" |S
|-
|عمق القوس أو السهم
|Sagitta أو Versine
|-
|مستقيم قاطع
|Secant line
|-
|قطاع
|Sector
|-
|قانون الجيب
|Sine law
|-
|زمرة التناظر
|Symmetry group
|-
|خط التناظر / خط مركزي
|Symmetry line/Centerline
|-
| colspan="2" rowspan="1" |T
|-
|قطعة تماس
|Tangency segment
|-
|مستقيم مماس
|Tangent line
|-
|مبرهنة قاطع التماس
|Tangent-secant theorem
|-
|زاوية مماسية
|Tangential angle
|-
|مضلع مماسي
|Tangential polygon
|-
|مبرهنة طاليس
|Thales theorem
|-
|الإحداثيات الخطية الثلاثية
|Trilinear coordinates
|-
| colspan="2" rowspan="1" |U
|-
|دائرة الوحدة
|Unit circle
|}

== وصلات خارجية ==

* [https://programs.edraak.org/learn/repository/math-algebra-topics-v2/section/5a60a6faeea9e8049ae2b8a7/ دروس في هندسة الدائرة] على [[إدراك (منصة تعليمية)|منصة إدراك]].
* [https://programs.edraak.org/learn/repository/math-algebra-topics-v2/component/5b9e5a85b1fcd3049d8ee38f مساحة الدائرة] على [[إدراك (منصة تعليمية)|منصة إدراك]].
* [https://web.archive.org/web/20190414012939/https://www.researchgate.net/publication/258238188_Inventing_the_Circle_the_geometry_of_nature كتاب Inventing the circle للكاتب يوهان جيليس].
* [http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Circle.html الدائرة في أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات].
* {{استشهاد بويب
| مسار = http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html
| عنوان = تطبيقات (بُرَيمجات) جافا تفاعلية
| اقتباس = لخواص الإنشاءات الأساسية المرتبطة بالدائرة.
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190907033820/http://mathopenref.com:80/tocs/circlestoc.html|تاريخ أرشيف=2019-09-07}}
* {{استشهاد بويب
| مسار = http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml
| عنوان = مسائل ونقاش حول الدائرة
| اقتباس = Cut the knot
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190821131224/http://www.cut-the-knot.org:80/pythagoras/Munching/circle.shtml|تاريخ أرشيف=2019-08-21}}
* {{استشهاد بويب
| مسار = http://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/interactive-circle-equation.php
| عنوان = تطبيق تفاعلي لمعادلة الدائرة القياسية
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190502184957/https://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/interactive-circle-equation.php|تاريخ أرشيف=2019-05-02}}
* [https://web.archive.org/web/20200427000257/https://www.youtube.com/watch?v=D_o5eHibc08&gl=US&hl=en الدائرة في الهندسة الوصفية.] على [[يوتيوب|اليوتيوب]].
* [https://web.archive.org/web/20200427000419/https://www.youtube.com/watch?v=oA0SDaoIvl0&gl=US&hl=en الدائرة في الهندسة التحليلية.] على [[يوتيوب|اليوتيوب]].
{{دائرة}}
{{هندسة رياضية}}
{{مواضيع اليونان القديمة}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{شريط محتوى متميز|مختارة|التاريخ=10 يونيو 2020|النسخة=48083358}}

[[تصنيف:دوائر|*]]
[[تصنيف:باي]]
[[تصنيف:قطوع مخروطية]]
[[تصنيف:منحنيات]]
[[تصنيف:هندسة الدائرة]]

title: معلومات عامة

النمط: القائمة ... anallagmatic curve — منحني ريباكور — sinusoidal spiral — محل هندسي — متنوعة تحليلية — قطع ناقص — وردة — هايبرسفير — curve of constant width — Zindler curve — دائرة معممة — قطع مخروطي — geometric primitive — شكل هندسي

الحروف: حافة واحدة

مساحة السطح: ط نق2 أو {\displaystyle \pi r^{2}}

المحيط: 2ط نق أو {\displaystyle 2\pi r}

زاوية ثنائية الوجه: عديمة الزَّوايا.

الخصائص: مُنحنىً.

title: قطع مكافئ

المعادلة: {\displaystyle y^{2}=4ax\,}

الانحراف المركزي({\displaystyle e}): {\displaystyle 1\,}

البعد البؤري({\displaystyle l}): {\displaystyle 2a\,}

title: قطع زائد

البعد البؤري({\displaystyle l}): {\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}

title: قطع ناقص

البعد البؤري ({\displaystyle l}): {\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}

title: دائرة (حالة خاصة من القطع الناقص)

الانحراف المركزي ({\displaystyle e}): {\displaystyle 0}

البعد البؤري ({\displaystyle l}): {\displaystyle a}

دائرة (حالة خاصة من القطع الناقص): ع ن ت

title: حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها

تسامُتٌ: تلاقٍ

توازٍ: تعامد

تنصيف: انطباق

دَائريَّة: تماس

السعي نحو اللانهاية: انحلال

مُخالَفَة: اشتراك في مستوى